1、专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形答案部分1A【解析】因为 ，所以由余弦定理，213cos5C得 ，2 cos21()325BAB所以 ，故选 A42C【解析】根据题意及三角形的面积公式知 ，221sin24abcbC所以 ，所以在 中， 故选 C22sincosabCAB3B【解析】由 ，in(i)BA0得 ，sin()scosC即 ，coiincosACA所以 ，因为 为三角形的内角，所以 ，si(s)0sin0C故 ，即 ，所以 ncta1A34由正弦定理 得， ，由 为锐角，所以 ，选 B siinCsi2C64D【解析】由余弦定理，得 ，整理得 ，解得4cos5b2380b
2、或 （舍去） ，故选 D3b15D【解析】设 边上的高为 ，则 ， ，BA3BCAD所以 由正弦定理，知 ，25ACsiniB即 ，解得 ，故选 D3sin210si6C【解析】由余弦定理得 ，所以222coscosabAbA，所以 ，即 ，又 ，2(1sin)(1cos)bAAintan10所以 4A7C【解析】由余弦定理得： ，22cosabA所以 ，2 33b即 ，解得： 或 ，因为 ，所以 ，故选 B26802b4bc28B【解析】 ， ，所以 或 11sinABC 2sinB4513当 时， ，452cos1AC此时 ，易得 与“钝角三角形”矛盾；1,90当 时， 3B2cs5ACB
3、B9A【解析】因为 ，由 1sini()in()2ACAB得 ，1sin2isi2即 ，1()()()()si2BAB整理得 ，sisin8C又 ，11sin22Sabcac因此 ，由32 2si864ABb12S 得 ，3164c 即 ，因此选项 C、D 不一定成立又 ，2ab 0bca因此 ，即 ，选项 A 一定成立又 ，()8c ()8bcbc因此 ，显然不能得出 ，选项 B 不一定成立综上所述，162a选 A10C【解析】由 可得 ，由余弦定理及22()6cab22bca3C可得 所以由得 ，所以 22a61sin22ABCSab11C【解析】 ，tan15t(6045)23 601(
4、B12D【解析】 ， ，由余弦定理解得2cosAcos55b13A【解析】边换角后约去 inB，得 1i()2AC，所以 1sin2B，但 B 非最大角，所以 6B14C【解析】由余弦定理可得 5，再由正弦定理得 310sinA15B【解析】 cossinbCBaA，由正弦定理得 2icosicsinBCBA， 2sin()iA， 2ii, i1，ABC 是直角三角形16B【解析】由正弦定理得： 3223sinisin60i45CAB17D【解析】由正弦定理，得 ，22cosnA即 ， ， 2sin(cos)siiii2bBaA18D【解析】设 ，则 ， ， ，在 中，由余弦定ABDc23B4
5、cCD理得 ，则 ，在 中，22413coscsinAB由正弦定理得 ，解得 sini23cBC6siC19A【解析】因为 ， ，10ca所以 ，22oscabC221()b所以 ,ba因为 ，所以 ，所以 故选 A0,0a20 【解析】由 得，23sini4sinbCcBaC，siniBA因为 ，所以 ，i01si2因为 ， ，所以228bcaco0bcaA3cos2A所以 ，3所以 18312sin2ABCSbc21 ；3【解析】因为 ， ， ，所以由正弦定理得77ab60A由余弦定理 可得32sin1i 7bABa22cosabA，所以 20cc22 【解析】 的面积6(,)ABC，22
6、133sin()cos244SacacbaB所以 ，因为 ，所以 tB018A60因为 为钝角，所以 ，所以 ，C3 3tanA所以 ，222sin()sincosii 12itancaA故 的取值范围为 (,)239【解析】因为 ， 的平分线交 于点 ，120BCABCD所以 ，6AD由三角形的面积公式可得 ，11sin20sin6si02acac化简得 ，又 ， ，所以 ，ac则 ，1444()559ccaa当且仅当 时取等号，故 的最小值为 92ca24 【解析】由正弦定理得3sincosicsincoBACA即 ，sincoi()BAC所以 ，又 为三角形内角，所以 1232575【解
