1、函数应用一、一次函数的实际应用以现实生活问题为背景的函数应用性问题，成为近年来中考试题的一个亮点，这类问题取材新，立意巧，有利于考生应用能力的考查。要求学生要理解每个数据的含义，这是能顺利解决此类问题的关键。考查用待定系数法确定一次函数的解析式及一次函数关系的实际应用问题。例 1某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于 5000 册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：印数 x（册） 5000 8000 10000 15000 成本 y（元） 28500 36000 41000 53500 （1） 经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本 y（元）是印数
2、 x（册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出 x 的取值范围） ；（2）如果出版社投入成本 48000 元，那么能印该读物多少册？分析：这是一道以生活的焦点问题为背景设计的应用问题，它先根据题意和图表确定相关数据，也就是坐标，再由相关数据（坐标）确定相应的函数关系，考查学生运用函数思想和方法解决实际问题的能力。解：（1）设所求一次函数的解析式为 ykxb，则 解得 k ，b16000。502850,836.kb52所求的函数关系式为 y x16000。（2）48000 x16000。52x12800。答：能印该读物 12800 册。练习一1、恩施山青水秀，气候宜人。在世界自然保护区
3、星斗山，有一种雪白的树蟋蟀，人们发现他15 秒钟所叫次数与当地温度之间满足一次函数关系。下面是蟋蟀所叫次数与温度变化情况对照表：蟋蟀 15 秒所叫次数 x 10 19 28 温度 y（） 10 15 20 （1）根据表中数据,用含 x 的代数式表示 y；（2）在该地最热的夏天，人们测得这种蟋蟀 15 秒钟叫了 50 次，那么该地当时的最高温度大约为多少摄氏度？2.某加工厂以每吨 3000 元的价格购进 50 吨原料进行加工。若进行粗加工，每吨加工费用为 600元，需 天，每吨售价 4000 元；若进行精加工，每吨加工费用为 900 元，需 天，每吨售价13 124500 元。现将这 50 吨原
4、料全部加工完。（1）设其中粗加工 x 吨，获利 y 元，求 y 与 x 的函数关系式（不要求写自变量的范围） ；（2）如果必须在 20 天内完成，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？3.温度与我们的生活息息相关，你仔细观察过温度计吗?如图是一个温度计实物示意图，左边的刻度是摄氏温度()，右边的刻度是华氏温度(F)，设摄氏温度为 x()，华氏温度为 y(F)，则 y 是 x 的一次函数. (1)仔细观察图中数据，试求出 y 与 x 之间的函数表达式； (2)当摄氏温度为零下 15时，求华氏温度为多少?4.电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧。经调查，播放甲连续剧平均每集有收视观
5、众 20 万人次，播放乙连续剧平均每集有收视观众 15 万人次，公司要求电视台每周共播放7 集。（1）设一周内甲连续剧播 x 集，甲、乙两部连续剧的收视观众的人次的总和为 y 万人次，求 y 关于 x 的函数关系式。（2）已知电视台每周只能为该公司提供不超过 300 分钟的播放时间，并且播放甲连续剧每集需 50 分钟，播放乙连续剧每集需 35 分钟，请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集，才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大，并求出这个最大值。5.某商场试销一种成本为 60 元/件的 T 恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于 40%，经试销发现，销售
6、量 （件）与销售单价 （元/件）符合一次函数 ，且yxbkxy时， ； 时， ；70x5y80x4（1）写出销售单价 的取值范围；（2）求出一次函数 的解析式；bk（3）若该商场获得利润为 元，试写出利润 与销售单价ww之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，x最大利润是多少？5O 1510 20 2534216354y（米）X（千米/时）二、二次函数的实际应用例 2甲车在弯路作刹车试验，收集到的数据如下表所示：速度 x（千米/小时）0 5 10 15 20 25 刹车距离 y（米） 0 2 6 （1） 请用上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，在图 10 所示的坐标系中画出甲
