1、高考总复习：古典概型与几何概型【考纲要求】1、理解古典概型及其概率计算公式；了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；了解几何概型的意义。【知识网络】随机事件的概率古典概型几何概型应用【考点梳理】知识点一、古典概型1. 定义具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。2. 古典概型的基本特征（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。3.古典概型的概率计算公式由于
2、古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有 种等可能的结果，那n么每一个基本事件的概率都是 。如果某个事件 A 包含 个基本事件，由于基本事件是互斥1nm的，则事件 A 发生的概率为其所含 个基本事件的概率之和，即 。nAP)(所以古 典 概 型 计 算 事 件 A 的 概 率 计 算 公 式 为 ：试 验 的 基 本 事 件 总 数包 含 的 基 本 事 件 数事 件 AP)(4.求古典概型的概率的一般步骤：（1）算出基本事件的总个数 ； n（2）计算事件 A 包含的基本事件的个数 ；m（3）应用公式 求值。 ()P5古典概型中求基本事件数的方法：（1）穷举法；（2）树形图；（3）
3、排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。知识点二、几何概型1. 定义：事件 A 理解为区域 的某一子区域 A，A 的概率只与子区域 A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与 A 的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。2.几何概型的两个特点：（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的；（2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。3.几何概型的概率计算公式：随机事件 A 的概率可以用“事件 A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度） ”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度） ”之比来表示。所以几 何 概 型 计
4、算 事 件 A 的 概 率 计 算 公 式 为 ： AP)(其中 表示试验的全部结果构成的区域 的几何度量， 表示构成事件 A 的区域的几 A何度量。要点诠释：用几何概型的概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法.【典型例题】类型一、古典概型【例 1】将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，求：（1）向上的点数一共有多少种不同的结果？（2）点数之和是 4 的倍数的概率；（3）点数之和大于 5 小于 10 的概率.【思路点拨】利用古典概型步骤进行求解：（1）算出基本事件的总个数 ； n（2）计算
5、事件 A 包含的基本事件的个数 ；m（3）应用公式 求值。 ()P【解析】（1）作图，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共 36 种.（2）记“点数之和是 4 的倍数”的事件为 A，从图中可以看出，事件 A 包含的基本事件共有 9 个：（1，3） ， （2，2） ， （3，1） ， （2，6） ， （3，5） ， （4，4） ， （5，3） ， （6，2） ， （6，6） ，所以 ；()4P（3）记“点数之和大于 5 小于 10”为事件 B，从图中可以看出，事件 B 包含的基本事件共有 20 个，即（1，5） ， （2，4） ， （3，3） ， （4，2） ， （5，1） ， （1，6）
6、 ， （2，5） ， （3，4)， （4，3） ，（5，2） ，（6，1） ， （2，6） ， （3，5） ， （4，4） ， （5，3） ， （6，2） ， （3，6） ， （4，5） ， （5，4） ，（6，3） ，所以 .90)(BP【总结升华】在解决古典概型问题时，首先应当分清楚计数的类型，要分清是排列还是组合，单一的还是混合的；若所求事件的基本事件个数不易求，很容易出现遗漏或重复，可借助有关图形，以便更准确地把握基本事件个数.举一反三：【变式】用数字 1，2，3，4，5 组成五位数，其中恰有 4 个相同数字的概率为 .【答案】 = .15CP【例 2】连续掷 3 枚硬币，观察落地后这
7、 3 枚硬币出现正面还是反面.（1）写出这个试验的基本事件；（2）求这个试验的基本事件的总数；（3） “恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件?【思路点拨】利用古典概型解题步骤进行求解。【解析】 （1）这个试验的基本事件 =（正，正，正） ， （正，正，反） ， （正，反，正） ， （正，反，反） ， （反，正，正） ， （反，正，反） ， （反，反，正） ， （反，反，反）；（2）基本事件的总数是 8.（3） “恰有两枚正面向上”包含以下 3 个基本事件：（正，正，反） ， （正，反，正） ， （反，正，正）.【总结升华】一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件.
