1、概 率 论 与 数 理 统 计 复 习第 一 章一 、关 于 “样 本 空 间 、随 机 事 件 、频 率 的 概 念 ，随 机 事 件 之 间 的 关 系 与 运 算 ”的 题 目1. 如果 ， ，则（ D ）不成立。0)(,)(BPA)|()BAP（A） ； （B） ；（C） A，B 相容； （D）A，B 不相容.|2. 设 A，B 为任意两个事件，且 ，则下面选项必然成立的是（ B ）0)(,（A） ；（B） ；（C ） ；（D）)|()P|)(PA)|()P)|()P3. 设 则（ A ）,C（A） （B） 且 （C） （D） 或BACAB4. 已知事件 A 发生必定导致事件 B 发生
2、，且 ，则 0 . 10P)|(5. 设 ，则下列结论正确的是（ A ）8.)(,7.0)(,8.)( APP（A）A 与 B 独立； （B） A 与 B 互斥； （C） ；（D）A 与 B 对立6设 P(AB)=0, 则下列命题正确的是 D .(A)A 与 B 不相容 (B)A 与 B 独立 (C)P(A)=0 或 P(B)=0 (D)P(A-B)=P(A).二 、关 于 “概 率 的 基 本 性 质 及 加 法 定 理 ；概 率 的 公 理 化 定 义 ”的 题 目7已知事件 A 与事件 B 相互独立， 则 或 .)(,1)(BAPBAP,973458设当事件 A 与 B 同时发生时，事件
3、 C 必发生，则（ B ）（A） （B ） 1)()(PCP )()(（C） （D ）AP9. 设 A，B 为两个任意事件，则使减法公式 成立的为（ C ）CP)(（A） （B） （C） （D ）)(B)()(AB10设 A，B 为两个互不相容的事件， ，则（ B ）一定成立01,0)(1AP（A） （B） （C） （D ）)(1)(P)(1)(AP0)(P11 设 A 与 B 为两个随机事件，且 ， 则 ( A ) 一定成立（A） （B） （C） （D ）)( )()(BP12设两两相互独立的三事件 A，B，C 满足 ABC=， P(A)=P(B)=P(C)2 时,f(x,y)=0, 故Gd
4、yfX),( )1(021500520 edyedxey或 )(2251500 xedxxx17. 设二维随机变量(X,Y)在矩形区域 上服从均匀分布.记0,2|),(yyYXU、,1YXV,1、(1)求 U 与 V 的联合分布. (2)U 与 V 是否相互独立?解: (1) 因为 (X,Y)在 G 上服从均匀分布G所以 41YXP21YXP412YXP(U,V)的所有可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),0, VU021YXPP412, YXP21)40(VU所以 U 与 V 的联合分布为VU 0 1 0 1/4 1/4 1/21 0 1/2 1/21/4 3/418.
5、设 X,Y 是相互独立的随机变量，且分别服从参数为 的指数分布。 （1）求 ， （2）引入随机变, YXP量 求随机变量 Z 的分布律。YXZ,0,1解： ，)0(,)(xef )0(,0)(xefY)(,0,),(、yyxfy（1） 0),(yxYX dedxfP （2） ，、1Z1ZP1ZP0随机变量 Z 的分布律为:Z 0 1p 19.一个电子仪器包含两个主要元件，分别以 和 表示这两个元件的寿命（单位：小时） ，如果（ ， ）XYXY的联合分布函数为 、 ,0,0,1),( )(01.1.1. yxeeyxFyyx求:(1) （ ， ）的联合概率密度;(2) （ ， ）的边缘概率密度X
6、YXY);(,yfxYX(3) 和 是否相互独立？(4)XY120,YXP解: (1) （ ， ）的联合概率密度 其 他,00,1.),(),( )(. yxeyxFf y(2) .,00,1.),()( .、edyxff xX .,0,1.),()( y0.Y 其 他 ，xedyff(3)由于 ，所以 和 相互独立。 Y)(fX(4) 12,0P,12P0Ydyedxe12001.120. 4.220X,Y 的联合概率密度是 ,则 X,Y 为( C )的随机变量.、,0),(2yxyxf(A) 独立同分布 (B) 独立不同分布 (C) 不独立同分布 (D) 不独立也不同分布四 、关 于 “条