7、车刹车距离 y（米）与 x（千米/ 时）的函数图象，并求函数的解析式。（2）在一个限速为 40 千米/时的弯路上，甲、乙两车相向而行，同时刹车，但还是相撞了。事后测得甲、乙两车的刹车距离分别为 12 米和 10.5 米，又知乙车的刹车距离 y（米）与速度x（千米/时）满足函数 ，请你就两车的速度方面分析相撞的原因。14分析：利用收集的数据，通过描点可以看出 y 与 x 的关系图象近似于二次函数图象，因此取三点求出二次函数的解析式，再利用解析式解决实际问题。本题涉及的题目并不难，关键是读懂题目，理解每个点所表示的含义。解：（1）如图，画图正确。设函数的解析式为 yax 2bxc。图象经过点（0，
8、0） 、 （10，2） 、 （20，6） ， c0。 21064ab解得 10b函数的解析式为 210yx（2）y12， 12，解得 x130，x240（不符合题意，舍去）又y 乙 10.5， ，x42。10.54因为乙车速度为 42 千米/时，大于 40 千米/ 时，所以，就速度方面原因，乙车超速，导致两车相撞。归纳：1本题利用实际生活背景考查了利用待定系数法求过三点的二次函数解析式及利用函数值求自变量取值的应用问题。 2对于这类开放性综合性问题，要求学生撇开现象看本质，将其转化、抽象成为数学问题，341354也就是建构数学模型的过程。练习一1某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可
9、退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为 7 角时，每天卖出 160 个。在此基础上，这种面包的单价每提高 1 角时，该零售店每天就会少卖出 20 个。考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是 5 角。设这种面包的单价为 x（角） ，零售店每天销售这种面包所获得的利润为 y（角） 。用含 x 的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；求 y 与 x 之间的函数关系式；当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？2某工厂生产的某种产品按质量分为 个档次，生产第一档次（即最低档次）的产品一天生10产 件，每件利润 元，每提高一个档次，利润每件增加
10、 元76102（1）每件利润为 元时，此产品质量在第几档次？（2）由于生产工序不同，此产品每提高一个档次，一天产量减少 件若生产第 档的产品一4x天的总利润为 元（其中 为正整数，且 ）,求出 关于 的函数关系式；若生产某yx1x0yx档次产品一天的总利润为 元，该工厂生产的是第几档次的产品？1083在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子。镜子的长与宽的比是 2：1。已知镜面玻璃的价格是每平方米 120 元，边框的价格是每米 20 元，另外制作这面镜子还需加工费 45 元。设制作这面镜子的总费用是 y 元，镜子的宽度是 x 米。（1） 求 y 与 x 之间的关系式。（
11、2）如果制作这面镜子共花了 195 元，求这面镜子的长和宽。4某机械租赁公司有同一型号的机械设备 40 套。经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为 270 元时，恰好全部租出。在此基础上，当每套设备的月租金每提高 10 元时，这种设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等）20 元。设每套设备的月租金为 x（元） ，租赁公司出租该型号设备的月收益（收益租金收入支出费用）为 y（元） 。（1）用含 x 的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出租设备（套）的支出费（2）求 y 与 x 之间的二次函数关系式；（3）当月租金分别为 300 元和 350 元式，租
12、赁公司的月收益分别是多少元？此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由；（4）请把（2）中所求出的二次函数配方成 的形式，并据此说明：224()bacyax当 x 为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？5某商店购进一批单价为 18 元的商品，如果以单价 20 元出售，那么一个星期可售出 100 件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即当销售单价每提高 1 元，销售量相应减少 10 件，如何提高销售单价，才能在一个星期内获得最大利润？最大利润是多少？三、反比例函数的应用例 3某厂从 2001 年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，
13、具体数据如下表：年 度 2001 2002 2003 2004投入技改资金 z(万元)2.5 3 4 4.5产品成本，(万元件)7.2 6 4.5 4(1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；(2)按照这种变化规律，若 2005 年已投人技改资金 5 万元预计生产成本每件比 2004 年降低多少万元?如果打算在 2005 年把每件产品成本降低到 3.2 万元，则还需投入技改资金多少万元（结果精确到 0.01 万元)?分析：该题设计十分新颖，给出图表后，让学生自己去分析数据之间
