1、1第 三 章 中 国 数 学31周髀算经与九章算术311 古代背景中国在很久以前，就已经有了数的概念了，古代文献周易，系辞传就提到“上古接绳而治，后世圣人易之以书契” 。古代著作世本中提到黄帝使“隶首作算数” ，但这只是传说。殷商甲骨文中已经使用完整的十进制记数。至迟到春秋战国时代，又开始出现严格的十进位值制筹算记数，我们今天还可以从现存的公元前 3 世纪的刀币上看到这种记数法。 孙子算经中记载的筹算记数法则说：“凡算之法，先识其位。一纵直横，百立千僵。千十相望，百万相当” 。据此我们知道筹算记数有纵横两种形式。如图所示： 纵式作来表示个位、百位、万位、数字；横式用来表示十位、千位、十万位、数
2、字。纵、横相间，零则以空位表示。例如： 6724 用算筹表示出来是 ；76031 则记作 ，等等。这种十进位值记数法是中国古代数学对人类文明的特殊贡献。关于几何学， 史记 “夏本纪”记载说：夏禹治水， “左规矩，右准绳” 。 “规”是圆规，“矩”是直尺， “准绳”则是确定铅垂方向的器械。这些都说明了早期几何学的应用。从战国时代的著作考工记中也可以看到与手工业制作有关的实用几何知识。战国（公元前 475前 221）诸子百家，与希腊雅典学派时代相当。 “百家”就是多种不同的学派，其中的“墨家”与“名家” ，其著作包含有理论数学的萌芽。如墨经 （约公克前 4 世纪著作）中讨论了某些形式逻辑的法则，并
3、在此基础上提出了一系列数学概念的抽象定义：点：“端，体之无厚而最前者也” ；直线：“直，参也” ；圆：“圜，一中同长也” ；正方形：“方，柱隅四祐也” ；平行：“平，同高也” ；体积：“厚，有所大也”等等，大约有 17 条之多。 墨经中甚至涉及到“有穷”与“无穷” ，说“或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也” 。以善辩著称的名家，对无穷概念则有更进一步的认识，如据庄子记载，属名家的惠施曾指出：“至大无外谓之大一；至小无内谓之小一” ，这里“大一” 、“小一”有无穷大与无穷小之意。名家主要是辩论哲学概念，但庄子中记载他们的多条名辩，也可以从数学的意义上去理解，其中最有名的如：矩不方，规不可以为圆；飞
4、鸟之影未尝动也；2镞矢之疾，而有不行不止之时；一尺之棰，日取其半，万世不竭等等，可以说与希腊芝诺派的悖论遥相呼应。不过名、墨两家在先秦诸子中是属例外情形，其他包括儒、道、法等各家的著作则很少关心与数学有关的论题，而只注重社会伦理、修心养身、经世治国之道，这与古代希腊的学派有很大的不同。秦始皇统一中国，结束了百家争鸣的局面。到东汉独尊儒术，名、墨著作中的数学论证思想，便失去进一步成长的机会。两汉时期的数学，主要是沿着实用与算法的方向发展，并取得了很大的成就。312 周髀算经在现存的中国古代数学著作中， 周髀算经是最早的一部。周髀算经作者不详，成书年代据考应不晚于公元前 2 世纪西汉时期，但书中涉
5、及的数学、天文知识，有的可以追溯到西周（公元前 11 世纪前 8 世纪） 。这部著作实际上是从数学上讨论“盖天说”宇宙模型，反映了中国古代数学与天文学的密切联系。从数学上看， 周髀算经主要的成就是分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用，其中关于勾股定理的论述最为突出。周髀算经卷上记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三，股修四，径隅五” ，这是勾股定理的特例。卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前 6、7 世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日” 。这是从天文测量中总结出来的普遍定理。 周
6、髀算经中还讨论测量“日高”的方法。如图1，设在 两处立表（即“髀” ） 与 ，记表高为 ，表矩为 ，两表日影差为BA, ABh， 周髀算经相当于给出了日高公式 )(CDd日高 dhHSOSHA BO hOA a C B b D图 21周髀算经主要是以文字形式叙述了勾股算法。中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家，是公元 3 世纪三国时期的赵爽。赵爽注周髀算经 ，作“勾股圆方图” ，其中的“弦图” ，相当于运用面积的出入相补证明了勾股定理。如图 2，考虑以一直角三角形的勾和股为边的两个正方形的合并图形，其面积应有 。如果将这合并图形所含的两个三角形移补到图中所示的位置，将得到一个以2ba原三角
