1、矩阵应用简介The introduction of Matrix application作者：刁士琦2015/12/27矩阵应用简介2 / 9摘要本课题以线性代数的应用为研究对象，通过网络、书籍查询相关知识与技术发展。全文分为四部分，第一部分是绪论，介绍本课题的重要意义。第二部分是线性代数的发展。第三部分是经典矩阵应用。第四部分是矩阵应用示例。第五部分为结论。关键词：莱斯利矩阵模型、希尔密码矩阵应用简介3 / 9目录摘要 21 引言 42 矩阵的发展 43 经典矩阵应用 43.1 矩阵在经济学中的应用 .43.2 矩阵在密码学中的应用 .53.3 莱斯利矩阵模型 54 矩阵应用示例 64.1
2、经济学应用示例 64.2 希尔密码应用示例 74.3 植物基因分布 .76 结论 8参考文献 9矩阵应用简介4 / 91 引言线性代数是以向量和矩阵为对象，以实向量空间为背景的一种抽象数学工具，它的应用遍及科学技术的国民经济各个领域。2 矩阵的发展1850 年，西尔维斯特在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程时，由于无法使用行列式，所以引入了 Matrix-矩阵这一词语。现代的矩阵理论给出矩阵的定义就是：由 mn个数排成的 m 行 n 列的数表。在此之后，西尔维斯特还分别引入了初等因子、不变因子的概念5。虽然后来一些著名的数学家都对矩阵中的不同概念给出了的定义，也在矩阵领域的研究中做了
3、很多重要的工作。但是直到凯莱在研究线性变化的不变量时，才把矩阵作为一个独立的数学概念出来，矩阵才作为一个独立的理论加以研究。 矩阵概念的引入，首先是由凯莱发表的一系列和矩阵相关的文章，将零散的矩阵的知识发展为系统完善的理论体系。矩阵论的创立应归功与凯莱。凯莱在矩阵的创立过程中做了极大的贡献。其中矩阵的转置矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵的定义都是由凯莱给出的。 “从逻辑上来说，矩阵的概念应限于行列式的概念，但在历史上却正好相反。 ”凯莱如是说。1858 年， A memoir on the theory of matrices系统阐述了矩阵的理论体系，并在文中给出了矩阵乘积的定义。 对矩阵的研究并没
4、有因为矩阵论的产生而停止。1884 年，西尔维斯特给出了矩阵中的对角矩阵和数量矩阵的定义。1861 年，史密斯给出齐次方程组的解的存在性和个数时引进了增广矩阵和非增广矩阵的术语。同时，德国数学家弗罗伯纽斯的贡献也是不可磨灭的，他的贡献主要是在矩阵的特征方程、特征根、矩阵的秩、正交矩阵、矩阵方程等方面。并给出了正交矩阵、相似矩阵和合同矩阵的概念，指明了不同类型矩阵之间的关系和矩阵之间的重要性质。3 经典矩阵应用3.1 矩阵在经济学中的应用投入产出综合平衡模型是一种宏观的经济模型,这是用来全面分析某个经济系统内矩阵应用简介5 / 9各部门的消耗及产品的生产之间的数量依存关系的数学模型。应用于为经济
5、系统(小到一家公司,大到一个国家乃至国际经济共同体)编制经济计划并研究各种相关的经济政策和问题。这种模型由美国经济学家列昂节夫于 1931 年开始研究, 并于 1936 年首先发表第一篇研究成果,此后数十年已被愈来愈多的国家采用并取得了良好的效果,列昂节夫本人也因此获得 1973 年度的诺贝尔经济学奖。利用矩阵知识将数据转化为关于矩阵的等式,可利用矩阵的运算对数据进行处理。3.2 矩阵在密码学中的应用希尔密码（Hill Password）是运用基本矩阵论原理的替换密码，由 Lester S. Hill 在1929 年发明。每个字母当作 26 进制数字：A=0, B=1, C=2. 一串字母当成
6、 n 维向量，跟一个 nn 的矩阵相乘，再将得出的结果 MOD26。在希尔密码加密过程中， 明文被分成 m 个字母构成的若干分组， 最后一组不够 m 个字母则用其他字母补足，每次加密一个分组，分组中的每一个字符都对分组中另外一个字符的加密起作用， 每组用 m 个密文字母代换，这种代换由 m 个线性方程决定，其中字母 a z 分别用数字 0，1，2，24 ，25 表示。 加密算法基本思想是将 l 个明文字母通过线性变换将它们转换为 l 个密文字母的加密算法，加密算法的密钥 K 就是一个变换矩阵本身，即：3.3 莱斯利矩阵模型科学家 LesliePH.于 1945 年引进一种数学方法, 利用某一初