14、的关系后，自己确定该函数关系式，此题难度不是很大，关键是学生能否分清楚每个量所表示的意义。解：(1)设其为一次函数，解析式为 ykxb当 时， ； 当 =3 时， 62.5x7.2y解得 ，763kb2.4k13.b一次函数解析式为 .13.yx把 时， 代人此函数解析式，4x.5左边右边 其不是一次函数同理其也不是二次函数 设其为反比例函数解析式为 。当 时， ，可得kyx2.57.2y.25k解得 反比例函数是 。18k18验证：当 =3 时， ，符合反比例函数。xy63同理可验证 4 时， ， 时， 成立。.54.xy可用反比例函数 表示其变化规律。18y(2)解：当 5 万元时， ，
15、。x3.6（万元） ，43.60生产成本每件比 2004 年降低 04 万元。当 时， 。.2y18.x 5x （万元）.60.63还约需投入 0.63 万元。归纳：考查了学生运用待定系数法求一次函数及二次函数、反比例函数的解析式，是一道综合运用基础知识的典型试题。练习三1.某市城建部门经过长期市场调查发现，该市年新建商品房面积 P(万平方米)与市场新房均价x(千元/平方米)存在函数关系 P=25x；年新房销售面积 Q(万平方米) 与市场新房均价 x(千元/平方米)的函数关系为 Q= 10；120x(1)如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等，求市场新房均价和年新房销售总额；(2)在(1)
16、的基础上，如果市场新房均价上涨 1 千元，那么该市年新房销售总额是增加还是减少?变化了多少 ?结合年新房销售总额和积压面积的变化情况，请你提出一条合理化的建议。( 字数不超过 50)2.东海体育用品商场为了推销某一运动服，先做了市场调查，得到数据如下表：卖出价格 x（元/件） 50 51 52 53销售量 p（件） 500 490 480 470 图 8p（件）50049048047050 51 52 53 x（元/件）（1）以 x 作为点的横坐标，p 作为纵坐标，把表中的数据，在图 8 中的直角坐标系中描出相应的点，观察连结各点所得的图形，判断 p 与 x 的函数关系式；（2）如果这种运动服
17、的买入件为每件 40 元，试求销售利润 y（元）与卖出价格 x（元/件）的函数关系式（销售利润=销售收入买入支出） ；（3）在（2）的条件下，当卖出价为多少时，能获得最大利润？3.某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的日销售价 （元）与产品的日销售量 （件）之xy间的关系如下表：（元）x15 20 25 30 （件）y25 20 15 10 在草稿纸上描点，观察点的颁布，建立 与 的恰当函数模型。yx要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？4.某水果店有 200 个菠萝，原计划以 2.6 元/千克的价格出售，现在为了满足市场需要，水果店决定将所有的
18、菠萝去皮后出售。以下是随机抽取的 5 个菠萝去皮前后相应的质量统计表：（单位：千克）（1） 计算所抽取的 5 个菠萝去皮前的平均质量和去皮后的平去皮前各菠萝的质量 10 11 14 12 13去皮后各菠萝的质量 06 07 09 08 09均质量，并估计这 200 个菠萝去皮前的总质量和去皮后的总质量。（2） 根据（1）的结果，要使去皮后这 200 个菠萝的销售总额与原计划的销售总额相同，那么去皮后的菠萝的售价应是每千克多少元？5.在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为 20 元，并且每周（7 天）涨价 2 元，从第 6 周开始保持 30 元的
19、价格平稳销售；从第 12 周开始，当季节即将过去时，平均每周减价 2 元，直到第 16 周周末，该服装不再销售。试建立销售价 与周次 之间的函数关系式；yx若这种时装每件进价 Z 与周次 次之间的关系为 Z 。1 16，2815.0xx且 为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？x能力提高1.右图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是 1m，拱桥的跨度为 10m，桥洞与水面的最大距离是 5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4m 的景观灯若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下图） （1）求抛物线的解析式.5m1m10m
20、?（2）求两盏景观灯之间的水平距离.2如图，宜昌西陵长江大桥属于抛物线形悬索桥，桥面（视为水平的）与主悬钢索之间用垂直钢拉索连接.桥两端主塔塔顶的海拔高度均是 187.5 米,桥的单孔跨度（即两主塔之间的距离）900 米，这里水面的海拔高度是 74 米.若过主塔塔顶的主悬钢索（视为抛物线）最低点离桥面（视为直线）的高度为 0.5 米，桥面离水面的高度为 19 米.请你计算距离桥两端主塔 100 米处垂直钢拉索的长.(结果精确到 0.1米)3.如图,五边形 ABCDE 为一块土地的示意图四边形 AFDE 为矩形,AE=130 米，ED=100 米，BC 截F 交 AF、FD 分别于点 B、C，且