7、 件 分 布 和 二 维 随 机 变 量 函 数 分 布 ”的 题 目21. 设两个相互独立的随机变量 X 与 Y 的分布律分别为X 1 3p 0.3 0.7则 （ C ）5YP（A） 0.12； （B）0.42； （C）0.54； （D ）以上结论都不对.22设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布 N(-1,1),且相互独立，则 Z=X-2Y 的概率密度为 。zezfzZ,10)(10)(223、设随机向量(X,Y)的概率密度为 其 它,010,8);( yxyyxf求 (1)条件概率密度 )|(yxfX； (2) Z=X+Y 的概率密度.;解 : (1) dfyfY),()(1210,)1
8、(480y yyx其 它当 ,10y,1)(48)(,)|( 22| xyyfxfYYX 、(2) dzfzfZ,()(当 ,32)(82)10 zxZ时 ，Y 2 4p 0.6 0.4当 .3284)(821)(21 zdxzzfzZ 时 ，其它情形， .0故概率密度为其 它,02132840,3zzfZ24 设二维随机变量（ ， ）的联合分布密度为XY. ,0,0,2),(其 它 yxeyxfy求随机变量 的分布密度.Z2解： zpzzF)( dxyedyfDzyx22),(（1）图 1 1111111111111图111111111111111图111111图11111111111111
9、1当 时， （图 1）0ZzyxyxD2,0, 22202)( zzyzzyx dededFzzzye124（2）当 时， （图 2）0ZzxxD,0,04022)( dyededyzFzyzy ze21所以 ,2,)(zz随机变量 的分布密度为 Z0,21,)(zezfz25、有两个相互独立工作的电子装置,其寿命 ),21(kX服从同一指数分布,分布函数为其 它， ,01)(xexF(1) 若将这两个电子装置串联成整机,求整机的寿命的分布函数和数学期望 ;(2)若将这两个电子装置并联成整机,求整机的寿命的分布函数和数学期望 .解 : (1) 若串联 ,则令 ,则 21minX21xFxX所以
10、 则 0,12xexFX 0,ef 所以 021dxedfE(2) 若并联,则令 ,则 21maxXY2yFY所以 则 0,012yeyFy 0,01 yeyf yy所以 2310 dedfYEyy26.设 是相互独立的,均服从(0-1)分布,且 .求 的概率分布.21 60)1()(1P,min21解: 36.0.)1,()(21P4360027. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度为 其 他,00,1),(3 xyxayxf(1) 求 a ;(2) 求 X 和 Y 的边缘概率密度 , .并判断 X 与 Y 是否相互独立?)(fX)(fY(3) 求 E(X), E(Y), 并判断 X 与 Y
11、 是否相关？(4) 求 PYX/2;(5) 求 的概率密度Z)(zfZ解： (1) 由于 所以 解得 1),(dxyf1031xdya5a(2) X 的边缘密度为 其 他,105),()( 4xffXY 的边缘密度为 其 他,010)1(45),()( 413 yydxyxfyf yY显然 , 所以 X 与 Y 不独立)()(fxfYX(3) 1056dxEX10412)()()( ydyfYY 1045),()( xdxfXE显然 ,所以 X 与 Y 相关.YE(4) 2102315),(xy xdydyfP(5) Z 的密度为 zfzfZ),()(由于 得 x01x210当 时, z647
12、5)(23zdzfzZ当 时, 21)1()(123xfzZ当 或 时, z00综合上述可得 其 他,021)6(450,7)(4zzzfZ第 四 章一 、关 于 “数 学 期 望 、方 差 、协 方 差 、相 关 系 数 的 计 算 ”的 题 目1. 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为X Y -1 0 10 0.1 0.1 0.11 0.3 0.1 0.3求 .)(2)()(1 YXDXYE、解 X、Y 的边缘分布为：X 0 1p 0.3 0.7（1）EX=0.7，EY=0.21.07.,7.E2 D8041YY（2） )(2XEX、E)( 1.0.01.(0ijijpyxY 03
