1、2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应求解；,重点,1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定；,3. 二阶电路简介。,第七章 一阶二阶电路的时域分析,例,过渡期为零,电阻电路,7.1 动态电路的方程及其初始条件,一、几个名词 动态元件 动态电路 一阶电路 稳态、暂态 突变（跃变）、渐变 过渡过程,K未动作前，电路处于稳定状态,i = 0 , uC = 0,i = 0 , uC= Us,K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态,初始状态,过渡状态,新稳态,?,有一过渡期,电容电路,K未动作前，电路处于稳定状态,i = 0 , uL = 0,uL= 0, i=Us /R,K
2、接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路,初始状态,过渡状态,新稳态,有一过渡期,K,电感电路,二、过渡过程产生的原因,内因,电路内部含有储能元件 L 、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。,换路：电路结构、状态发生变化,外因,三、研究过渡过程的目的,1、利用其有利的方面利用过渡过程产生电子线路的各种波形。 2、避开其有害的方面换路过程中电容出现过电流、电感出现过电压现象，对元件和设备有损害。,动态电路的方程,应用KVL和元件的VCR得：,经典法,四、过渡过程电路的分析方法,一阶电路,一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程
3、。,（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；,结论：,（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；,二阶电路,二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。,高阶电路,电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。,动态电路的分析方法,（1）根据KVl、KCL和VCR建立微分方程,复频域分析法,时域分析法,（2）求解微分方程,本章采用,工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。,稳态分析和动态分析的区别,稳态,动态,(1) t = 0与t = 0的概念,认为换路在 t=0时刻进行,0 换路前一瞬间,0 换路后一瞬间,3. 电路的初始条件,初始条件为 t = 0时u ，
4、i 及其各阶导数的值,0,0,图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。,例,解,特征根方程：,得通解：,代入初始条件得：,说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。,换路定则,0 换路前一瞬间,0 换路后一瞬间,q (0+) = q (0),uC (0+) = uC (0),换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,L (0)= L (0),iL(0)= iL(0),换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。,换路定则的推论,1、 换路的瞬间，电容相当于电压为uC (0+) 的电压
5、源；电感相当于电流为iL(0)的电流源。若uC (0+)=0，电容相当于短路； iL(0)=0，电感相当于开路。 2、 在直流稳态电路中，电容相当于开路，电感相当于短路。,五、电路初始值的确定,初始值：电路中的u、i在t=0+时的大小 独立初始值： uC (0+) iL(0) 相关初始值：不受换路定则约束的初始值。 iC (0+) uL(0) 可以跃变 求解要点： 1、根据换路定则确定独立初始值。 2、根据换路后的等效电路和电路定律确定相关初始值。,(2) 由换路定律,uC (0+) = uC (0)=8V,(1) 由0电路求 uC(0)或iL(0),uC(0)=8V,(3) 由0+等效电路求
6、 iC(0+),例1,求 iC(0+),电容开路,电容用电压源替代,iL(0+) = iL(0) = IS,uC(0+) = uC(0) = RIS,uL(0+)= - RIS,求 iC(0+) , uL(0+),例2,解,由0电路得：,由0电路得：,求初始值的一般步骤,1、由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-)；,2、由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)；,3、画出t=0+的等效电路图：uC(0+)=0时相当短路；uC(0+)0时相当电压源；,iL(0+)=0时相当开路；iL(0+)0时相当电流源；电压源或电流源的方向与原电路假定的电容电压、电感电流的参考方向应保
7、持相同。,4、由t=0+的等效电路图进而求出其它响应的0+值。,例3,求K闭合瞬间各支路电流和电感电压,解,由0电路得：,由0+电路得：,例4,求K闭合瞬间流过它的电流值。,解,（1）确定0值,（2）给出0等效电路,3. 初始值的计算,解：, t0时，电路处于稳态iL(0-) =0 A, t=0+时，由换路定理iL(0+) =iL(0-) =0 A, 作t=0+时刻等效图（图b),uL(0+)=Us-RiL(0+)=6- 20=6V, t= 时（图c），电路重新达到稳态，L相当于短路线。,iL()=6/2=3A,uL()=0,电感电流 iL不能突变，即iL(0+)= iL(0-) ，但电感电压
