1、122 直线的倾斜角与斜率15.(2015 辽宁沈阳一模,文 15,直线的倾斜角与斜率,填空题) 若直线 l: =1(a0,b0)经过点(1,2),则+直线 l 在 x 轴和 y 轴的截距之和的最小值是 . 解析: 直线 l: =1(a0,b0)经过点(1,2),+ =1.1+2 a+b=(a+b) =3+ 3+ 2 ,当且仅当 b= a 时上式等号成立.(1+2) +2 2 2故直线在 x 轴,y 轴上的截距之和的最小值为 3+2 .2答案:3+2 2123 直线的方程13.(2015 辽宁大连二模,文 15,直线的方程,填空题) 已知圆 O 的方程是 x2+y2-8x-2y+10=0,过点
2、 M(3,0)的最短弦所在的直线方程是 . 解析:圆的标准方程为(x-4) 2+(y-1)2=7,则圆心坐标为 C(4,1),半径 R= ,7若过点 M(3,0)的弦最短 ,则弦以 M(3,0)为中心,则此时 CM 垂直最短弦所在的直线,则 CM 的斜率 k= =1,1-04-3则最短弦所在直线的斜率 k=-1,即所求直线方程为 y=-(x-3),即 x+y-3=0.答案:x+y-3=0130 与圆有关的最值问题9.(2015 河南商丘一模,文 9,与圆有关的最值问题 ,选择题) 若圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0 关于直线2ax+by+6=0 对称 ,则由点( a,b)向圆 C 所作切
3、线长的最小值是( )A.2 B.3 C.4 D.6解析:圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0 化为( x+1)2+(y-2)2=2,圆的圆心坐标为( -1,2),半径为 .2圆 C 关于直线 2ax+by+6=0 对称,所以(- 1,2)在直线上,可得 -2a+2b+6=0,即 a=b+3.点(a,b)与圆心的距离为 ,(+1)2+(-2)2所以点(a,b) 向圆 C 所作切线长 :4,当且仅当 b=-1 时弦长最(+1)2+(-2)2-2=(+4)2+(-2)2-2=2(+1)2+16小,为 4.答案:C131 直线与圆的位置关系20.(2015 辽宁重点中学协作体模拟 ,文 20,直线与
4、圆的位置关系,解答题) 如图,曲线 C 由上半圆C1:x2+y2=1(y0)和部分抛物线 C2:y=x2-1(y0) 连接而成,A,B 为 C1与 C2的公共点( B 在原点右侧),过 C1上的点 D(异于点 A,B)的切线 l 与 C2分别相交于 M,N 两点.(1)若切线 l 与抛物线 y=x2-1 在点 D 处的切线平行,求点 D 的坐标.(2)若点 D(x0,y0)为动点时,求证MON 恒为钝角.(1)解:设点 D 的坐标(a,b),由已知 B(1,0),又 y=2x,所以切线 l 的斜率 k=2,故 =- ,且 a2+b2=1,解得 a=- ,b= ,12 255 55于是点 D 的
5、坐标为 .(-255, 55)(2)证明:设 M(x1,y1),N(x2,y2),由点 D(x0,y0)知切线 l 方程为 x0x+y0y=1,由 y0x2+x0x-y0-1=0,0+0=1,=2-1 显然 0,有 x1+x2=- ,x1x2=-1- ,00 10所以 x1x2+y1y2=x1x2+( -1)( -1)=x1x2+ -( )+1=x1x2+(x1x2)2-(x1+x2)2-2x1x2+121 22 212221+22=-1- +1=- b0,椭圆 C1的方程为 =1,双曲22+22线 C2的方程为 =1,C1与 C2的离心率之积为 ,则 C1,C2的离心率分别为( )2222
6、32A. ,3 B. C. ,2 D. ,212 22, 62 64 14 3解析:ab 0,椭圆 C1的方程为 =1,C1的离心率为 ,22+22 2-2双曲线 C2的方程为 =1,C2的离心率为 ,2222 2+2 C1与 C2的离心率之积为 ,32 .2-2 2+2 =32 ,()2=12,=22则 C1的离心率 e1= ,2-22=22则 C2的离心率 e2= .2+22=62答案:B16.(2015 辽宁鞍山一模,文 16,椭圆的几何性质,填空题) 已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点 ,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1,F2,且它们在第一象限的交点为 P,PF1F2是以 P