21、 BF=FC=10 米（1）现要在此土地上划出一块矩形土地 NPME 作为安置区，若设 PM 的长为 x 米，矩形NPME 的面积为 y 平方米，求 与 的函数关系式，并求当 为何值时，安置区的面积yxxy 最大，最大面积为多少？yO x（2）因三峡库区移民的需要，现要在此最大面积的安置区内安置 30 户移民农户，每户建房占地 100 平方米，政府给予每户 4 万元补助，安置区内除建房外的其余部分每平方米政府投入 100 元作为基础建设费，在五边形 ABCDE 这块土地上，除安置区外的部分每平方米政府投入 200 元作为设施施工费为减轻政府的财政压力，决定鼓励一批非安置户到此安置区内建房，每户
22、建房占地 120 平方米，但每户非安置户应向政府交纳土地使用费 3 万元为保护环境，建房总面积不得超过安置区面积的 50%若除非安置户交纳的土地使用费外，政府另外投入资金 150 万元，请问能否将这 30 户移民农户全部安置？并说明理由4某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径 AB 间，按相同的间距 0.2 米用 5 根立柱加固，拱高 OC 为 0.6 米(1) 以 O 为原点，OC 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线 y=ax2 的解析式；(2)计算一段栅栏所需立柱的总长度 （精确到 0.1 米）答案：
23、练习一1.(1) 设 y 与 x 之间的关系式 9405xy(2)当 x=50 时ABC DMENPFy= 320c 当地的最高温度大约是 320c9452.解：（1）y4000x600x3000x400x（2）设应把 x 吨进行粗加工，其余进行精加工，由题可得不等式：20，解得：x30503 （ ）设这时总获利 y 元，则 y400x（45003000900） （50x）化简得 y200x30000由一次函数性质可知：这个函数 y 随 x 的增大而减少，当 x 取最小值 30 时，y 值最大；因此：应把 30 吨进行粗加工，另外 20 吨进行精加工，这样才能获得最大利润，最大利润为 2400
24、0 元。3.(1)设一次函数表达式为 y=kx+b，由温度计的示数得 x=0，y=32；x=20 时，y=68.将其代入y=kx+b，得( 任选其它两对对应值也可) . (2)当摄氏温度为零下 15时，即 x=-15，将其代入 ，得所以当摄氏温度为零下 15时，华氏温度为 5F. 4.（1）设甲连续剧一周内播 x 集，则乙连续剧播(7x) 集根据题意得 y20x15(7x) y5x105（2）50x35(7x)300解得 x3 又 y5x105 的函数值随着 x 的增大而增大。23又x 为自然数 当 x3 时，y 有最大值 35105120（万人次）7x4答：电视台每周应播出甲连续剧 3 集，
25、播放乙连续剧 4 集，才能使每周收视观众的人次总和最大，这个最大值是 120 万人次。5. （1）60 84；x（2）由题意得： ,bk80475120一次函数的解析式为： xy（3） 90)(7)12)(6 22 xxw抛物线开口向下，当 时， 随 的增大而增大；90xwx而 60 84x当 时，84864)120)(6(w答：当销售价定为 84 元/件时，商场可以获得最大利润，最大利润是 864 元。练习二1. 解：每个面包的利润为(x5) 角卖出的面包个数为（30020x） （或160（x7）20） 150420)5(203( xy即 14 )(22xxy当 x=10 时，y 的最大值为
26、 500。当每个面包单价定为 10 角时，该零售店每天获得的利润最大，最大利润 500 角 2. 解：（1）每件利润是 16 元时，此产品的质量档次是在第四档次（2）设生产产品的质量档次是在第 档次时，一天的利润是 （元） ，xy根据题意得：)1(476)1(20y整理得： 08x当利润是 1080 时，即 802解得： （不符合题意，舍去）1,521x答：当生产产品的质量档次是在第 5 档次时，一天的利润为 1080 元3. (1) y=240x2+180x+45 (2)长 1m 宽 0.5m.4. 解：（1）未租出的设备为 套，所有未出租设备支出的费用为（2x540）元；701x（2） 2
27、1(40)(254)6540y x（3）当月租金为 300 元时，租赁公司的月收益为 11040 元，此时租出设备 37 套；当月租金为 350 元时，租赁公司的月收益为 11040 元，此时租出设备 32 套。因为出租 37 套和32 套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租 32 套；如果考虑市场占有率，应该选择 37 套；5. 设提高价为 元，利润为 元，则每件所获利润为 元，销售量为xy(2018)x件 y=(10)(2018)()x 28x2436 时， 得最大值是 360 ，104xy204x所以当商店把销售单价提高到 24 元时，一个星期内得获利最大，最大利润是