7、始时刻种群的年龄结构现状, 动态地预测种群年龄结构及数量随时间的演变过程,简介如下:依种群个体的生理特征,将其最大寿命年龄等距分成 m 个年龄组,然后讨论不同时间种群按年龄的分布,故时间也离散化为 t=0,1,2,其间隔与年龄组的间隔时间相同 .t=0对应于初始时刻.设开始时(t=0)第 i 个年龄组内的个体数为 ni(0),i=1,2,m.则向量N(0)=n1(0),n2(0),nm(0)T 称为初始年龄结构向量.第 i 年龄组的生殖率为 fi(0)i=1,2,m;生存率为 Si(0),i=1,2,m-1.则相临两个时段间, 各年龄组个体数 ni 有如下的迭代关系 :矩阵应用简介6 / 9注
8、 1 fi 中已扣除了在时段 t 内出生, 但活不到 t+1 时段的新生个体.注 2 通常在两性生殖的种群中 ,只计雌体数 .作矩阵。假记 N (t)=n1(t),n2(t),nm(t)T,则(1) 式可表为 N(t+1)=MN(t) (3)进而,当 M,N (0)已知时,对任意的 t=1,2,有 N(t)=MtN(0)(4) 由此即可研究出种群随时间变化的动态发展规律.4 矩阵应用示例4.1 经济学应用实例在经济系统中存在这样三个企业，煤矿、电厂和铁路。且每个企业都有自己的单一产品并都有本系统内各企业的产品来加工或变换。假设已知表格如下现假设一个月中三个企业的订单为：煤矿 4 万元，电厂 3
9、.5 万元，铁路 4.5 万元。现研究该月各企业如何生产才能完成任务？假设 x1、x2、x3 分别为煤矿，电厂，铁路的总产量，则课得到如下矩阵关系：经过一系列的矩阵变换，得到矩阵 I-T 的逆矩阵是存在的（I 是单位矩阵） ，说明无论需求 d 如何变化，总能得到 x 的解，也就是该经济系统是可行的。矩阵应用简介7 / 94.2 希尔密码应用实例假设密钥为 加密明文为 good，其加密过程如下：分组把明文划为两组:（6,14） （对应 go）和（14,3 ） （对应 od）加密计算即相互对应的密文也有两组（4,0） （对应 EA）, （1,14 ） （对应 BO） 。因此, good 的加密结果
10、为 EABO解密计算根据对应规则获取正确明文 good4.3 植物基因的分布植物的基因对为 AA，Aa，aa 这三种。记第 代植物中基因 AA 所占的比例)(1nx第 代植物中基因 Aa 所占的比例2第 代植物中基因 aa 所占的比例)(3x,210,)(,321nxnT（显然 )(x由于后代是各从父代和母体的基因对中等可能地得到一个基因而形成自己的基因对，故父代母的基因对和子代各基因对之间的转移概率如下表：AA-AA AA-Aa AA-aa Aa-Aa Aa-aa aa-aaAA 1 1/2 0 1/4 0 0Aa 0 1/2 1 1/2 1/2 0aa 0 0 0 1/4 1/2 1现在研
11、究采用 AA 型植物与其它基因植物相结合的方法培养后代。故有父 母概率子代矩阵应用简介8 / 90)()1()(21)(332nxnx ),21(n（1 ）令 ，则第 代与第 代植物基因型分布的关系为012/Ln1, )()nx ),21(n（2 ）由（2）得 ， )0()(xLn),（3 ）下面把 对角化，求出 的特征值 1、1/2 、0，对应的特征向量构成矩阵LL，102P2P 00)21()(02/1nnnnL（4 ）将（4）代入（3）得0)( )0(21)( )0(21)(3 32 311nxxxxnn n当 ， , , 。1)()(2nx)(3即培育的植物 AA 型基因所占的比例在不
12、断增加，极限状态下所有植物的基因都是 AA 型。5 结论矩阵应用简介9 / 9线性代数就是研究线性网络的主要工具；进行 IC 集成电路设计时 ,对付数百万个集体管的仿真软件就需要依赖线性方程组的方法；想搞光电及射频工程,好,电磁场、光波导分析都是向量场的分析, 比如光调制器分析研制需要张量矩阵,手机信号处理等等也离不开矩阵运算。另外, 矩阵的特征值和特征向量可以用在研究物理、化学领域的微分方程、连续的或离散的动力系统中,甚至数学生态学家用以在预测原始森林遭到何种程度的砍伐会造成猫头鹰的种群灭亡；最小二乘算法广泛应用在各个工程领域里用于把实验中得到的大量测量数据来拟合到一个理想的直线或曲线上,最小二乘拟合算法实质就是线性方程组的求解；二次型常常出现在线性代数在工程和信号处理的应用中,他们也常常出现在物理学、微分几何、经济学和统计学中,某些这类应用实例的数学背景很容易转化为对对称矩阵的研究。因此想提高自己的科研能力,不被现代科技发展潮流所抛弃,必须学好线性代数。参考文献1 莱斯利矩阵及其应用2 浅析矩阵在经济中的应用3 希尔密码原理及应用实例制作人：刁士琦
