1、第五章平面向量5.1 平面向量的概念及线性运算65 平面向量的线性运算及几何意义15.(2015 甘肃张掖一模,文 15,平面向量的线性运算及集合意义,填空题) 设 a0 为单位向量, 若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0; 若 a0 与 a 平行,则 a=|a|a0; 若 a0 与 a 平行且|a|= 1,则 a=a0.上述命题中,假命题个数是 . 解析:对于 ,向量是既有大小又有方向的量 ,a=|a|a0 的模相同,但方向不一定相同,所以 是假命题;对于 ,若 a0 与 a 平行时,a 0 与 a 方向有两种情况,一是同向,二是反向,反向时 a=-|a|a0,所以 是假命题;对于
2、 ,若 a0 与 a 平行且|a|=1 时,a 0 与 a 方向有两种情况,一是同向,二是反向,反向时 a=-a0,所以 是假命题.综上,上述命题中,假命题的个数是 3.答案:366 向量共线定理及应用5.(2015 江西上饶二模,文 5,向量共线定理及应用 ,选择题) 已知直线 2x+y-c=0 与圆 x2+y2=R2 交于 A,B两点,则与 (O 为坐标原点)共线的向量是( )+A.(2,-1) B.(-2,-4)C.(4,2) D.(-1,2)解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x1+x2,y1+y2).+由直线方程得 y=-2x+c,代入圆的方程得 5x2-4xc+c
3、2-R2=0,则 x1,x2 为方程两根,x 1+x2= ,45代入 y=-2x+c 得 y1+y2=- +2c= c.85 25则 .+=(45,25)设所求向量为(x,y),则 ,所以 2y=x.45=25答案:C5.2 平面向量基本定理及坐标表示67 平面向量基本定理的应用1.(2015 吉林省实验中学二模 ,文 7,平面向量基本定理的应用,选择题) 已知向量 e1,e2 是两个不共线的向量,若 a=2e1-e2 与 b=e1+e2 共线,则 =( )A.2 B.-2C.- D.12 12解析: a=2e1-e2 与 b=e1+e2 共线, ka=b,k0. k(2e1-e2)=e1+e
4、2. 向量 e1,e2 是两个不共线的向量, 解得 =- .2=1,-=, 12答案:C15.(2015 江西鹰潭一模,文 15,平面向量基本定理的应用,填空题) 在 ABC 中,|AB|=3,|AC|=4,|BC|=5,O为ABC 的内心,且 = + ,则 += . 解析: 在ABC 中,|AB|=3,|AC|=4,|BC|=5,由题意得三角形的内切圆的半径为 r= (3+4-5)=1,12)=13+14=13+14(+= .712+14 = ,= .71214 += .56答案:5612.(2015 江西上饶重点中学二模 ,文 12,平面向量基本定理的应用,选择题) 在平面直角坐标系中,O
5、 为原点,A(-4,0),B(0,4),C (1,0),动点 D 满足| |=1,则| |的最大值为( ) +A. B.4 C.6 D.529 2解析:由题意可得,点 D 在以 C(1,0)为圆心的单位圆上,设点 D 的坐标为(1 +cos ,sin ),则| |+= 16+16+(1+)2+2= 6,34+2所以| |的最大值是 6.+答案:C68 平面向量的坐标运算6.(2015 黑龙江大庆一模,文 6,平面向量的坐标运算,选择题) 已知两个非零向量 a 与 b,定义|ab|=|a|b|sin ,其中 为 a 与 b 的夹角.若 a=(-3,4),b=(0,2),则|ab| 的值为( )A
6、.-8 B.-6 C.6 D.8解析:由 a=(-3,4),b=(0,2),所以|a|= =5,|b|= =2,(-3)2+42 02+22cos = ,|=-30+4252 =45因为 0,所以 sin = ,1-2=1-(45)2=35所以|ab|=|a|b|sin =52 =6.35答案:C13.(2015 黑龙江哈尔滨六中四模 ,文 13,平面向量的坐标运算,填空题) 设 a 与 b 的夹角为 ,a=(3,3),2b-a=(-1,1),则 cos = . 解析:设 b=(x,y),故 2b-a=(2x-3,2y-3)=(-1,1),解得 x=1,y=2,即 b=(1,2),则 ab=(