8、uL可能突变。本例中 uL(0+) 不等于uL(0-),同理，电容电压 uc不能突变，即uc(0+)= uc(0-) ，但电容电流ic可能突变。,注：,例：如图(a)零状态电路，K于t=0时刻闭合，作0+图并求ic(0+)和uL(0+)。, t0时，零状态 uc(0-)=0 iL(0-)=0,解:, 由换路定理有：uc(0+)= uc(0-) =0 iL(0+)= iL(0-) =0,作0+图： 零状态电容零值电压源 短路线零状态电感零值电流源 开路, 由0+图有：ic(0+)=Us/R1 uL(0+)=uR(0+)=Us,注： ic与 uL在t=0时刻有突变。,练习：如图电路原处于稳态，uc
9、2(0-)=0，t=0时刻K闭合，作0+图并求i(0+)、i1(0+)及i2(0+)。,解：,(1) uc1(0-)=510 =50V uc2(0-)=0,(2) 由换路定理：uc1(0+)= uc1(0-) =50V uc2(0+)= uc2(0-) =0,(3) 由0+图用节点分析法：,得：ua=30V,进一步可得：i(0+)=3A i1(0+)= -4A i2(0+)=6A,思考：,电容、电感有时看作开路，有时看作短路，有时看作电压源（对电容），有时又看作电流源（对电感），为什么？,7.2一阶电路的零输入响应,电路中的响应都是由激励产生的，而激励一般都是指外加的输入信号，即独立源。 在动
10、态电路中，激励除了独立源外，还可以是动态元件的初始储能，即电容上的初始电压或电感上的初始电流。 激励：外加输入信号-独立源US,IS动态元件的初始储能-uC(0+) 和 iL(0+)对线性电路而言，动态电路的响应为二者响应的叠加。,一、一阶电路的零输入响应,换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。,零输入响应：,1. RC电路的零输入响应,已知 uC (0)=U0,特征根,则,代入初始值 uC (0+)=uC(0)=U0,A=U0,令 =RC , 称为一阶电路的时间常数,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,从以上各式可以得出：,连续函数,跃变,（2）响应与初
11、始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；,工程上认为, 经过 35, 过渡过程结束。,：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。,U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0,U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短。它由电路的结构和参数决定。, 大 过渡过程时间长, 小 过渡过程时间短,（3）能量关系,电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.,设uC(0+)=U0,电容放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,例,已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流
12、随时间变化的规律。,解,这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：,分流得：,2. RL电路的零输入响应,特征方程 Lp+R=0,特征根,代入初始值 i(0+)= I0,A= i(0+)= I0,从以上式子可以得出：,连续函数,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；,跃变,令 = L/R , 称为一阶RL电路时间常数,L大 W=Li2/2 起始能量大 R小 P=Ri2 放电过程消耗能量小, 大 过渡过程时间长, 小 过渡过程时间短,物理含义,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短, = L/R,电流初值i(0)一定：,（3
13、）能量关系,电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.,设iL(0+)=I0,电感放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,iL (0+) = iL(0) = 1 A,例1,t=0时 , 打开开关K，求uv。,现象 ：电压表坏了,电压表量程：50V,解,小结,4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。,2. 衰减快慢取决于时间常数RC电路 = RC , RL电路 = L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。,3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。,动态元件初始能量为零，由t 0电