8、【例 3】抛掷两颗骰子，求：（1）点数之和出现 7 点的概率；（2）出现两个 4 点的概率.【思路点拨】根据条件列举出事件 A 所包含基本事件个数。【解析】作图，从下图中容易看出基本事件空间与点集 S=（x，y）|xN，yN，1x6，1y6中的元素一一对应.因为 S 中点的总数是 66=36（个） ，所以基本事件总数 n=36.O xy66554433221 1（1）记“点数之和出现 7 点”的事件为 A，从图中可看到事件 A 包含的基本事件数共 6 个：（6，1） ， （5，2） ， （4，3） ， （3，4） ， （2，5） ， （1，6） ，所以 P（A）= 136.（2）记“出现两个
9、4 点”的事件为 B，则从图中可看到事件 B 包含的基本事件数只有 1 个：（4，4）.所以 P（B）= 361.【总结升华】在古典概型下求 P（A） ，关键要找出 A 所包含的基本事件个数然后套用公式试 验 的 基 本 事 件 总 数包 含 的 基 本 事 件 数事 件 AP)(【例 4】在一次口试中，考生要从 5 道题中随机抽取 3 道进行回答，答对其中 2 道题为优秀，答对其中 1 道题为及格，某考生能答对 5 道题中的 2 道题，试求：（1）他获得优秀的概率为多少；（2）他获得及格及及格以上的概率为多少；【思路点拨】这是一道古典概率问题，须用枚举法列出基本事件数.【解析】设这 5 道题
10、的题号分别为 1,2，3，4，5，则从这 5 道题中任取 3 道回答，有（1，2，3） ， （1，2，4） ， （1，2，5） ， （1，3，4） ， （1，3，5） ， （1，4，5） ， （2，3，4）,（2，3，5） ，（2，4，5） ， （3，4，5）共 10 个基本事件（1）记“获得优秀”为事件 A，则随机事件 A 中包含的基本事件个数为 3，故 3()10PA（2）记“获得及格及及格以上”为事件 B，则随机事件 B 中包含的基本事件个数为 9，故9()10PB【总结升华】使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重.举一反三：【变式】一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成 个同样大小的小正
11、方体，将这些正方体10混合后，从中任取一个小正方体，求：有一面涂有色彩的概率；有两面涂有色彩的概率；有三面涂有色彩的概率.【解析】在 个小正方体中：10一面涂有色彩的有 个，两面涂有色彩的有 个，三面涂有色彩的有 个，所以2868128一面涂有色彩的概率为 ；13840.P两面涂有色彩的概率为 ；296有三面涂有色彩的概率 .810【例 5】某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30 人，结果围棋社被抽出 12 人.(I) 求这三个社团共有多少人？(II) 书法社从 3 名高中和 2 名初中成员中，随
12、机选出 2 人参加书法展示，求这 2 人中初、高中学生都有的概率.【思路点拨】 （I）根据围棋社共有 60 人，按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30 人，结果围棋社被抽出 12 人，得到三个社团的总人数（II）本题是一个等可能事件的概率，列举出试验发生包含的事件，共有 10 个基本事件，书法展示的同学中初、高中学生都有列举出共有 6 种结果，根据概率公式得到结果【解析】 （I）围棋社共有 60 人， 由 可知三个社团一共有 150 人. 150326（II）设初中的两名同学为 ，高中的 3 名同学为 , 2,a321b随机选出 2 人参加书法展示所有可能的结果: 121321,aaba，共
13、10 个基本事件 . 312323, ,abbb设事件 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有” ， A则事件 共有 6 个基本事件. 121321223,aaab. 5306)(P故参加书法展示的 2 人中初、高中学生都有的概率为 . 5【总结升华】本题主要考查等可能事件的概率，解决等可能事件的概率问题最有效的工具是列举，大纲中要求能通过列举解决古典概型问题，也有一些题目需要借助于排列组合来计数围棋社 戏剧社 书法社高中 45 30 a初中 15 10 20举一反三：【变式】现有一批产品共有 10 件，其中 8 件为正品，2 件为次品：（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续 3
14、次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取 3 件，求 3 件都是正品的概率【解析】 （1）有放回地抽取 3 次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则 x,y,z 都有 10 种可能，所以试验结果有 101010=103种；设事件 A 为“连续 3 次都取正品” ，则包含的基本事件共有 888=83种，因此，P(A)= 3108=0.512（2）可以看作不放回抽样 3 次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z） ，则 x有 10 种可能，y 有 9 种可能，z 有 8 种可能，所以试验的所有结果为 1098=720 种设事件 B 为“3 件都是正品” ，则事件 B 包含的基本事