7、析 】由正弦定理 ，即 ，sinibcBC36sin2ibCBc结合 可得 ，则 bc4518075A26 , 【解析】由余弦定理可得，1520，22241cos 4BCA由 22sin1BC所以 ，215icos64BC1in2BDCSD1s()sin2AABC1524BCAD因为 ，所以 ，所以 ，BDCB2ADB11cos04coscs222AC27 【解析 】 ， ，2134os5cs13所以 ， ，sinA2iC所以 ，63iisincosin5BAC由正弦定理得： 解得 iiba21b28 【解析】由正弦定理，得 ，即 ，所以 ，4siniAB36sin2B2si所以 B294【解
8、析】由 3sin2i=及正弦定理知： ，又因为 ，所以 ；3ab=2a=3b由余弦定理得： 1cos492()64cabC，所以 4c302【解析】由正弦定理可知： 45sin)75(180sinAAB 25sin60iAC317【解析】由已知得 C的面积为 1i2B103，所以3sin2A， (0,)，所以 3A由余弦定理得2cosBCBC49， 7B32 (6,)【解析】如图作 ，使 ， ，作出直线 分别交线段 、P52=ADPB于 、 两点（不与端点重合） ，且使 ，则四边形 就是符合CAD7BAC题意的四边形，过 作 的平行线交 于点 ，在 中，可求得PQP，在 中，可求得 ，所以 的
9、取值范围为62BPQBC62B(,)QDAPBC338 【解析】因为 ，所以 ，0A215sin1cos4A又 ， ，115sin328ABCSbcbcb解方程组 ，得 ， ，由余弦定理得464，所以 2221cos 64abA8a34 【解析】依题意， 30BC， 05AB，在 ABC中，106由 18ABC，所以 45，因为 6A，由正弦定理可得 30sin45i6，即 230 m，在 BCDRt中，因为 30B， 2C，所以 230tanCDB，所以 610 m35150【解析】在三角形 中， ，在三角形 中，A2MAC，解得 ，在三角形 中，sin60i45MA13N，故 3213N
10、50MN362【解析】 由 bBcCbos得： ，sincosic2sinCB即 ， ， ，故 sin()inBi2A2ab37 3【解析】 5s， 321co2,52 CabcCaba，所以 238 【解析】 sinsi()osBADBA根据余弦定理可得22co222(3)3BD39【解析】 222 1cos23abcababCC2224()(s8c 当 时， 与 矛盾2C22323abcabc33abc取 满足 得：,1abc()C取 满足 得：22c3404【解析】根据余弦定理可得 ，解得 b=414(7)(7)4bb41 【解析】在 中，根据 ，27ABCsinisinACB得 ，同理
11、 ，3sinsi2inACBC2sinBCA因此 2si4iAsi4i()34sin3co27n()CC42 【解析】根据 得 ，15siiB53sisin7214BA，231cos()4C所以 inisincosinABCBC= 31532414434【解析】 （方法一）考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有轮换性当 A=B 或 a=b 时满足题意，此时有： ， ，cos3C21costan2C， ， = 42tnC1tntatn2Btt（方法二） ，26coscsbCbab22236,aatntsincosincosins()iCBACABA 21icos由正弦定理，得：
12、上式=2221413cos()66ccCab44 【解析】 由 得 ，即 ，6sin2Bsino2Bsin1B因 ，所以 .又因为02,4,ab由正弦定理得 ，2sini4A解得 ，而 则 ,故 1i2,ab04B6a45 【解析】(1)在 中，由正弦定理 ，可得 ，BC sinibAsiniAaB又由 ，得 ，sincos()6bAco()即 ，可得 ta3又因为 ，可得 (0)B， B(2)在 中，由余弦定理及 ， ， ，AC 2c3B有 ，故 22cos7bab由 ，可得 因为 ，故 sin()6BinAac2os7A因此 ， 43i2sico7A21coss7所以， in()in2in