7、F2为底边的等腰三角形.若|PF 1|=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2),则该椭圆的离心率的取值范围是 . 解析:如图,设双曲线的半实轴长 ,半焦距分别为 a2,c,椭圆的长半轴长为 a1,|PF1|=m,|PF2|=n,则+=21,-=22,=10,=2 1=5+,2=5-,问题转化为已知 1b0),e= ,其中22+22 12F 是椭圆的右焦点,焦距为 2,直线 l 与椭圆 C 交于点 A,B,点 A,B 的中点横坐标为 ,且 = (其中14 1).(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)求实数 的值.解:(1)由条件可知 c=1,a=2,故 b2=a2-c2=3,故椭圆的标准方程是
8、 =1.24+23(2)由 = ,可知 A,B,F 三点共线,设 A(x1,y1),B(x2,y2),若直线 ABx 轴,则 x1=x2=1,不合题意.当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时,设方程为 y=k(x-1).由 消去 y 得(3+4k 2)x2-8k2x+4k2-12=0.=(-1),24+23=1,由 的判别式 =64k4-4(4k2+3)(4k2-12)=144(k2+1)0.所以1+2=8242+3,12=42-1242+3. 因为点 A,B 的中点横坐标为 ,所以 x1+x2= ,所以 k2= .14 8242+3=12 14将 k2= 代入方程 ,得 4x2-2x-1
9、1=0,14解得 x= .1354又 =(1-x1,-y1), =(x2-1,y2), = ,= ,解得 = . 1-12-2 3+5220.(2015 辽宁大连二模,文 20,直线与椭圆的位置关系,解答题) 已知定点 F1(-1,0),F2(1,0),P 为圆F1:(x+1)2+y2=8 上一动点,点 M 满足( ) =0, = (01) .+22 11(1)求动点 M 的轨迹 C 的方程;(2)设点 M 坐标为 (x,y),求证:|MF 2|= x;222(3)过点 F2作直线 l 交 C 于 A,B 两点,求 的值.1|2|+1|2|(1)解: 点 M 满足( ) =0,+22 ( )(
10、 )= =0,+2 2 222即| |=| |.2又 = , F1,M,P 三点共线,11由题意知 M 在线段 F1P 上, |F1M|+|MP|=2 .2 |F1M|+|MF2|=2 ,2 M 的轨迹是以 F1,F2为焦点,长轴长为 2 的椭圆,2 M 的轨迹 C 的方程为 +y2=1.22(2)证明:设 M(x,y),|F1M|= ,又 +y2=1,(-1)2+222 |F1M|= |x-2|,(-1)2+1-22=22 -2x 2, |MF2|= x.222(3)解: 当直线 l 斜率不存在时,|AF 2|=|BF2|= ,22 =2 .1|2|+1|2| 2 当直线 l 斜率存在时,设
11、直线 l:y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 与 +y2=1 联立得,(1+2k 2)x2-4k2x+2k2-2=0,22由韦达定理得,x 1+x2= ,x1x2= .421+22 22-21+22由(2)问结论知|AF 2|= x1,|BF2|= x2.222 2221|2|+1|2|= 12-221+ 12-222= =2 .22-22(1+2)2-(1+2)+1212=22(1+2)1+22综上, =2 .1|2|+1|2| 220.(2015 河南开封定位模拟,文 20,直线与椭圆的位置关系,解答题) 已知椭圆 C: =1(ab0)的一22+22个焦点在抛物