7、3,3)(1,2)=9,|a|=3 ,|b|= ,2 5故 cos = .|=31010答案:3101013.(2015 甘肃兰州二诊,文 13,平面向量坐标的运算,填空题) 已知向量 a=(x2-1,2+x),b=(x,1),若 ab,则 x= . 解析: a=(x2-1,2+x),b=(x,1),由 ab,得(x 2-1)-x(2+x)=0 解得 x=- .12答案:-1269 平面向量共线的坐标表示13.(2015 江西吉安一模,文 13,平面向量共线的坐标表示,填空题) 若向量 a=(2cos ,-1),b=( ,tan ),3且 ab,则 sin = . 解析: 向量 a=(2cos
8、 ,-1),b=( ,tan ),且 ab,3 2cos tan -(-1) =0.3 2cos =- . 3 sin =- .32答案:-3213.(2015 山西四校联考三模,文 13,平面向量共线的坐标表示,填空题) 已知向量 a=(1,x),b=(x-1,2),若ab,则 x= . 解析:因为 ab,所以 12=x(x-1),解得 x=2 或-1.答案:2 或-13.(2015 山西太原五中二模,文 3,平面向量共线的坐标表示,选择题) 已知向量 a=(cos ,-2),b=(sin ,1),且 ab,则 tan 等于( )(-4)A.3 B.-3 C. D.-13 13解析: ab,
9、 cos +2sin =0. tan =- .12 tan =-3.(-4)=-11+答案:B5.3 平面向量的数量积的运算70 平面向量数量积的运算1.(2015 吉林实验中学二模,文 8,平面向量数量积的运算,选择题) 在 ABC 中,点 D 是 BC 中点,若A=60, ,则| |的最小值是( )=12 A. B. C. D.32 22 34 32解析:如图所示, A=60, ,=12 | | |cos 60= .12 cb=1.在ABC 中,点 D 是 BC 中点, 2 ,=+ 4 +2 =c2+b2+12bc+1= 3,2=2+2 当且仅当 b=c=1 时取等号. | | . | |
10、的最小值是 .32 32答案:A2.(2015 吉林实验中学二模,文 13,平面向量数量积的运算,填空题) 已知 mR,向量 a=(m,1),b=(2,-6),且 ab,则|a- b|= . 解析: 向量 a=(m,1),b=(2,-6),且 ab , 2m-6=0,解得 m=3, a-b=(3,1)-(2,-6)=(1,7), |a-b|= =5 .12+72 2答案:5 23.(2015 山西太原一模,文 13,平面向量数量积的运算 ,填空题) 已知 e1,e2 是夹角为 45的两个单位向量,则| e1-e2|= . 2解析: 两个单位向量 e1,e2 的夹角为 45, | e1-e2|2
11、=( e1-e2)( e1-e2)2 2 2=2 -2 e1e221+22 2=2+1-2 cos 45=1.2答案:14.(2015 广西玉林、贵港 4 月模拟 ,文 14,平面向量数量积的运算,填空题) 设向量 a,b 满足|a|= 1,|a-b|=,a(a-b)=0,则|2a+b |= . 3解析:由 a(a-b)=0,可得 ab=a2=1,由|a-b|= ,可得 (a-b)2=3,即 a2-2ab+b2=3,解得 b2=4,3故(2a+b) 2=4a2+4ab+b2=12,故|2a+ b|=2 .3答案:2 35.(2015 广西桂林、防城港联合调研 ,文 13,平面向量数量积的运算,
12、填空题) 已知非零向量 a,b 的夹角为 60,且|a|=|a- b|=2,则|b |= . 解析:由已知非零向量 a,b 的夹角为 60,且|a|=|a-b|=2,所以|a| 2=|a-b|2=4,整理得|a|=2,| a|2-2|a|b|cos 60+|b|2=4,所以| b|=2.答案:26.(2015 广西柳州一模,文 8,平面向量数量积的运算 ,选择题) 已知 a 与 b 是两个互相垂直的单位向量,若 c 满足(a- c)(b-c)=0,则| c|的最大值为( )A.2 B. C.3 D.2 3解析:如图,设 =a, =b, =c. (a-c)(b-c)=0, a-cb-c. ACB
13、C. 点 C 在以 AB 为直径的圆上. OC 为该圆直径时| |最大,即|c|最大. |c|最大为 .2答案:B7.(2015 广西柳州一中一模,文 3,平面向量数量积的运算,选择题) 设 a= 与 b=(-1,2cos )垂直,(12,)则 cos 2 的值等于( )A.- B.- C.0 D.-122 12解析: a= 与 b=(-1,2cos )垂直,(12,) 2cos2- =0.12 1+cos 2- =0.12 cos 2=- .12答案:B8.(2015 甘肃张掖 4 月模拟,文 14,平面向量数量积的运算,填空题) 在 ABC 中,| |=2,| |=3, =1,则| |=