7、形之弦为边的正方形，其面积应为 ，因此 。2c22cba3c a b图 22赵爽这一简洁优美的证明，可以看作是对周髀算经中紧接在“勾三股四弦五”特例之后的一段说明文字的诠释， 周髀算经的这段文字说：“即方之，外半其一矩，环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩” 。赵爽在“勾股圆方图”说中还类似地证明了勾股定理的许多推论，此外他还给出了一张“日高图” ，是用面积出入相补的方法去证明周髀算经中的日高公式。313 九章算术九章算术是中国古典数学最重要的著作。这部著作的成书年代，根据现在的考证，至迟在公元前 1 世纪，但其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。 周礼记载西周贵族子第必学的六
8、门课程（“六艺” ）中有一门是“九数” ，刘徽九章算术注 “序”中就称九章算术是由“九数”发展而来，并经过西汉张苍（？公元前 152） 、耿寿昌等人删补。近年发现的湖北张家山汉初古墓竹简算数书 （1984 年出土） ，有些内容与九章算术类似。因此可以认为， 九章算术是从先秦至西汉中叶的长时期里经众多学者编纂、修改而成的一部数学著作。九章算术采用问题集的形式，全书 246 个问题，分成九章，依次为：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、勾股。其中所包含的数学成就是丰富和多方面的。（一）算术1分数四则运算法则。 九章算术 “方田”章给出了完整的分数加、减、乘、除以及约分和通分运算法则。其中“
9、约分术”给出了求分子、分母最大公约数（中国古代数学家称最大公约数为“等数” ）的“更相减损”法，与欧几里德原本卷中给出的方法是一致的。2比例算法九章算术 “粟米” 、 “衰分” 、 “均输”诸章集中讨论比例问题，并提出“今有术”作为解决各类比例问题的基本算法。从比例关系 ： = ： 求 。abcx九章算术称 为“所有率” ， 为“所求率” ， 为“所有数” ， 为“所求数。bcx今有术：”以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一“相当于 。我abc们知道，希腊人的比例论是几何线段的比例论，数字比例算法在欧洲出现颇晚，被称为“三率法” ，有时也叫“黄金法则” 。以“今有术”为基础， “衰分
10、”章处理各种正、反比例分配问题， “衰分”就是按一定级差分配。 “均输”章则运用比例分配解决粮食运输负担的平均分配。3盈不足术“盈不足”术是以盈亏类问题为原型，通过两次假设来求繁难算术问题的解的方法。九章算术中典型的盈亏类问题如：“今有共买物，人出八盈三；人出七不足四。问人4数、物价各几何？”解：假设人数为 ，物价为 ，每人出钱 盈 ，出钱 不足 。由题意得方程xy1ab2ab， 九章算术 “盈不足术”相当于给出解法：2211,babya， ， 。21x2121bxy任何算术问题（不一定是盈亏问题） ，通过两次假设未知量的值，都可以转换成盈亏类问题求解。 九章算术：盈不足“章就用这种方法解决了
11、许多不属于盈亏类的问题。如果我们设所求算术问题的答数 满足一个方程 。先假设一个答数 ，此时x0)(xf 1x对应的 为 ；再假设一个答数 ，此时对应的 为 ，则可按盈不足术求)(1xfy222y出 )(21212 xffxyx对一次函数这个解答是精确的；对非线性函数这个解答只是 的一个线性近似值。盈不足术实质上是一种线性插值法。“盈不足术”在中世纪阿拉伯数学著作中称为“契丹算法” ，即中国算法。13 世纪意大利数学家斐波那契算经一书中也有一章讲“契丹算法” 。（二）代数九章算术在代数方面的成就是具有世界意义的。1 方程“方程术”即线性联立方程组的解法。以“方程”章第 1 题为例：例 “今有上
12、禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各内何？”题中“禾”为黍米， “秉”指捆， “实”是打下来的粮食。解：设上、中、下禾各一秉打出的粮食分别为 （斗） ，则问题就相当于解一个三zyx,元一次联立方程组：26349xzy左行 中行 右行 左行 中行 右行 左行 中行 右行 左行 中行 右行394261392418503924185039241850（） （） （） （）5九章算术没有表示未知数的符号，而是用算筹将 的系数和常数项排列成一zyx,个方阵（图，其中已将筹算数码换作阿拉伯数码）
