1、高考数学热点难点突破技巧第 14 讲：放缩法在数列不等式证明中的技巧【知识要点】1、数列不等式的证明是高考数学中的重点和难点，在高考中屡见不鲜，同时给考生带来了不小的麻烦.在数列不等式证明题中，放缩法是典型的处理方法之一.由于放缩法的灵活多变性和技巧性，多数学生在遇到这类问题，手足无措.少数同学能动笔，但是解题效率比较低. 实践表明，“放大一点过大，缩小一点嫌小”，可见，在数列不等式证明中对放缩法“度”的把握至关重要.本笔记借助典型例题的分析，破解放缩法在数列不等式证明题中对“度”的控制，使大家真正体会放缩法也是“有法可依”的，揭开其神秘面纱.2、证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值
2、适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法.3、放缩 的常见技巧：添加或舍去一些项，如： .22 221,(1),1aannn将分子或分母放大或缩小，如： .2 2,()()kkkk利用基本不等式等，如： .1()n4、放缩法在数列不等式证明中主要有两种技巧.技巧一：先求和再放缩；技巧二：先放缩（等差数列、等比数列、差比数列、裂项相消数列）再求和.【方法讲评】方法一 先求和再放缩使用情景数列通项化简变形后求和比较方便(可以等差数列等比数列求和、错位相减、分组求和、倒序相加、裂项相消求和等).解题步骤先对通项进行化简变形，再对数列求和(可以等差数列等比数列求和、错
3、位相减、分组求和、倒序相加、裂项相消求和等).，再对最后的和进行放缩，完成解题目标.【例 1】已知正项数列 的前 项和为 ，且 是 1 与 的等差中项nansnna（）求数列 的通项公式；n（）设 为数列 的前 项和，证明： nT12na21()3nTN（2），121()22nann，1()352T n又 ，综上 成立. 1,n110,3nnTa()TN【点评】 （1）由于该题的已知条件为数列通项 与前 项和 的关系，那么，学生自然而然地就想到利nanS用项和公式 来求数列的通项公式.对于问题第 2 问，根据学生的做题经验以及总结，1n-2nSa由于 的通项公式的特征（分式），那么我们很容易就
4、想到要利用裂项相消的方法来求 的通项公式，n nb从而得出 的前 项和，再利用函数的基本性质得出该题的证明结论.(2)在做题时我们一般先分析数列的b通项公式，如果此数列是等差或等比数列，就可以直接进行求和，或是能通过变形转化为等差、等比数列，再进行求和，再或者可以利用裂项相消求和、分组求和、错位相减、倒序相加等求和方法求和.求和完成之后，再对和进行放缩，完成解题目标.（3）第 2 问的放缩，也可以是利用了函数 的单调12nT性进行放缩，该函数在定义域内是一个复合函数，是一个增函数，所以 n=1 时，函数取最小值 ，当 n 趋3近正无穷大时， ，所以 .利用函数的单调性来放缩，也是放缩法常用的一
5、个技巧，大家1nT213nT要熟练掌握.【反馈检测 1】正项数列 的前 项和 满足： nans22(1)()0nns（1）求数列 的通项公式 ；n（2）令 ，数列 的前 项和为 ，证明：对于任意的 ，都有21()nnbanbnTnN5.64nT【反馈检测 2】已知递增的等差数列 中， 、 是方程 的两根，数列 的前na项和为 ，且 =112()求数列 ， 的通项公式；记 ，数列 的前 项和为 求证： .nabnncabncnT2n【反馈检测 3】设等差数列 的前 项和 ，已知 为整数，且 .nas19,25s（）求 的通项公式；（）设数列 的前 项和为 ，求证： .na1nan49n方法二 先
6、放缩再求和来源:学。科。网 Z。X。X。K使用情景数列结构复杂，不方便直接求和，通项比较方便放缩(通常放缩成等差数列、等比数列、差比数列和裂项相消数列).解题步骤 先放缩数列的通项，再求和，再对和进行放缩，完成解题目标.【例 2】已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且nanS2naS（1）求证： （ 2）求证：21;4naS 112.2n整理后得： 11()()0nnaa ， ， ，0n01n(1)nan(1)2S22()()4nS (1)(2)2n(1)(1) ,2nnn 12nS1223()nSS 21312nS1212nnSS (1)2nS所 以 原 不 等 式 得 证 .【点评】
7、（1）由 于给定的已知条件是数列通项 与前 项和 的关系，那么，学生自然而然地就想到利nanS用项和公式 来求解出 和 ，通过计算找出 与 的关系，完成解题目标. (2)对1n-2nSan 1na于第 2 问，首先想到数列 求和，但是由于 不便求和，所以只能改12nS ()2nS变思路，先放缩再求和. 证明不等式右边需要先把通项放大，此时 是等差数列的通项，方便求和. 证明不等式左边需要()().22nnS12把通项缩小， (1)nnS此时 是等差 数列的通项，方便求和. (3)只有熟练掌握放缩的原则，运用合适的方法，才能够.2n得出正确结论，完成解题目标.因此，我们在数学课堂教学中，大家要学
8、会总结与反思，从而使自己的思维能够深化，能够准确放缩，在放的过大（小）时，能迅速调整放缩不等式，迅速完成解题目标.【例 3】已知数列 的前 项和为 ， . （）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；+1 （）设 ，求证： .=+2+1 11+12+13+12+2=2+1 13+22+12+2+1=2(+12+1)令 ，则 2+= 2+12+1于是 ， ， ，相乘得11212122112，即故 .=1+2+1+（ 1+12+ 122） =3 1223【反馈检测 6 答案】(1) ；(2) ；(3)证明见解析.学￥科网550na【反馈检测 6 详细解析】 （1） 如图中阴影部分所示，2D在
9、的矩形区域内有 个整点，对角线上有 个整点， .4892592a（另解： ）2357a（2）直线 与 交与点 ， 据题意有 .ynx4,4Pn541052nan（另解： ）121310na【反馈检测 7 答案】 （）详见解析；（） ;（）详见解析.=(3234)3+34【反馈检测 7 详细解析】 （） .12,8a两式相减，得经检验，当 时 上式也成立，即 .有 即 ，且 . 故 是等比数列.（）由（）得两式相减，得 ，化简得 ；（）由得又当 时，左边= . 当 时，有 来源:学科网 ZXXK1n1262n11+12+13+1故 .121236nnaa【反馈检测 8 答案】 （） （） （）详
10、见解析.0m【反馈检测 8 详细解析】（） , ， ，即13ln4)(xf ()1)fxm213ln4xmx设 ，即 .2lmg0)(,g 224314xxx m4-1若 ， ，这与题设 矛盾 0,()g0)(g0)(xg若 当 , 单调递增， ，与题设矛盾.1,m),342,2mx 0)1(gx若 当 ， 单调递减， ，即不等式成立,0)(,(g(x)(g综上所述， . 1（）由（）知，当 时, 时,成立. x12134lnxx不妨令 所以 ， *,341Nix64lii341634ln3241632ln3416ln l累加可得 )(3416)14ln( *Nnini 【反馈检测 9 答案】 （1） ， （2） （3）详见解析.()a（2）由 得12)ln(xa)1ln(2()(xx令 则)l()xg 1)ln( xg当 时， ， 在 ， 上单调递减. ，故00)0()20gxa（3）由（2）知 ，12ln(xx 2)1ln(x取 得 ，即kx1)l(klnk127513l34ln2l n即 .学#科%网)(2715)( *Nn