28、 360 元。练习三12.（1）p 与 x 成一次函数关系。 设函数关系式为 p=kx+b ，则 50491kb解得：k=10，b=1000 ， p= 10x+1000 经检验可知：当 x=52，p=480，当 x=53，p=470 时也适合这一关系式所求的函数关系为 p=10x+1000（2）依题意得：y=px40p=(10x+1000)x40( 10x+1000) y=10x 2+1400x40000 (3)由 y=10x 2+1400x40000 可知，当 时，y 有最大值14072()x 卖出价格为 70 元时，能花得最大利润。3. 经观察发现各点分布在一条直线上设 （k0）bxy用待
29、定系数法求得 4xy设日销售利润为 z则 =xyz10052当 x=25 时，z 最大为 225每件产品的销售价定为 25 元时，日销售利润最大为 225 元练习三4.（1）去皮前 1.2 千克，去皮后 0.78 千克。估计 200 个菠萝去皮前后总质量分别为 240 千克和156 千克。 （2）4 元/ 千克。5. 依题意，可建立的函数关系式为：；即1621230xxy 162523018xxy设销售利润为 W，则 W售价进价故 W16240281130482xx化简得 W162481622xx当 W 时， 0，函数 随着 增大而增大，1 682 yx当 时，W 有最大值，最大值18.56x
30、当 W 时，W ，当 8 时，函数 随612x82xy增大而增大在 时，函数有最大值为x19当 W 时，W ， 12 16，当 16 时，函数4812x162xx随 增大而减小，y在 时，函数有最大值为 18x综上所述，当 时，函数有最大值为 18.提高练习1. （1）抛物线的顶点坐标为（5，5） ，与 y 轴交点坐标是（0，1）设抛物线的解析式是 y=a(x 5)25 把（0，1）代入 y=a(x5) 25 得 a= 4y= (x 5)25（0x 10）4（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是 44= (x5) 25 (x5) 2=1 x 1= x2=5 两景观灯间的距离为 5 米2(方法一)如
31、图，以桥面上位于主悬钢索最低点的正下方一点坐标原点，以桥面（上竖直钢拉索与桥面连接点，不答此点不扣分）所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系则 A（0，0.5） ，B(450, 94.5)，4 分 C(450，94.5).由题意，设抛物线为：yax 20.5.将 C(450，94.5)代入求得:或 .471025a2940a270.51yx当 x=350 时,y=57.4；当 x=400 时,y=74.8 离桥两端主塔 100 米处竖直钢拉索的长都约为 57.4 米,离桥两端主塔 50 米处竖直钢拉索的长都约为 74.8 米(方法二)如图，以抛物线形主悬钢索最低点为原点，以平行于桥面的【竖直钢
32、拉索与桥面连接点所在的（不答此点不扣分） 】直线为 x 轴建立平面直角坐标系.则 B(- 450, 94),C(450,94)设抛物线为：yax 2 将 C(450,94)代入求得: 或 .471025a2940a27150yx当 x =350 时, y = 56.9，当 x=400 时, y=74.356.9+0.5=57.4， 74.3+0.5=74.8离桥两端主塔 100 米处竖直钢拉索的长约为 57.4 米,离桥两端主塔 50 米处竖直钢拉索的长约为 74.8 米.3解：（）延长 MP 交 AF 于点 H，则BHP 为等腰直角三角形BHPH130 x DMHF10BH10(130x)x
33、120 则 yPMEMx100-( x-120) 220x 2CAyxoBCBo xy由 0PH10得 120x130 因为抛物线 y 220x 的对称轴为 x110，开口向下 2所以，在 120x130 内，当 x120 时，y 220x 取得最大值 2其最大值为 y12000 （ ） （）设有 a 户非安置户到安置区内建房，政府才能将 30 户移民农户全部安置由题意，得30100120a1200050%304（1200030100120a）0.01 100.021503a2109解得 18 a25 因为 a 为整数217所以，到安置区建房的非安置户至少有 19 户且最多有 25 户时，政府
34、才能将 30 户移民农户全部安置；否则，政府就不能将 30 户移民农户全部安置4. 解:（1） 由已知：OC=0.6，AC=0.6，得点 A 的坐标为（0.6 ，0.6） ， 代入 y=ax2，得 a= ，53抛物线的解析式为 y= x2（2）点 D1，D 2 的横坐标分别为 0.2，0.4，代入 y= x2，得点 D1，D 2 的纵坐标分别为：53y1= 0.220.07，y 2= 0.420.2753立柱 C1D1=0.60.07=0.53 ，C 2D2=0.60.27=0.33 ， 由于抛物线关于 y 轴对称，栅栏所需立柱的总长度为：2（C 1D1+ C2D2）+OC=2 （0.53+0.33 ）+0.62.3 米ABC DMENPFH
