1、4.7 二阶电路分析,用二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。分析二阶电路， 需要给定两个独立的初始条件。与一阶电路不同，二阶电路的响应可能出现振荡形式。本节以RLC串联电路为例，讨论二阶电路的零输入响应和单位阶跃响应。RLC串联电路如图4.7-1所示，以电容电压uC作为电路响应， 列写该电路方程。根据KVL, 有,uR+uL+uC=us,图4.7-1 RLC串联电路,由于,将它们代入KVL方程，整理得,令2=R/L, 称为衰减常数，0=1/ 称为固有振荡频率。,（4.7-2）,表4-2 二阶电路的齐次解,4.7.1 零输入响应,根据零输入响应的定义，令us=0，同时为了简化讨论中的计算，又不失
2、一般性，令uC(0)=U0，iL(0)=0。,上式为二阶齐次微分方程，其特征方程为,(4.7-3),其特征根为,(1) 0，即R2 。此时p1, p2为不相等的负实数，称为过阻尼情况。令特征根,微分方程的通解为,回路中的电流,放电电流达最大的时刻tm可用求极值的方法解得，令,图 4.7-2 过阻尼时的uC和i的波形,(2) =0, 即 。 此时p1, p2为相等的负实数，称为临界阻尼。特征根为,微分方程的通解为,由初始条件,(3) 0, 即 。 此时p1, p2为一对共轭复根，称为欠阻尼或衰减振荡。特征根为,式中A和为待定常数。由初始条件,图4.7-3 欠阻尼时的uC和i波形,当R=0时，=0
3、,由上式可知，此时uC和i为等幅振荡。这是由于R=0， 电路仅由L、C构成，在振荡过程中不再有能量损耗。 该振荡由电路的初始储能所产生，故称为自由振荡。,4.7.2 阶跃响应,若以p1，p2为不相等的负实根为例，其阶跃响应为,由初始条件,解得,当p1=p2=-, 临界阻尼时,当p1, 2=-jd, 欠阻尼时,4.8 正弦激励下一阶电路的响应,图4.8-1 正弦电压源作用于RC电路,图4.8-1(a)所示一阶RC电路，t=0时开关闭合。若电容电压的初始值uC(0)=U0，电压源为,令,图 4.8-2 直角三角形图示,由图可得,若使上式等号两端相等，必须满足,利用初始条件确定常数A， 即,t 0,
4、图 4.8-3 uC(t)波形,4.9 小 结,(1) 动态元件的VAR是微分或积分关系，如下表所示。,(2) 描述动态电路的方程是微分方程。利用KCL, KVL和元件的VAR可列写出待求响应的微分方程。利用换路定律和0+等效电路，可求得电路中各电流、电压的初始值。,(3) 零输入响应是激励为零，由电路的初始储能产生的响应，它是齐次微分方程满足初始条件的解。零状态响应是电路的初始状态为零，由激励产生的响应，它是非齐次微分方程满足初始条件的解，包含齐次解和特解两部分。假若电路的初始状态不为零，在外加激励电源作用下，电路的响应为完全响应，它等于零输入响应与零状态响应之和。动态电路的响应也可以分为自
5、由响应与强迫响应。对于稳定电路，在直流电源或正弦电源激励下，强迫响应为稳态响应，它与激励具有相同的函数形式。自由响应即为暂态响应，它随着时间的增加逐渐衰减到零。零输入响应和自由响应都是满足齐次微分方程的解，它们的形式相同，但常数不同。零输入响应的待定常数仅由输入为零时的初始条件yx(0+)所确定，而自由响应的待定常数由全响应的初始条件y(0+)所确定。,(4) 利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流电源或阶跃信号作用下的电路响应。 三要素公式为,t 0,求三要素的方法为 初始值y(0+)：利用换路定律和0+等效电路求得。 稳态响应y(): 在直流电源或阶跃信号作用下，电路达到稳态时，电容看作开路，电感看作短路，此时电路成为电阻电路。利用电阻电路的分析方法，求得稳态响应y()。 时常数：RC电路，=RC; RL电路，=L/R。式中R为断开动态元件后的戴维南等效电路的等效电阻。, (5) 单位阶跃响应g(t)定义为：在(t)作用下电路的零状态响应。(6) 对于二阶电路，只要求了解由于其特征根p1, p2的取值有3种不同的情况，其响应分为过阻尼、临界阻尼和欠阻尼。,