13、BAB43321446 【解析】 （）由 ，及 ，得 si4iabsiiabab由 ，225()cc及余弦定理，得 225osacbAc（）由（） ，可得 ，代入 ，in5sin4iAbB得 siin4aABb由（）知，A 为钝角，所以 25cos1inB于是 ， ，4sin2icos5B23cs1sin5B故 425i()i2i()AA47 【解析】因为 ，6BC所以 ，cosb又 ，3ABCS所以 ，sin6因此 ，又 ，ta10A所以 ，34又 ，所以 ，b2c由余弦定理 ，cosabA得 ，29832()29所以 a48 【解析】() 1sin2ABDSBADsiADCC因为 ， ，所
14、以 BAD2AC由正弦定理可得 sin12B()因为 ，所以 在 和 中，:ABDCS DBD由余弦定理得 ，22cosA2 csC由( )知 ，所以 22236ABCB2BAC149 【解析】 （）由题设及正弦定理可得 bac又 ，可得 ， ，abca由余弦定理可得 221cos4acbB（）由（）知 2b因为 ，由勾股定理得 9022acb故 ，得 2acc所以 的面积为 1ABC50 【解析】 （I）在 中，由题意知 ，23sin1cosA又因为 ，所有 ，2BA6ii()B由正弦定理可得 63sin2ab（II）由 得， ，2BA3cos()sin2BA由 ，得 C所以 sini()s
15、in()sicosinBA36()31因此， 的面积 ABC132sin32SabC51 【解析】：（） ， ，i2sincoAB由正弦定理得22cab ， 3,1bc2,3a（）由余弦定理得 ，2912os63bcA由于 ， ，0A221sin1cos()3A故 42sin()iin()44 652 【解析】 （）由已知得，PBC= o60，PBA=30 o，在PBA 中，由余弦定理得2PA= o13cs342= 74，PA= 2；（）设PBA= ，由已知得，PB= in，在PBA 中，由正弦定理得，oosinsin150(3)，化简得， 3cos4in， ta= 4， taPBA= 453
16、 【解析】 （）因为 ，所以由正弦定理得：cosinbC，siniiA所以 ，()niBB即 ，因为 0，所以 tan1，解得 B= 4；cosisisn（）由余弦定理得： 22co4ba，即 2c，由不等式得：2ac，当且仅当 时，取等号，所以 ()，解得 42，所以ABC 的面积为 1sin24ac2= 21，所以 ABC面积的最大值为 54 【解析】 （） ,(0,)sin()si0BAACB2sincosicon13A（II） 22 22csababacB在 中，RtABD222371()ABD55 【解析】 （1）由正弦定理得：cos3in0sinco3sinsinaCbcCABCi
17、si()1s1323060AaA（2） sin4Sbcbc，解得： 2oaA2bc56 【解析】 （I）由正弦定理，设 ,sinisinakBC则 si2,ckCAbB所以 o2i.sA即 ，(cs)in(2in)cosB化简可得 又 ，i(s.BCA所以 ，因此sn2CAin（II）由 得i.ca由余弦定理 22 2211osc,4.4bBba及 得 =解得 因此 1ac又因为 所以os,0.4B且 5sin.因此 11in2.24Sac57 【解析】由 ，得ACB和0)os(.23in,1c,021A再由正弦定理，得 .2siniaAbB .2sin1cos, Bab 从 而不 是 最 大
18、 角所 以知由 由上述结果知 ).213()sin(i BAC设边 BC 上的高为 ，则有h.iCb58 【解析】由题意知 海里，53AB=906,45,DD1在 中，由正弦定理得ABsinsiBADBsin5(3)45(3)sin45i10inco60coD= （海里） ，53(1)2又 海里，30(96)0,23DBCABCBC在 中，由余弦定理得22cosD= 13010390230（海里） ，则需要的时间 （小时） CDt答：救援船到达 点需要 1 小时59 【解析】 （1） ，同理： ， tantanHHADtanHABtanhDADAB=DB，故得 ，tth解得 tan41.240hH因此，算出的电视塔的高度 是 124mH（2）由题设知 ，得 ，dABtan,thHdADBd2ttan() ()1t ()1hd ， （当且仅当 时，2()Hhdh 152dHh取等号）故当 时， 最大5tan()因为 ，则 ，所以当 时， - 最大0202故所求的 是 md