12、线 y2=8x 的准线上,且过点 M( ,1).3(1)求椭圆 C 的方程;(2)设点 F(-2,0),T 为直线 x=-3 上任意一点,过 F 作直线 lTF 交椭圆 C 于 P,Q 两点. 证明:OT 经过线段 PQ 中点(O 为坐标原点); 当 最小时,求点 T 的坐标.|解:(1)抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=-2, 椭圆 C 的一个焦点为 F1(-2,0),即 c=2,F2(2,0),且过点 M( ,1).3 a2=6,b2=2.2=2+2,32+12=1,故椭圆 C 的方程为 =1,26+22(2) 证明:F 1(-2,0),T 为(-3,m),直线 PQ 方程为 x=my
13、-2,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),联立方程组 =-2,26+22=1,得(m 2+3)y2-4my-2=0,=16m2+8(m2+3)0, y1+y2= ,y1y2= ,42+3 -22+3 x1+x2=m(y1+y2)-4=- .122+3 线段 PQ 中点 M ,kOM=- .(-62+3, 22+3) 3T 为(-3,m),k OT=- ,3 OT 经过线段 PQ 中点 M. |TF|= ,|PQ|= ,2+1 2+1 (1+2)2-412=24(2+1)2+3,|= 124(2+1+ 42+1+4)33当且仅当 m2+1= ,即 m=1 时,等号成立.42+1此时 最小,点
14、 T 的坐标为( -3,1)或(- 3,-1).|20.(2015 辽宁丹东二模,文 20,直线与椭圆的位置关系,解答题) 如图,已知椭圆 C: =1(ab0)的22+22离心率是 ,A,B 分别是 C 的上、下顶点 ,点 B 在直线 l:y=-1 上.32(1)求椭圆 C 的方程;(2)设 P 是椭圆上异于 A,B 的任意一点,PQy 轴于 Q 点,M 为线段 PQ 中点,直线 AM 交直线 l 于点 D,N为线段 BD 的中点,求证:MNOM.(1)解:依题意,得 ,b=1,=32因为 a2-c2=b2,所以 a2=4,故椭圆 C 的方程为 +y2=1.24(2)证明:设 P(x0,y0)
15、(x00),则 Q(0,y0), =1.204+20因为 M 为线段 PQ 的中点,所以 M ,(02,0)又 A(0,1),所以直线 AM 的方程为 y= x+1,2(0-1)0令 y=-1,得 D ,(01-0,-1)又 B(0,-1),N 为线段 BD 的中点,所以 N ,(02(1-0),-1)所以 ,=( 02(1-0)-02,-1-0)所以 +y0(-1-y0)=02( 02(1-0)-02)= -y0-204 11-0 (204+20)=(1- ) -y0-1=0,20 11-0所以 ,即 MNOM.20.(2015 河南中原名校联盟模拟 ,文 20,直线与椭圆的位置关系,解答题
16、) 已知椭圆 =1(ab0)的22+22离心率为 ,过椭圆右焦点且斜率为 1 的直线与圆(x-2) 2+(y-2)2= 相切.22 12(1)求椭圆的方程;(2)设过椭圆右焦点 F 且与 x 轴不垂直的直线 l 与椭圆交于点 A,B,与 y 轴交于点 C,且 AB 中点与 FC的中点重合,求AOB (O 为坐标原点) 的面积.解:(1) ,可得 a= c,=22 2 b2=a2-c2=c2, 椭圆的方程可化为 =1.222+22过椭圆右焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x-c, 此直线与圆(x-2) 2+(y-2)2= 相切,12 ,解得 c=1,|2-2-|2 =22 椭圆的方程为 +y2