13、.1.03.)( 所以 .)7.28.1XD、2. 设(X,Y)的联合概率密度函数为 其 他,00;1)1(4,( xyxyxyxf ,试求: 及 .),);();( YXCovYE解: dxyfX,10 53)(24xydyfYE),()( 102)(xdyxfX),()(22 1025)(4xydyfYE),()(22 1031)(2x22)()XEXD5)(222)()YY1)(52dxyyfXE),()( 102154)(4xdy)()(),( YEXYCov 7531Y -1 0 1p 0.4 0.2 0.4)(,YDXCovY325173. 设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为
14、 2,01,(,),xyyfy其 他求 X 与 Y 的期望，方差，协方差，相关系数。解： 同理 105(,)(2)12Exfydxdx 512EY6yy同理 12220(,)()4Xxfyxx 24则 544DE21()DYE，所以 12(,)6CovXYXY(,)141XYCovD4. 设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为 、,00, xyAxyf求 X 与 Y 的期望，方差，协方差，相关系数，并求 D(5X-3Y)解：首先确定常数 A，因为有 (,)1fxd10(,)8Afxydyx1,8A4(8)5xEX10(,)1Yyfxyd22226)(37xDx10841()(525Ey0(,
15、 )9xCovXYXYydx4(,)325217XYD)3,cov()3()()35( YXY 225353(,)DYCovXY21490752575设随机变量 X 的均值、方差都存在，且 ， ，则 0 0)(XD)(XDEY)(Y)(YD1 . 6. 设随机变量 X 的概率密度为 则 ， 。其 它 ,0,112)(2xx)(E0)(147. 设随机变量 和 相互独立, 且 , ,则 ED)(2解： 22222)()(E 1)(D8.设 是离散型随机变量， ， 且 ，又知X531xXp52xXp21x)(XE,256)(,57D求 的值。21,x解: 只取两个值 从而.,21 7)(21E ,
16、)(3)( 2221D得到 解得 或 又 ，所以 . 3721x21x5492 21x219. 设连续型随机变量 X 的密度函数为 .,0,4,)(、bcaxf已知 E(X)=2， ，求：（1） 的值；（2）随机变量 的期望和方差.43P ,baXeY解 （1）由密度函数的性质 得 （A）-)(dxf04226)(1bcadxbcxd又由数学期望的定义可知 （B）2042358)(ca再由 可得， （C）43X1P1322)(43bcadxbxd联立（A） 、 （B） 、 （C）并解之得 .4c,b a（2） dxedxe2042X11EY 4220)(41)( xxxee42)(dxedxe
17、22042X2 11)(EY424220)(16)(16xxx2)1(6于是 42422 )(1)()()(eeeEYD10.设 X,Y 是随机变量,D(X)=9,D(Y)=16,相关系数 2XY,则 D(X+Y)= .3711. 对于任意的两个随机变量 和 ,若 ,则有( B )()(E(A) (B) )()(D )D(C) 和 独立 (D) 和 不独立二 、关 于 “六 个 常 见 分 布 的 期 望 和 方 差 ”的 题 目12设随机变量X服从二项分布，即 ，且 则 （ ）),(pnbX,71,3pEXn(A) ； (B) ； (C) ； (D) ；13. 设随机变量 相互独立, 在0,
18、 6上服从均匀分布， 服从参数 的指数分布， 服从321,1 223X参数 的泊松分布，记 ，则 46 .332XY)(YD14设随机变量 X 的概率密度为.0,)(1xexfx ，则数学期 )(XeE。413三 、关 于 “切 比 雪 夫 不 等 式 ”的 题 目15.设 相互独立， ，则 ，有（ D ）921, 9,21,iDXEii 0（A） ； （B） ； 211iXP 211iP（C） ； （D ）291i 2919iX16. 设随机变量X的方差存在，则 （ ）aEP(A) ； (B) ； (C) ； (D) ；DX22aD17设随机变量 X 的数学期望 E(X)= ，方差 D(X)= ，则由切比雪夫不等式，有 P|X-| 3 .29118. 设 X1,X2,Xn 为 n 个相互独立同分布的随机变量,且 E(Xi)=, D(Xi)=8 (i=1,2,.,n),对于nii1,用切比雪夫不等式估计 P-4 X+4 _.n21第 五 章1设 是 次独立重复试验中事件 A 出现的次数， 为 A 在一次试验中出现的概率，则 npbpqaPnlimat abde)(212、
