1、- 1 -高 中 数 学 常 用 公 式 及 常 用 结 论1.德摩根公式 ();()UUUUCABCABC.2. UCABR3. ()cardcardcard()r()()cad.4、集合 12,n 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n1 个；非空子集有 2n 1 个；非空的真子集有 2 个.5.二次函数的解析式的三种形式 一般式 ()(0)fxabc; 顶点式 2hka;零点式 1)fx.6.函数 ()y的图象的对称性:函数 fx的图象关于直线 对称 ()()faxf(2)(faxf.函数 ()yf的图象关于直线 2bx对称 ()()fmfb(fabmx.7.两个函数图象的对称性:函数
2、 ()yf与函数 ()yfx的图象关于直线 0x(即 y轴)对称.函数 xa与函数 bm的图象关于直线 2abm对称.函数 )(f和 )(1f的图象关于直线 y=x 对称.8奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数9.分数指数幂 nma1（ 0,nN，且 1）.1mna（ 0,，且 1）.10、根式的性质（1） ()na.（2）当 n为奇数时， na；当 n为偶数时，,0|n- 2 -11、指数式与对数式的互化式 logbaN(0,1)aN.
3、12、对数的换底公式 llma( 0,且 ,m,且 , 0).推论 loglmnaab( 0,且 1, n,且 1,n, N).13、对数的四则运算法则： 若 a0，a1，M0，N0，则(1)l()llaaaMNN;(2) logllogaaa;(3)llog()naaR.14、数列的同项公式与前 n 项的和的关系1,2nns15、等差数列的通项公式*11()()adaN；其前 n 项和公式为12nns 21 1()()dndn16、等比数列的通项公式1*()nnaqN；其前 n 项的和公式为1(),nnsaq或1,nnaqs.17、等差、等比数列公式对比等差数列 等比数列定义式 1 1nda
4、n 11nqa通项公式及推广公式 mmn中项公式 2AbaabG运算性质 qp- 3 -qpmnaaqpmna前 n项和公式dnaSn211 .1 1, 1qqaSnnn，一个性质 mS32,成等差数列 mS32,成等比数列18、直线的五种方程 ：（1）点斜式 11()ykx (直线 l过点 1(,)Pxy，且斜率为 k)（2）斜截式 ykxb(b 为直线 l在 y 轴上的截距).（3）两点式 1122( 2)( 1(,)Px、 2(,)xy ( 12x).(4)截距式 xyab( 、 分别为直线的横、纵截距， 0ab、 )（5）一般式 0ABC(其中 A、B 不同时为 0).19、两条直线的
5、平行和垂直 (1)若 11:lykxb， 22:lykxb 1212|,lkb; 121lk.(2)若 0, 0yC,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,11122|ABCl； 212lAB；(3)平行直线系方程：直线 ykxb中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线 0AxBy平行的直线系方程是 0y( )， 是参变量(4)垂直直线系方程：与直线 AxBC (A0，B0)垂直的直线系方程是xy, 是参变量20、点到直线的距离 02|xydAB(点 0,)Pxy,直线 l： 0AxByC).21、 AxByC或 所表示的平面区域：（设直线 :）- 4 -若 0B，当 与 A
6、xByC同号时，表示直线 l的上方的区域；当 B与 AxyC异号时，表示直线 l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下 .若 ，当 与 同号时，表示直线 l的右方的区域；当 与 异号时，表示直线 l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.22、 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 22()()xaybr.（2）圆的一般方程 20xyDEF( 4EF0).23、点与圆的位置关系点 0(,)Pxy与圆22)()(rba的位置关系有三种：若2200()()daxby，则 dr点 在圆外; d点 P在圆上; r点 P在圆内.24、直线与圆的位置关系直线 0CByAx与圆22)()(byax的位置关
7、系有三种:交rd; 交rd; 0交rd.其中 2BACbad.25、两圆位置关系的判定方法： 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2， dO2112r外 离; 12r外 切 ; 1212rr相 交 ; 12dr内 切 ; 120dr内 含 .26、圆的切线方程(1)已知圆20xyDEF若已知切点 0(,)在圆上，则切线只有一条，利用垂直关系求斜率过圆外一点的切线方程可设为 00()ykx，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线斜率为 k 的切线方程可设为 b，再利用相切条件求 b，必有两条切线(2)已知圆22xr过圆上的 0(,)Pxy点的切线方
8、程为20xyr27、线线平行常用方法总结：（1）定义：在同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线。（2）公理：在空间中平行于同一条直线的两只直线互相平行。（3）初中所学平面几何中判断直线平行的方法（4）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面的相交，- 5 -那么这条直线就和两平面的交线平行。（5）线面垂直的性质：如果两直线同时垂直于同一平面，那么两直线平行。(6)面面平行的性质：若两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。28、线面平行的判定方法: 定义：直线和平面没有公共点.( 2）判定定理：若不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直