15、件总数为 876=336, 所以 P(B)= 3672015类型二、与长度有关的几何概型1如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为 ()APA构 成 事 件 的 区 域 长 度试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度2将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。【例 6】在半径为 1 的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接的等边三角形边长的概率是 【思路点拨】解决概率问
16、题先判断属于什么概率模型，本题属几何概型，把问题转化为化成：直径上到圆心 O 的距离小于 的点构成的线段长与直径长之比。12【解析】记事件 A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长” ，如图，不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦，当弦为 CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF（此时 F 为OE 中点） ，由几何概型公式得： 。12()=PA【总结升华】将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区
17、域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。举一反三：【变式 1】取一根长度为 60cm 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于 20cm 的概率有多大？【解析】从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 60cm 的绳子上的任意一点.如上图,记“剪得两段绳子的长度都不小于 20cm”为事件 A,把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件 A 发生.由于中间一段的长度等于绳子长的 ,31于是事件 A 发生的概率 P(A)= .60cm20cm 20cm60cm【变式 2】在半径为 1 圆周上有一点 A，以 A 为端点任选一弦，另一端点在圆周上等可能，求弦
18、长超过 的概率.3【答案】如图：另一端落在圆周上任一点，基本事件空间，可用圆周长来度量，圆内接正三角形 ABC 的边长为 ，若任一端点落在劣弧 上，则弦长超过 ，3BC3而落在劣弧 之外，则弦长不超过 ，劣弧 之长为圆周的 ，BC1事件 A=“弧长超过 ”发生意味着另一端点落在劣弧 上，A 可用劣弧 弧长来度B量，故 .31)(圆 周 长弧 弧 长BCAP【例 7】在等腰 RtABC 中， (1)在斜边 AB 上任取一点 M，求 AM 的长小于 AC 的长的概率.（2）过直角顶点 C 在 内作一条射线 CM，与线段 AB 交于点 M，求 AMAC 的概率.【思路点拨】根据条件将问题转化为几何概
19、型问题。【 解 析 】 (1)在 AB 上 截 取 AC =AC， 于 是 P（ AM AC） =P（ AM ） = 2ABC.A BCCM(2) 在 AB 上 截 取 AC =AC,0 0184567.2于 是 P（ AM AC）067.5394【总结升华】 （1）对于几何概型中的背景相同的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的（2）在利用几何概率公式计算概率时，必须注意 d 与 D 的测度单位的统一.类型三、与面积（体积）有关的几何概型1如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：BACM (2)(1)()APA构 成 事 件 的 区 域 面 积试 验 的
20、 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 面 积2 “面积比”是求几何概率的一种重要类型，也是在高考中常考的题型。3如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为： ()APA构 成 事 件 的 区 域 体 积试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 体 积【例 8】如图，在墙上挂着一块边长为 16cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为 2cm,4cm,6cm，某人站在 3m 处向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：（1）投中大圆内的概率是多少？（2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？（3）投中大圆之外的概率是多少？【思路点拨】投中正方形木板上每一点（投中线上或没投中不算）都是一个基本事件，这一点可以是正方形木板上任意一点，因而基本事件有无限多个，且每个基本事件发生的可能性都相等.所以，投中某一部分的概率只与这部分的几何度量（面积）有关，这符合几何概型的条件【解析】设事件 A“投中大圆内” ，B“投中小圆与中圆形成的圆环” ，C“投中大圆之外”.，2165S中，3A中，2B中中 563CS中由几何概率公式得：