14、路中外加输入激励作用所产生的响应。,列方程：,7.3 一阶电路的零状态响应,非齐次线性常微分方程,解答形式为：,1. RC电路的零状态响应,零状态响应,齐次方程通解,非齐次方程特解,与输入激励的变化规律(与方程右边的函数有相同的形式)有关，为电路的稳态解,变化规律由电路参数和结构决定,全解,uC (0+)=A+US= 0,A= US,由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A,的通解,的特解,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：,从以上式子可以得出：,连续函数,跃变,稳态分量（强制分量）,暫态分量（自由分量）,+,（2）响应变化的快慢，由时间常数RC决定
15、；大，充电慢，小充电就快。,（3）响应与外加激励成线性关系；,（4）能量关系,电容储存：,电源提供能量：,电阻消耗,电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。,例,t=0时 , 开关K闭合，已知 uC（0）=0，求（1）电容电压和电流，（2）uC80V时的充电时间t 。,解,(1) 这是一个RC电路零状态响应问题，有：,（2）设经过t1秒，uC80V,2. RL电路的零状态响应,已知iL(0)=0，电路方程为：,例1,t=0时 ,开关K打开，求t0后iL、uL的变化规律 。,解,这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：,例2,t=0时 ,开关K打开，求t0后iL、
16、uL的及电流源的端电压。,解,这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：,小结：,对于直流一阶电路，其响应一般都可表为如下形式：,零输入响应：,零状态响应：,7.4 一阶电路的全响应,电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。,解答为 uC(t) = uC + uC“,uC (0)=U0,以RC电路为例，非齐次方程,=RC,1. 全响应,全响应,uC (0+)=A+US=U0, A=U0 - US,由起始值定A,2. 全响应的两种分解方式,强制分量(稳态解),自由分量(暂态解),全响应 = 强制分量(稳态解) +自由分量(暂态解),（1） 着眼于电路的两种工作状态,
17、全响应= 零状态响应 + 零输入响应,零状态响应,零输入响应,(2). 着眼于因果关系,便于叠加计算,零状态响应,零输入响应,例1,t=0时 ,开关K打开，求t0后的iL、uL,解,这是一个RL电路全响应问题，有：,零输入响应：,零状态响应：,全响应：,或求出稳态分量：,全响应：,A=4,例2,t=0时 ,开关K闭合，求t0后的iC、uC及电流源两端的电压。,解,这是一个RC电路全响应问题，有：,稳态分量：,全响应：,3. 三要素法分析一阶电路,分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题,用0+等效电路求解,用t的稳态电路求解,一阶电路的数学模型是一阶微分方程 , 解的一般形式为,令 t =
18、 0+,解,例2,t=0时 ,开关闭合，求t0后的iL、i1、i2,解,三要素为：,应用三要素公式,应用三要素法求解响应的步骤,1、确定初始值 f (0+),初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+ 时的数 值，与本章前面所讲的初始值的确定方法完全一样。先作t=0- 电路。确定换路前电路的状态 uC(0-)或iL(0-), 这个状态即为t0阶段的稳定状态，因此，此时电路中 电容C视为开路，电感L用短路线代替。再作t=0+等效电路。这是利用换路后一瞬间的电路确 定各变量的初始值。若uC(0+)=U0，iL(0+)=I0，在此电路 中C用电压源U0代替， L用电流源I0代替;若uC(0+)
19、 =0 或 iL(0+)=0，则C用短路线代替，L视为开路。作t=0+ 等效 电路后，即可按一般电阻性电路来求解其它响应的初始 值。,2、确定稳态值 f (),作t=的等效电路，暂态过程结束后，电路进入 新的稳态，用此时的电路确定响应的稳态值f() 。 在此电路中，电容C视为开路，电感L视为短路，可 按一般电阻性电路来求各响应的稳态值。,3、确定时间常数,RC电路中，=RC；RL电路中，=L/R；其中R 等于：将电路中所有独立源置零后，从C或L两端看 进去的等效电阻，(即戴维南等效电源中的R0)。,例,已知：t=0时开关由12，求换路后的uC(t) 。,解,三要素为：,例：如图电路原处于稳态，
20、t=0时刻K由a转向b，用三要素法求t0时i(t)及 iL(t)，并作出其波形。,解：,（1）求初始值iL(0+)和 i(0+),作0+等效图（b),1 i(0+)+2 i(0+)-(-1.2)=3, i(0+) =1/5 A,等效内阻，从动态元件两端看出去,（4） 由,（2） 求终值iL()和 i() （图c）,（5） 波形（图e）,例：如图(a)电路，uc(0-)=2V，t=0时K闭合，试用三要素法求t0时uc(t)及i1(t)。,解： （1）求初始值uc(0+)及i1(0+),uc(0+)= uc(0-)=2V，作0+图(b)有：,6i1(0+)-2i1(0+)=12, i1 (0+)=
21、3A,（2） 求终值uc()及i1(),6i1()-2i1()=12, i1 ()=3A,uc ()= -2 i1 ()= -6V,（3）求时间常数 =R0C,设用外加电源法（图d）,U0=2I0-2i1,6i1=2i1 i1 =0,U0=2I0,故： 等效内阻R0=U0/I0=2 ,时间常数 =R0C=21=2(s),（4）uc (t)= -6+2-(-6)e-t/2= -6+8e-t/2 (V) t0,i1 (t)= 3+(3-3)e-t/2= 3 (A) t0,已知：电感无初始储能t = 0 时合k1 , t =0.2s时合k2求两次换路后的电感电流i(t)。,0 t 0.2s,t 0.