9、线和这个平面平行(3)面面平行的性质:两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面（4）线面垂直的性质：平面外与已知平面的垂线垂直的直线平行于已知平面29、判定两平面平行的方法:（1）依定义采用反证法（2）利用判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（3）利用判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面内的两条直线，则这两平面平行。（4）垂直于同一条直线的两个平面平行。（5）平行于同一个平面的两个平面平行。30、证明线与线垂直的方法：（1）利用定义（2）线面垂直的性质：如果一条直线垂直于这个平面，那么这条直线垂直于这个平面的任
10、何一条直线。31、证明线面垂直的方法： （1）线面垂直的定义（2）线面垂直的判定定理 1：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。（3）线面垂直的判定定理 2：如果在两条平行直线中有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面。（4）面面垂直的性质：如果两个平面互相垂直那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（5）若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则这条直线必垂直于另一个平面32、判定两个平面垂直的方法： （1）利用定义（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。33、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。经过平面外一点
11、有且仅有一个平面与已知平面平行两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。34、空间几何体的面积、体积正棱锥的侧面积为 S=21ch圆锥侧面积 S=12clrl锥体的体积 V= 3s台体侧面积 S=)(h台体的体积 V=(1sh柱体侧面积 S=cl 体积 V=sh球的半径是 R，则其体积是34VR,其表面积是 24SR- 6 -40 两直线的.夹角公式 21tan|k.( 1:lykxb， 22:lykxb, 1)121tanAB( 1:0lxByC, 2:0lABC, 0AB).直线 12l时，直线 l1 与 l2 的夹角是.41.椭圆()xyab的参数方程是cosinxayb.42.
12、椭圆20焦半径公式 )(21ePF，)(22xcaePF.43.双曲线 21(,)xyab的焦半径公式1|()|PFec，22|PFexc.44.抛物线 pxy2上的动点可设为 P),(2yp或 交)2,(pt P(,)xy，其中 2px.45.二次函数224bacabcx0的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)bc；（2）焦点的坐标为(,)b；（3）准线方程是1ya.46.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 2211()()ABxy或22212()|tan|tABkxxco（弦端点 A ),(,21yB，由方程 0),(Fbky消去 y 得到 02cbxa， ,为直线 的倾斜角， 为直线的斜率
13、）. 47.（1）分类计数原理（加法原理） 12nNm .（2）分步计数原理（乘法原理） .（3）排列数公式 mnA= )()1n = ！ )(.( ， mN*，且 n)（4）排列恒等式 1mA; 1nnA;1mn; 1nn; 1n.（5）组合数公式 mnC= = 2)()= ！ )( ， N*，且 n).- 7 -（6）组合数的两个性质 mnC=;mn+1C= n组合恒等式1mn;1mn; nrC0=2;121rnrr.（7）排列数与组合数的关系是：mnAC！.（8）二项式定理 nrnrnn bCabaab 210)(;二项展开式的通项公式：rrnrbT1 )0(， .48.（1）互斥事件
14、A，B 分别发生的概率的和 P(AB)=P(A)P(B)（2） n个互斥事件分别发生的概率的和P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)（3）独立事件 A，B 同时发生的概率 P(AB)= P(A)P(B).（4）n 个独立事件同时发生的概率 P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An)（5）n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 ()(1).knknnPCP49.（1）离散型随机变量的分布列的两个性质：（1） 0,2i ;（2） 12 .（2）数学期望 12nExPx （3）数学期望的性质： ()(abE；若 (,)Bp，则 Ep.（4）方差 2211 nnD
15、ppx （5）标准差 = .（6）方差的性质22();2Dab；若 (,)Bn，则 n.50.（1）正态分布密度函数21,xfxe式中的实数 ， （ 0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.（2）标准正态分布密度函数2,xf.（3）对于2(,)N，取值小于 x 的概率F.1201 PxP21x21.51.（1）回归直线方程 yabx，其中1122nniiiii iixyxyaybx.- 8 -（2）相关系数 1221()()niiiniiiixyr1221()()niiini ixy.|r|1，且|r|越接近于 1，相关程度越大；|r|越接近于 0，相关程度越小.52. 空间两个向量的夹角公
16、式 cosa，b=123221abb（a 123(,)，b123(,)b）.53.直线 AB与平面所成角sin|ABmarc( 为平面 的法向量).54.二面角 l的平面角o|或cos|mnar（ ，为平面 ，的法向量）.55.设 AC 是 内的任一条直线，且 BCAC，垂足为 C，又设 AO 与 AB 所成的角为 1，AB 与 AC 所成的角为 2，AO 与 AC 所成的角为 则 12coscos.56.若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 1, 2,与二面角的棱所成的角是 ，则有222112sininiincs;121|80()(当且仅当 90时等号成立).57.
