1、第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析,2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应求解；,重点,4. 一阶电路的阶跃响应和冲激响应。,3. 稳态分量、暂态分量求解；,1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定；,1. 动态元件：,一. 动态元件及动态电路,7.1 动态电路的方程及其初始条件,含有动态元件电容和电感的电路,电容和电感,2. 动态电路：,RC,RL,RLC,例,电阻电路,3. 换路,电路结构、状态发生变化,支路接入或断开,电路参数变化,一般认为换路是在,t=0,时刻发生的，,换路前最终时刻,t=0-,换路后最初时刻,t=0+,换路经历时间,0- 0+,物理量,i(0-),i(0+)
2、,S未动作前，t0时电路处于稳定状态,i = 0 , uC = 0,i = 0 , uC= Us,S接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态,前一个稳定状态,过渡过程,新的稳定状态,?,如何求解此时物理量,电容电路,4. 分析过渡过程的方法,应用KVL和电容的VCR得：,若以电流为变量：,一阶RC电路,应用KVL和电感的VCR得：,若以电感电压为变量：,一阶RL电路,二阶电路,若以电流为变量：,二阶电路,一阶电路,一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。,（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；,结论：,（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数,二阶
3、电路,二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。,二. 换路定律,t = 0+时刻,当i()为有限值时,q (0+) = q (0),uC (0+) = uC (0),换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,电容的初始条件,电荷守恒,结论,当u为有限值时,L (0)= L (0),iL(0)= iL(0),电感的初始条件,t = 0+时刻,磁链守恒,换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。,结论,（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。,注意:,换路瞬间，若电感电压为有限值， 则 电感电流（磁链）换路
4、前后保持不变。,换路瞬间，若电容电流为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,（2）换路定律反映了能量不能跃变。,总结,(2) 由换路定律,uC (0+) = uC (0-)=8V,(1) 由0-电路求 uC(0-)或iL(0-),uC(0-)=8V,(3) 由0+等效电路求 iC(0+),例1,求 iC(0+),电容开路,电容用电压源替代,求初始值的步骤:,由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0)和 iL(0)；,2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。,3. 画0+等效电路。,4. 由0+电路求所需各变量的0+值。,b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。,a. 换
5、路后的电路,（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。,7.2 一阶电路的零输入响应,一. RC电路的零输入响应,已知： uC (0-)=U0,仅由动态元件初始储能产生电压和电流。,由KVL,求：t0时，电容两端电压uC (t),特征根,特征方程,RCp+1=0,则,又uC (0+)= uC (0-)=U0,令 =RC, 称为一阶电路的时间常数，,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,从以上各式可以得出：,连续函数,跃变,（2）响应与初始状态成线性关系，衰减快慢与RC有关；,单位为s, 的大小反映了电路过渡过程时间的长短, = R C, 大 过渡过程时间长, 小
6、 过渡过程时间短,电压初值一定：,R 大（ C一定） i=u/R 放电电流小,C 大（R一定） W=Cu2/2 储能大,物理含义,U0 0.368 U0,U0,U0 e -1,U0 e -2,U0 e -3,U0 e -5,0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0,工程上认为, 经过 35, 过渡过程结束。,：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。,t1时刻曲线的斜率等于,次切距的长度,（3）能量关系,电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。,设uC(0+)=U0,电容放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,例,已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求S闭合后，电容电压和各
7、支路电流随时间变化的规律。,解,这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：,分流得：,特征方程 Lp+R=0,特征根,代入初始值 i(0+)= I0,A= i(0+)= I0,二. RL电路的零输入响应,从以上式子可以得出：,连续函数,跃变,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；,令 = L/R , 称为一阶RL电路时间常数,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短,（3）能量关系,电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.,设iL(0+)=I0,电感放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,iL (0+) = iL(0-)
8、= 1 A,uV (0+)= 10000V 造成,损坏。,例1,t=0时 , 打开开关S，求uv。,现象 ：电压表坏了,电压表量程：50V,解,小结,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的,2.衰减快慢取决于时间常数,3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。,iL(0+) = iL(0-),uC (0+) = uC (0-),RC电路,RL电路,RC电路 = RC ,R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。,RL电路 = L/R,列方程：,7.3 一 阶 电路的 零状态 响 应,非齐次线性常微分方程,解答形式为：,1. RC电路的零状态响应,齐次
9、方程通解,非齐次方程特解,仅由外加输入激励作用产生电压和电流。,的通解,的特解,（强制分量，稳态分量）,（自由分量，暂态分量）,全解,uC (0+)=A+US= 0,A= US,由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：,从以上式子可以得出：,连续函数,跃变,稳态分量（强制分量）,暫态分量（自由分量）,+,（2）响应变化的快慢，由时间常数RC决定；大， 充电慢，小充电就快。,（3）响应与外加激励成线性关系；,（4）能量关系,电容储存：,电源提供能量：,电阻消耗,电源提供的能量一半消耗在电阻上， 一半转换成电场能量储存
10、在电容中。,例,t=0时 , 开关S闭合，已知 uC (0)=0，求(1)电容电压和电流，(2)uC80V时的充电时间t 。,解,(1) 这是一个RC电路零状态响应问题，有：,(2)设经过t1秒，uC80V,500,10F,+,-,100V,S,+,-,uC,i,2. RL电路的零状态响应,已知iL(0-)=0，电路方程为：,7.4 一阶电路的全响应,电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。,解答为 uC(t) = uC + uC“,uC (0-)=U0,以RC电路为例，,=RC,1. 全响应,稳态解 uC = US,暂态解,uC (0+)=A+US=U0, A=U0
11、- US,由初始值定A,uC (0-)=U0,2. 全响应的两种分解方式,强制分量(稳态解),自由分量(暂态解),全响应 = 强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解),(1)着眼于电路的两种工作状态,物理概念清晰,全响应 = 零状态响应 + 零输入响应,零状态响应,零输入响应,(2) 着眼于因果关系,便于叠加计算,+,=,例1,t=0时 ,开关S打开，求t0后的iL、uL,解,这是一个RL电路全响应问题，有：,零输入响应：,零状态响应：,全响应：,3. 三要素法分析一阶电路,一阶电路的数学模型是一阶微分方程：,令 t = 0+,其解答一般形式为：,分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题,用0+等效电路求解,用t的稳态电路求解,三要素,稳态解,初始值,时间常数,解,