17、=1.22(2)设直线 l 的方程为 y=k(x-1),C(0,-k),设 FC 的中点为 M(x0,y0),可得 M .(12,-2)由 化为(2k 2-1)x2-4k2x+2k2-2=0,=(-1),2-22=2,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= .4222-1 22-222-1 ,解得 k2= .1+22 =2222-1=12 12 x1+x2=1,x1x2=- .12则|AB|= (1+2)(1+2)2-412= .(1+12)1-4(-12)=322点 O 到直线 l 的距离 d= .|-|1+2= 221+12=33 SAOB= |AB|d=
18、.12 1232233=64138 双曲线的定义与标准方程10.(2015 辽宁锦州一模,文 10,双曲线的定义与标准方程,选择题) 已知抛物线 y2=8x 的焦点 F 到双曲线 C: =1(a0,b0)渐近线的距离为 ,点 P 是抛物线 y2=8x 上的一动点,P 到双曲线 C 的上焦2222 455点 F1(0,c)的距离与到直线 x=-2 的距离之和的最小值为 3,则该双曲线的方程为( )A. =1 B.y2- =12223 24C. -x2=1 D. =124 2322解析:抛物线 y2=8x 的焦点 F(2,0),双曲线 C: =1(a0,b0)的一条渐近线的方程为 ax-by=0,
19、2222 抛物线 y2=8x 的焦点 F 到双曲线 C: =1(a0,b0)渐近线的距离为 ,2222 455 , b=2a.22+2=455 P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=-2 的距离之和的最小值为 3, |FF1|=3, c2+4=9, c= .5 c2=a2+b2,b=2a, a=1,b=2. 双曲线的方程为 y2- =1.24答案:B7.(2015 天津河北区一模,文 7,双曲线的定义与标准方程,选择题) 已知双曲线 C 的中心在原点,焦点在坐标轴上,P(1,2)是双曲线 C 上的点,且 y= x 是 C 的一条渐近线,则 C 的方程为( )2A.2x2
20、- =122B. -x2=122C. -x2=1 或 2x2- =122 22D. -x2=1 或 x2- =122 22解析:由题意设双曲线方程为 y2-2x2=(0),把点 P(1,2)代入,得 =2.故双曲线的方程为 y2-2x2=2,即 -x2=1.22答案:B139 双曲线的几何性质13.(2015 辽宁沈阳一模,文 13,双曲线的几何性质,填空题) 若双曲线 E 的标准方程是 -y2=1,则双曲线24E 的渐近线的方程是 . 解析:双曲线 E 的标准方程是 -y2=1,则 a=2,b=1,24则渐近线方程为 y= x,即为 y= x.12答案:y= x1213.(2015 河南洛阳
21、二模,文 11,双曲线的几何性质,填空题) 双曲线 =1(b0)的离心率为 ,则此双2422 2曲线的焦点到渐近线的距离为 . 解析:双曲线 =1(b0)的离心率为 ,2422 2即 e= ,解得 b=2,4+22 =2所以双曲线的方程为 y2-x2=4.所以焦点为(0, 2 ),渐近线方程为 y=x,2则双曲线的焦点到渐近线的距离为 d= =2.|22|1+1答案:29.(2015 河南洛阳一模,文 9,双曲线的几何性质 ,选择题) 设 F1,F2分别是双曲线 C: =1 的左、右焦2222点,点 P 在此双曲线上,且 PF1PF 2,则双曲线 C 的离心率 P 等于( )(62, 22)A
22、. B. C. D.22 2 3 62解析:根据已知条件,得322- 122=1,( 62+)2+12+( 62-)2+12=42,解得 32- 12-2=2,2=2, a=1,c= .2 双曲线 C 的离心率为 .=2答案:B10.(2015 宁夏银川一中二模,文 10,双曲线的几何性质,选择题) 以双曲线 =1 的离心率为半径,以242右焦点为圆心的圆与该双曲线的渐近线相切,则 m 的值为( )A. B. C. D.32 13 43 14解析:由题意知,a 2=4,b2=m,c2=m+4.圆的半径等于右焦点(c,0)到其中一条渐近线 y= x 的距离,根据点到直线的距离公式,得R= .|+