17、空间两点间的距离公式 若 A 1,)xyz，B 2(,)xyz，则,ABd=|B2211.58.点 Q到直线 l距离2(|)(|hab(点 P在直线 l上，直线 l的方向向量 a=PA，向量 b=P).59.异面直线间的距离 |CDnd( 12,l是两异面直线，其公垂向量为 n， CD、 分别是 12,l上任一点， 为 12,l间的距离).60.点 B到平面 的距离 |ABn（ 为平面 的法向量， AB是经过面 的一条斜线，A）.61.异面直线上两点距离公式 22cosdmn(两条异面直线 a、b 所成的角为 ，其公垂线段 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两点E、F， m, AFn,E)
18、.62. 2213ll22213coscs1- 9 -（长度为 l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 123l、 、 ，夹角分别为123、 、） （立几中长方体对角线长的公式是其特例）.63. 面积射影定理 cosS(平面多边形及其射影的面积分别是 、 S，它们所在平面所成锐二面角的为 ).64、算法的概念：指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.65、程序框图及结构程序框 名称 功能起止框 表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置
19、。处理框赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y” ；不成立时标明“否”或“N”。66、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。67、基本语句：输入语句：Input “提示内容” ；变量输出语句：print “提示内容” ；表达式赋值语句：变量=表达式条件语句： 循环语句：68、几个常用的函数：绝对值 abs( )；算术平方根 sqrt ( )；取商 ab；取余 a mod b69、算法案例：辗转相除、更相减损术、秦九韶算法、秦九韶算法：通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，
20、对于一个 n 次多项式，只要作n 次乘法和 n 次加法即可。if 条件语句 1else 语句 2endif 条件语句 1endwhile 条件循环体end- 10 -表达式如下： 122111 axxaxaxannnn 70、随机抽样：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样两种抽样方法的区别与联系：类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围简单随机抽样 从总体中逐个抽取 总体中个体数较少分层抽样将总体分成几层进行抽取各层抽样可采用简单随机抽样或系统抽样总体有差异明显的几部分组成系统抽样抽取过程中每个个体被抽取的概率相等 将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随
21、机抽样总体中的个体较多71、样本估计总体：频率分布直方图、数字特征 组 距极 差组 数， 样 本 容 量频 数频 率 ，频 率组 距频 率组 距小 矩 形 面 积 。众数、中位数、平均数、方差、标准差平均数：nxxn21方差: 12iis=222213()()()()nxxx标准差：niix12（2221 xxxns n）72、基本概念：（1）必然事件：必然事件是每次试验都一定出现的事件。不可能事件：任何一次试验都不可能出现的事件称为不可能事件。（2）随机事件：随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作随机事件，简称为事件（3）基本事件：一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件，称作基
22、本事件。73、在 n 次重复实验中，事件 A 发生的频率 m/n，当 n 很大时，总是在某个常数值附近摆动，随着 n 的增加出现摆动幅度较大的情形越少，此时就把这个常数叫做事件 A 的概率。（ 1P0）- 11 -74、互斥事件概念：在一次随机事件中，不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件。如果事件 A、B 是互斥事件，则 P（A+B）=P（A）+P（B）75、对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件。对立事件性质：P（A）+P（ ）=1 或 P（A）=1-P（ ）76、古典概型是最简单的随机试验模型，古典概型有两个特征：（1）基本事件个数是有限的；（2）各基本事件的出现是等可能的，即它们发生