14、. 解析:如图, ( )= -4=1.2= =6cosBAC=5. cosBAC= .56 在ABC 中由余弦定理得| |2=| |2+| |2-2| | |cosBAC= 4+9-12 =3. 56 | |= . 3答案: 33.(2015 山西太原二模,文 3,平面向量数量积的运算 ,选择题) 已知 a=(1,-2),b=(x,2),且 ab ,则|b|=( )A.2 B. C.10 D.55 5解析:因为 a=(1,-2),b=(x,2),且 ab,所以-2x+2=0,解得 x=1.所以 b=(1,2),则|b|= .12+22=5答案:B13.(2015 江西九江一模,文 13,平面向
15、量数量积的运算,填空题) 已知 a=(1,0),b=(2,3),则(2a-b)(a+b )= .解析: a=(1,0),b=(2,3), 2a-b=(0,-3),a+b=(3,3). (2a-b)(a+b)=-9.答案:-93.(2015 黑龙江绥化重点中学二模 ,文 3,平面向量数量积的运算,选择题) 已知| a|=1,|b|= ,且 ab,则2|a+b|为 ( )A. B. C.2 D.22 3 2解析: ab, ab=0. |a+b|= .(+)2=3答案:B13.(2015 江西红色六校一模,文 13,平面向量数量积的运算,填空题) 已知向量 a=(sin ,cos 2),b=(1-2
16、sin ,-1), ,若 ab=- ,则 tan 的值为 . (2,32) 85解析: 向量 a=(sin ,cos 2),b=(1-2sin ,-1), ,(2,32)若 ab=- ,85则 ab=- =sin -2sin2-cos 2=sin -1,85解得 sin =- ,sin (- 1,1).35 tan = .34答案:344.(2015 江西六校联考二模,文 4,平面向量数量积的运算,选择题) 在 ABC 中,已知| |=4,| |=1,S ABC= ,则 的值为( )3 A.-2 B.2 C.4 D.2解析: SABC= | |sin A,3=12| sin A= . cos
17、A= .32 12 =| | |cos A=41 =2. (12)答案:D14.(2015 江西六校联考二模,文 14,平面向量数量积的运算,填空题) 已知向量 的夹角为 60,|与 |=3,| |=2,若 = ,且 ,则实数 的值为 . +解析: 向量 的夹角为 60,| |=3,| |=2,与 =| | |cos 60=32 =3.12 , =0. = ,+ =( ) =0.+又 ,= ( )( )= - =(-1) - =0,+2+2 2+2 3(-1)-9+4=0,解得 = .16答案:1614.(2015 江西景德镇二模,文 14,平面向量数量积的运算,填空题) 已知 a=(3,4)
18、,b=(-1,2m),c=(m,-4),满足 c(a +b),则 m= . 解析: a=(3,4),b=(-1,2m),c=(m,-4), a+b=(2,2m+4).又 c(a+b), 2m+(-4)(2m+4)=0,解得 m=- .83答案:-8311.(2015 贵州贵阳二模,文 11,平面向量数量积的运算,选择题) A,B 是半径为 2 的圆 O 上的两点,M 是弦 AB 上的动点,若AOB 为直角三角形,则 的最小值为( )A.-1 B.- C.0 D.212解析:如图,根据条件知 OAOB,OAB=45, =( )+=+2= |+| |2,2| | |=0 时, 取最小值 0. 答案
19、:C13.(2015 江西上饶三模,文 13,平面向量数量积的运算,填空题) 若非零向量(a-b)(a+ b)=0,|a+b|= |a|,3则 a,b 的夹角为 . 解析:非零向量(a-b )(a+b)=0,|a+b|= |a|,3所以|a|=|b|.所以 a2+2ab+b2=3a2,2|a|b|cos=|a|2.所以 cos= .所以 a,b 的夹角为 .12 3答案:313.(2015 贵州贵阳一模,文 13,平面向量数量积的运算,填空题) 已知向量 a,b 夹角为 45,且|a|=1,|b|=3 ,则|2a-b|= . 2解析:根据题意,得:|2a-b|= (2-)2=42-4+2= 4