23、4|+4 =+42解得 m= .43答案:C3.(2015 河南开封定位模拟,文 3,双曲线的几何性质,选择题) 已知双曲线 4x2-3y2=12,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.73 213 77 72解析:双曲线 4x2-3y2=12 可化为 =1,2324所以 a= ,b=2,c= .3 7故离心率 e= .=213答案:B15.(2015 河南商丘二模,文 15,双曲线的几何性质,填空题) 双曲线 tx2-y2-1=0 的一条渐近线与直线2x+y+1=0 垂直 ,则双曲线的离心率为 . 解析: 双曲线 tx2-y2-1=0 的一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直, 渐
24、近线的斜率为 , .12 =12 e= .1+()2=52答案:525.(2015 河南商丘一模,文 5,双曲线的几何性质 ,选择题) 若双曲线 =1(a0)的离心率为 2,则 a 等2223于( )A.2 B. C. D.1332解析: 双曲线 =1(a0)的离心率为 2,2223 =2,解得 a=1.2+3答案:D5.(2015 辽宁丹东二模,文 5,双曲线的几何性质 ,选择题) 双曲线 C: =1 的渐近线方程为 y= x,2222 32则 C 的离心率为( )A. B. C. D.572 7 213解析:双曲线 C: =1 的渐近线方程为 y= x,2222 由题意可得, ,=32即有
25、 c= a,2+2=72故 e= .=72答案:B4.(2015 河南中原名校联盟模拟 ,文 4,双曲线的几何性质,选择题) 已知圆锥曲线 mx2+y2=1 的离心率为,则实数 m 的值为 ( )2A.-1 B.-2 C.-3 D.1解析:圆锥曲线 mx2+y2=1 为双曲线,即 y2- =1,2-1 圆锥曲线 mx2+y2=1 的离心率为 ,2 e2=1+ =2, m=-1.-1答案:A140 抛物线的定义与标准方程4.(2015 河南郑州一模,文 4,抛物线的定义与标准方程 ,选择题) 已知点 P(a,b)是抛物线 x2=20y 上一点,焦点为 F,|PF|=25,则|ab|=( )A.1
26、00 B.200 C.360 D.400解析:抛物线的准线方程为 y=-5,|PF|=b+5=25, b=20.又点 P(a,b)是抛物线 x2=20y 上一点, a2=2020, a=20. |ab|=400.答案:D11.(2015 河南中原名校联盟模拟 ,文 11,抛物线的定义与标准方程,选择题) 已知点 A 在抛物线(32,-1)C:x2=2py(p0)的准线 l1上,过点 A 作一条斜率为 2 的直线 l2,点 P 是抛物线上的动点,则点 P 到直线l1和到直线 l2的距离之和的最小值是( )A. B. C.2 D.252 5 2解析:由题意,抛物线的焦点为 F(0,1),则直线 l
27、2的方程为 2x-y-4=0,过点 F 作直线 l2的垂线 FH,垂足为H,则线段 FH 与抛物线 C 的交点为所求的点 P.由抛物线的定义可得,|PF|为点 P 到直线 l1的距离,又|PH| 为点 P 到直线 l2的距离,所以点 P 到直线 l1和到直线 l2的距离之和的最小值是 F 到直线 l2的距离 d= ,所以点 P 到直线 l1和|0-1-4|22+(-1)2=5到直线 l2的距离之和的最小值是 .5答案:B141 抛物线的几何性质4.(2015 辽宁沈阳一模,文 4,抛物线的几何性质 ,选择题) 抛物线 y=4ax2(a0)的焦点坐标是( )A.(0,a) B.(a,0)C. D.(0,116) (116,0)解析:由题意知,y=4ax 2(a0),则 x2= y,14所以抛物线 y=4ax2(a0)的焦点坐标是 .(0,116)答案:C5.(2015 河南洛阳二模,文 5,抛物线的几何性质 ,选择题) 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于A,B 两点,若|AF|=5,则|BF|=( )A. B.1 C. D.214 54解析:抛物线的焦点 F(1,0),准线方程为 x=-1,设 A(x,y),则|AF|=x+1=5,故 x=4,此时 y=4,即 A(4,4).