23、的概率相同77、设一试验有 n 个等可能的基本事件，而事件 A 恰包含其中的 m 个基本事件，则事件 A 的概率 P(A)定义为基 本 事 件 的 总 数包 含 的 基 本 事 件 的 个 数AP= 运用互斥事件的概率加法公式时，首先要判断它们是否互斥，再由随机事件的概率公式分别求它们的概率，然后计算。 在计算某些事件的概率较复杂时，可转而先示对立事件的概率。78、几何概型的概率： )(A面 积 或 体 积区 域 长 度试 验 的 全 部 结 果 构 成 的 面 积 或 体 积的 区 域 长 度构 成 事 件79、终边相同角构成的集合： Zk,2|80、弧度计算公式： rl81、扇形面积、弧长
24、公式：21rlS,l( 为弧度制)82、三角函数的定义： xyxy1tancossin，1,Pyx是 的终边与单位圆的交点， P,是 的终边上除原点外的任一点。83、三角函数值的符号第一象限：Sin、cos、tan 全正第二象限：Sin 为正、cos、tan为负第三象限：tan 为正、Sin、cos 为负第四象限：cos 为正、Sin、tan 为负84、特殊角的三角函数值： 0 6432345623sin 0 121 210 -1cos1 320 - -3-1 0n全正Sin0 tan0 cos0 - 12 -tan0 31 3不存 在 - 3-1-30 不存在85、同角三角函数的关系： co
25、sinta,cossin286、和角与差角公式 ()sin;cos()cssi; tat()1t.87、诱导公式 tan2tanssiiktantcososiitantacosiitantcossiisi2cosisi2cosi(奇变偶不变,符号看象限)88、辅助角公式： inab= nab(辅助角 所在象限由点 (,)ab的象限决定,tn).主要在求周期、单调性、最值时用。 如)6sin(2cosin3xxy89、二倍角公式 sin2icos.2222concs1si.2tata1. 半角公式(降幂公式)：cossin2， 2cos1290、三角函数的周期公式 函数 yAsin(x )，xR
26、 及函数 cos()yx，xR(A, 为常数，且 A0，0)的周期T；函数 tan()yx，,2xkZ(A, 为常数，且 A0，0)的周期.91、 （1）正弦定理：在一个三角形中，各边与对应角正弦的比相等。 RCcBbAa2sinisin(R 是三角形外接圆半径)（2）余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。- 13 -.cos2,2abcBbAa 推论 .2cos,cs22abcCBacbA（3） 、三角形的面积公式：.sin1iin21SBCAab92、三角函数的图象与性质和性质cabA BC- 14 -93、 （1）向量的模长公式：a=(x
27、,y),|a|=22)(yxa（2）a 与 b 的数量积(或内积) ab=|a|b|cos设 a= 1(,)xy,b= 2(,)，则 ab= 12().（3）ab 的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积94、平面向量的坐标运算(1)设 a= 1(,)xy,b= 2(,)，则 a+b= 12(,)xy.(2)设 a= ,b= ，则 a-b= . (3)设 A 1(,)xy，B 2(,),则 21(,)ABOxy.(4)设 a= R，则 a=(,)xy.95、两向量的夹角公式 122cos(a= 1(,)xy,b= 2(,).96、平面两
28、点间的距离公式,ABd=|AB2211()()xy(A 1(,)，B 2(,)y).97、向量的平行与垂直 设 a= 1(,)xy,b= 2(,)，且 b0，则A|bb=a 121xy. ab(a0)ab=0 120xy.98、解不等式（1） 、含有绝对值的不等式 当 a 0 时，有2xax. 小于取中间a或 .大于取两边(2)、一元二次不等式 )0(,2cbx判别式 acb42 0 0二次函数 xay2的图象 - 15 -一元二次方程 相异实根 相等实根 没有实根02cbxa的根 21x abx212解集 12交 R0cbxa解集 1x 注： )(2解集为 R， （ 02cba 对 Rx恒成
29、立）（3）高次不等式序轴标根法(奇穿偶不穿,大于取上小于取下)（4）分式不等式先化简右边为 0(移项通分),再化为整式不等式。如:。99、充要条件（1）充分条件：若 pq，则 是 充分条件.（2）必要条件：若 ，则 是 必要条件.（3）充要条件：若 ，且 p，则 是 q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.100、 （1）逻辑联结词。 “p 或 q”记作：pq; “p 且 q”记作：pq; 非 p 记作：p （2）四种命题： 原命题：若 p，则 q 逆命题：若 q，则 p否命题：若p，则q 逆否命题：若q，则p101、圆锥曲线及性质（1）椭圆定义：若 F1，F2 是