20、12-413245+(32)2= .10答案: 106.(2015 江西重点中学协作体一模 ,文 6,平面向量数量积的运算,选择题) 在等腰 ABC 中,BC=4,AB=AC,则 =( )A.-4 B.4 C.-8 D.8解析:在等腰ABC 中,BC=4,AB=AC,则 =| | |cos B= |BC|2=8.12答案:D9.(2015 江西红色六校二模,文 9,平面向量数量积的运算,选择题) 在 ABC 中,AB=4,ABC=30,D 是边 BC 上的一点,且 ,则 的值为 ( )=A.0 B.4 C.8 D.-4解析:因为 ,所以 ( )=0,即 =0.= 所以 ADBC.又ABC=30
21、,所以BAD= 60,AD=ABcosBAD=2.所以 =24cos 60=4.答案:B4.(2015 广西防城港、桂林一模 ,文 4,平面向量数量积的运算,选择题) 已知向量 a=(1,3),向量 b 满足ab=5,且| a+b|=3 ,则|b|=( )5A. B. C.5 D.155 10解析:向量 a=(1,3),|a|= ,向量 b 满足 ab=5,且|a+b|=3 ,10 5 a2+2ab+b2=45,即 10+10+b2=45.则|b|=5 .答案:C14.(2015 江西宜春高安四校一模 ,文 14,平面向量数量积的运算,填空题) 已知 a,b 是单位向量,a b=0.若向量 c
22、 满足|c -a-b|=2,则|c|的取值范围是 . 解析:由 a,b 是单位向量,a b=0.设 a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y).因为向量 c 满足| c-a-b|=2 可得( x-1)2+(y-1)2=4,其圆心 C(1,1),半径 r=2.因为|OC|-r| c|= |OC|+r,2+2所以|OC|= .2所以 2- |c|= 2+ .2 2+2 2所以|c|的取值范围是2- ,2+ .2 2答案:2- ,2+ 2 214.(2015 甘肃兰州一中模拟,文 14,平面向量数量积的运算,填空题) 在 ABC 中,A=90,AB=1,BC=,点 M,N 满足 = =(1-)
23、,R ,若 =-2,则 = . 5 , 解析:由题意可得 =0, = =(1-) ,R, 由于 =( )( )=(1-) =(1-) -(1-)| |2-| |2+ =-4(1-)-=-2,解得 = . 23答案:234.(2015 甘肃嘉峪关一中三模 ,文 4,平面向量数量积的运算,选择题) 已知向量 a,b 的夹角为 45,且|a|=1,|2a-b|= ,则|b|=( )10A.3 B.2 C. D.12 2 2解析:因为 a,b 的夹角为 45,且|a|=1,|2a-b|= ,10所以 4a2-4ab+b2=10,即|b |2-2 |b|-6=0,2解得|b|= 3 或 |b|=- (舍
24、).2 2答案:A15.(2015 吉林长春实验中学三模 ,文 15,平面向量数量积的运算,填空题) 已知向量 的夹角为与 120,且| |=2,| |=3,若 = ,且 ,则实数 的值为 . +解析: 向量 的夹角为 120,且| |=2,| |=3,与 =| | |cos 120=23 =-3, (-12) = ,且 ,+ =( ) =( )( )=0,+即 +| |2-| |2=0, -3+9+3-4=0,解得 = .127答案:12711.(2015 甘肃河西五地二模,文 11,平面向量数量积的运算,选择题) 在 ABC 中,A,B,C 的对边分别为a,b,c,且 bcos C=3ac
25、os B-ccos B, =2,则ABC 的面积为( )A. B. C.2 D.4232 2 2解析:在ABC 中, bcos C=3acos B-ccos B,利用正弦定理可得 sin Bcos C=3sin Acos B-sin Ccos B,即 sin(B+C)=3sin Acos B,即 sin A=3sin Acos B,求得 cos B= .13再根据 =accos B= =2,可得 ac=6,3 ABC 的面积为 acsin B= 6 =2 .12 12 223 2答案:C3.(2015 甘肃兰州一模,文 3,平面向量数量积的运算 ,选择题) 已知向量 a,b 满足 ab=0,|