22、2s,解,(0 t 0.2s),( t 0.2s),7.5 二阶电路的零输入响应,uc(0+)=U0 i(0+)=0,已知：,1. 二阶电路的零输入响应,特征根：,特征方程：,电路方程：,2. 零输入响应的三种情况,过阻尼,临界阻尼,欠阻尼,t=0+ ic=0 , t= i c=0,ic0 t = tm 时ic 最大,tm,2tm,uL,ic,由 uL= 0 可计算 tm,由 duL / dt 可确定uL为极小值的时间 t,能量转换关系,0 t tm uc减小 ，i 增加。,t tm uc减小 ，i 减小.,特征根为一对共轭复根,uc的解答形式：,经常写为：,A ，为待定常数,，间的关系:,t
23、=0时 uc=U0,uc零点：t = -，2- . n-,uc极值点：t =0， ，2 . n,ic,ic零点：t =0，2 . n ，ic极值点为uL零点。, t -,- t ,uC,能量转换关系,0 t ,uC减小，i 增大,uC减小，i 减小,|uC |增大，i 减小,衰减振荡 欠阻尼,特例：R=0时,等幅振荡,解出：,非振荡放电 临界阻尼,小结：,定常数,可推广应用于一般二阶电路,电路如图，t=0时打开开关。 求uc,并画出其变化曲线。,（1） uc(0)=25V iL(0)=5A,特征方程为： 50P2+2500P+106=0,（2）开关打开为RLC串联电路，方程为：,(3),二、R
24、LC串联电路的零状态响应,如图RLC 零状态电路，t=0时K 闭合，分析t0时uc(t)=?,由KVL及VAR：,整理得：,全解,（用稳态解作特解）,初始条件 uc(0+)=0 A1+A2+Us=0 (1),i(0+)=0 , A1S1+A2S2=0 (2),（设s1,2为相异单根）,由(1)(2)有：,故：,7.4 二阶电路的全响应,已知：iL(0)=2A uc(0)=0,求：iL, iR 。,(1) 列微分方程,(2)求特解,解,+,-,(3)求通解,特征根为： P= -100 j100,(4)定常数,特征方程为：,小结：,(1)二阶电路含二个独立储能元件，是用二阶常微分方程所描述的电路。
25、,(2)二阶电路的性质取决于特征根，特征根取 决于电路结构和参数，与激励和初值无关。,(3)求二阶电路全响应的步骤,(a)列写t 0+电路的微分方程,(b)求通解,(c)求特解,(d)全响应=强制分量+自由分量,例：如图电路，K1、K2原处于断开状态，t=0时刻K1闭合，（1）求K1闭合后i1的变化规律。（2）若K1闭合1秒后K2也闭合，求i1、 i2及i 的变化规律。,分析：第一次换路后，是一阶电路。第二次换路后为二阶电路，但此二阶电路可看作两个独立的一阶电路，可借助一阶电路的三要素法求解。,（1）K1于t=0时刻闭合，K2断开,解：,i1(0+)=i1(0-)=0,i1()=Us/(R1+
26、R2)=6/(2+1)=2A (稳态值）, =（L1+L2）/（R1+R2）=（1+2）/（2+1）=1(s),（0t 1s）,（2） 当t=1s时，K2也闭合,i1(1+)=i1(1-)=2(1-e-1)=1.264 (A),i1()=Us/R1=6/2=3 (A),时间常数1=L1/R1=1/2 (s),i2(1+)=i2(1-)= i1(1-) =1.264 (A),i2()=0 (A),时间常数 2=L2/R2=2/1 =2(s),三要素法推广,i (t)= i1(t)- i2(t),注： 本例中i1(t)、 i2(t)分别只有一个固有频率，但i (t)有两个固有频率（此二阶电路可看作两个独立的一阶电路）,i1,i2,如图电路原处于稳态，t=0时刻K闭合，求K闭合后电流iK=?,思考:,参考答案:,