30、两定点，P 为动点，且 aPF21（ 为常数）则 P 点的轨迹是椭圆。标准方程：焦点在 X 轴: 2byax)0(ba； 焦点在 Y 轴:12bxay)0(ba；长轴长= 2，短轴长=2b 焦距：2c a2-b2=c2 离心率： ace（2）双曲线定义：若 F1，F2 是两定点， aPF21（ 为常数） ，则动点 P 的轨迹是双曲线。- 16 -F )0,2(px图形：性质方程：焦点在 X 轴:12byax)0,(ba 焦点在 Y 轴:12bxay)0,(ba 实轴长= 2，虚轴长=2b， 焦距：2c a2+b2=c2 离心率：ce准线方程： cax2渐近线方程：双曲线方程为12byaxxab
31、等轴双曲线：特别地当 交b离心率 2e两渐近线互相垂直，分别为 y= ，此时双曲线为等轴双曲线，可设为 2yx；（3） 、抛物线定义：到定点 F 与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。即：到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数 e（e=1） 。图形：F- 17 -方程 )0(,2pxy 2,(0)ypx2,(0)xpy2,(0)xpy焦点： F F(,)F,F,)准线方程： 2x2x2y2y性质：方程： )0(,py； 焦点：F )0,2(p，通径 AB2；准线：；过焦点弦长pxpxCD2121注意：几何特征：焦点到顶点的距离= ；焦点到准线的距离= ；通径长= p2 102
32、、 )(xf在 0处的导数（或变化率或微商） 0 000 ()(limlixxfxfyfy.103、函数 )(f在点 处的导数的几何意义函数 xy在点 0处的导数是曲线 )(xfy在 )(,0xfP处的切线的斜率 )(0xf，相应的切线方程是 )(0xfy.104、几种常见函数的导数(1) 0C（C 为常数）. (2) 1()()nxQ.(3) xcos)(sin. (4) xsico.(5) 1l；1(lg)lnxa. (6) xe)(; axln)(.105、导数的运算法则（1）()uv. （2）()uv. （3）- 18 -2()(0)uv.106、求函数 xf的单调区间的方法(用导数)
33、若 )(在某个区间 A 内有导数，则 )0)(Axf， （(xf在 A 内为增函数；， （ 在 A 内为减函数。107、判别 )(0xf是极大（小）值的方法(1)、求导 ；（2）令 )(xf=0 求极值点 0x（3） 、列表判断符号：如果在 0附近的左侧 )(f，右侧 0)(xf，则 )(0xf是极大值；如果在 0x附近的左侧 0)(xf，右侧 )(f，则 )(0f是极小值.108、函数的最大值与最小值设 y=f（x）是定义在区间a,b上的函数,y=f（x）在（a,b）内有导数,求函数 y=f（x）在a,b上的最大值与最小值,可分两步进行.求 y=f（x）在（a,b）内的极值.将 y=f（x）
34、在各极值点的极值与 f（a） 、f（b）比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.109、复数 zabi的性质(1) 复数的相等 ,icdiacbd.（ ,acR） (2)当 a=0,b0 时,z=bi 为纯虚数; (3)当 b=0 时,z=a 为实数;(4)复数 z 的共轭复数是 biaz (5)复数 abi的模（或绝对值） |z= |abi= 2.(6) =-1, =-i, =1.2i34110、复数的四则运算法则(1)()()()abicdiacbdi;(2) ;- 19 -(3)()()()abicdabcadi;(4) 22)(0)iii.（分子、分母乘分母共轭复数）111、
35、常用不等式：（1）重要不等式: ,abR2ba(当且仅当 ab 时取“=”号)（2）基本（均值）不等式: , (当且仅当 ab 时取“=”号)112.复平面上的两点间的距离公式 221211|)(dzxy（ 1zxyi，22zxyi）.108.向量的垂直 非零复数 1zabi， 2ci对应的向量分别是 1OZ， 2，则12OZ12的实部为零 1z为纯虚数 21|zz|zz122|0acbd12i( 为非零实数).113.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 2x，若 40bac,则21,24bacx;若 240bac,则 1a;若 2，它在实数集 R内没有实数根；在复数集 C内有且仅有两个共轭复数根22()()ia.