26、a|=1,|b|=2,则|a-b|= ( )A.0 B.1 C.2 D. 5解析: 向量 a,b 满足 ab=0,|a|=1,|b|=2, |a-b|= .2+2-2=1+22-0=5答案:D16.(2015 甘肃兰州一模,文 16,平面向量数量积的运算,填空题) 若函数 f(x)=2sin (-2x14)的图(8+4)象与 x 轴交于点 A,过点 A 的直线与函数的图象交于 B,C 两点,则( ) = .(其中+O 为坐标原点) 解析:f(x )=2sin 的周期是 16,(8+4) f(x)=2sin (-2x14)的图象仅与 x 轴交于点 A(6,0)且关于点 A 对称,(8+4)故 A
27、 是线段 BC 的中点,则( ) =2 =236=72.+答案:724.(2015 甘肃庆阳一诊,文 4,平面向量数量积的运算 ,选择题) 已知向量 a=(1,n),b=(-1,n),若 2a-b 与 b 垂直,则 n2 的值为( )A.1 B.2 C.3 D.4解析:向量 a=(1,n),b=(-1,n),则 2a-b=(3,n),若 2a-b 与 b 垂直,则(2a-b)b=0,则有-3+n 2=0,n2=3.答案:C5.(2015 甘肃河西五地一模,文 5,平面向量数量积的运算,选择题) 已知平面向量 a 与 b 的夹角为 ,且3|b|=1,|a+2b|=2 ,则|a|=( )3A.1
28、B. C.2 D.33解析: |a+2b|=2 , |a+2b|2=12,即 a2+4ab+4b2=12.3 |a|2+4|a|1cos 60+412=12,化简得|a| 2+2|a|-8=0,解得|a|=2.答案:C4.(2015 甘肃张掖二模,文 4,平面向量数量积的运算 ,选择题) 已知平面向量 a=(1,-3),b=(4,-2),a+b 与a 垂直,则 是( )A.-1 B.1 C.-2 D.2解析: (a+b)a, (a+b)a=0,即(+ 4)+3(3+2)=0,整理得 10+10=0, =-1.答案:A72 平面向量数量积的应用1.(2015 江西上饶重点中学一模 ,文 7,平面
29、向量数量积的应用,选择题) 已知向量 a=(3,4),a-2b=(11,4),若向量 a 与向量 b 的夹角为 ,则 cos =( )A. B.- C. D.-35 35 45 45解析:向量 a=(3,4),a-2b=(11,4),得到 b=(-4,0),所以向量 a 与向量 b 的夹角为 ,则 cos = =- .|=-1254 35答案:B2.(2015 黑龙江大庆二模,文 14,平面向量数量积的应用,填空题) 已知向量 a 与 b 的夹角是 ,且3|a|=1,|b|=4,若(3a+ b)a,则实数 = . 解析:由已知条件得,(3a+ b)a=3a2+ab=3+2=0. =- .32答
30、案:-323.(2015 江西赣州一模,文 9,平面向量数量积的应用 ,选择题) 已知向量 a=(-1,2),b=(3,-6),若向量 c 满足c 与 b 的夹角为 120,c(4a+b)=5,则|c |=( )A.1 B. C.2 D.25 5解析:设 c=(x,y), a=(-1,2),b=(3,-6), 4a+b=(-1,2),|4a+b|= .5 c(4a+b)=5, -x+2y=5,即 x-2y=-5. 向量 c 满足 c 与 b 的夹角为 120, - ,即- ,12=| 12= 3-6352+2 - , =2 .12= 3(-5)352+2 2+2 5故|c|=2 .5答案:D1
31、1.(2015 吉林三模,文 11,平面向量数量积的应用 ,选择题) 边长为 4 的正方形 ABCD 的中心为 O,以 O为圆心,1 为半径作圆,点 M 是圆 O 上的任意一点,点 N 是边 AB,BC,CD 上的任意一点(含端点), 则的取值范围是 ( )A.-18,18 B.-16,16C.-12,12 D.-8,8解析:以 E 为坐标原点,x 轴AB,y 轴AD,建立如图所示平面直角坐标系:设 M(cos ,sin ), =(0,-4),(1)若 N 点在边 AB 上,设 N(x0,-2),-2x 02,则 =(x0-cos ,-2-sin ), =8+4sin , 所以由-44sin 4 可得到 4 12.(2)若 N 点在边 BC 上,设 N(2,y0),-2y02,则 =(2-cos ,y0-sin ), =-4y0+4sin , 所以由-8- 4y08,-44sin 4 可得到- 12 12.(3)若 N 点在边 CD 上,设 N(x0,2),-2x 02,则 =(x0-cos ,-2-sin ), =-8+4sin , 所以由-44sin 4 可得到-12 -4.所以综上可得-12 12.答案:C