13、，这就是 “方程”这一名称的来源。注意这里采取的是自右至左纵向排列。 “方程术”的关键算法收 “遍乘直除” ，在本例中演算程序如下： 用图（）右行上禾（ ）的系数 3“遍乘“中行和左行各数，然后从所得结果按行x分别“直除”右行，即连续减去右行对应各数，就得到图（）所示的新方程。 其次以图（）中行中禾（ ）的系数 5 遍乘左行各数，从所得结果直除中行并约分，y又得到图（）所示的新方程。其中左行未知量系数只剩一项，以 4 除 11，即得 下禾（ ） （斗） 。 ） Z42为求上禾（ ）和中禾（ ） ，重复“遍乘直除”程序，以图（）左行下禾（ ）的xy z系数 4 遍乘中行和右行各数，从所得结果按行
14、分别直除左行并约分，最后得到图（） 所示的新方程，由此方程计算得 上禾 ，419)(中禾 y下禾 32)(z很清楚， 九章算术方程术的遍乘直除算法，实质上就是我们今天所使用的解线性联立方程组的消元法，西方文献中称之为“高斯消去法” 。 九章算术的方程术，是世界数学史上的一颗明珠。2 正负术九章算术在代数方面的另一项突出贡献是负数的引进。在方程术中，当我们用遍乘直除算法消元时，可能出现减数大于被减数的情形，不引入负数就不可能保障“直除”程序的进行。 九章算术正是在“方程”章中提出了“正负术” ，即正、负数的加减运算法则：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正
15、之，负无入负之。 ”“同名” 、 “异名”即同号、异号；“相益” 、 “相除”指二数绝对对值相加、相减。用现代符号表述，设 ，则上述正负术相当于0ba减法法则（前四句）：， ；)()()()(ba；baa；0。)(加法法则（后四句）：， ；)()(baa)()(ba；6；a0。)(对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。如果说古希腊无理量是演绎思维的发现，那么如前所述可以看到，中算负数则是算法思维的产物。中算家们心安理得地接受并使用了这一概念，并没有引起震撼与迷惑。九章算术之后，魏晋时期的数学家刘徽对负数的出现就作了很自然的解释：“两算得失相反，要令正负以名之” ，并主张在筹算中用红筹代表正数，
16、黑筹代表负数。7 世纪纪时的印度数学家也开始使用负数。对负数的认识在欧洲却进展缓慢，甚至到16 世纪韦达的著作还回避使用负数。3 开方九章算术 “少广”章有“开方术”和“开立方术” ，给出了开平方和开立方的算法。九章算术开方术本质上是一种减根变换法，开创了后来开更高次方和求高次方程数值解之先河。用现代记号表述， 九章算术开方术相当于解方程。Ax2设解 是一个 位数，令 ，方程变为： 。k10xkAxk210议得 的整数部分，记为 ，令 ，则方程变为：1x_121_，2Axba其中， ； ； 。10k _1210xk 21_0xAk再议得 的整数部分，记为 ，令 ，则方程变为：2x_2x32；
17、；120a 1_10)(bxab。_2112)(xA上述程序，很容易在筹算盘上实施。 九章算术开方术中借一根算筹表示未知量的平方，开立方术中则借一根算筹表示未知量的立方，使整个筹式具有代数方程的意义。九章算术开方术实际上包含了二次方程 的数值求解程序，也就是上述cbx2求 和 的程序，称为“开带从平方法。 ” 2x3九章算术中的开方术中特别令人惊异之处，是指出了存在有开不尽的情形：“若开之不尽者，为不可开” ，并给这种不尽根数起了一个专门名字“面” 。 九章算术时代的中国数学家，如同他们对待负数的发现一样，对在开方过程中搠触到的无理量也这样泰然处之。这或许是因为引导他们发现不尽根数的算法本身，
18、使他们能够有效地计算这种不尽根数的近似值。事实上，稍后的刘徽在“开方术注”中就明确进出了用十进制小数任意逼近不尽根数的方法，他称之为求微数法，并指出在开方过程中， “其一退以十为母，其再退以百为母，退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也。 ”7（三）几何九章算术 “方田” 、 “商功”和“勾股”三章处理几何问题。其中“方田”章讨论面积计算， “商功”章讨论体积计算， “勾股”章则是关于勾股定理的应用。九章算术中的几何问题具有很明显的实际背景，如面积问题多与农田测量有关，体积问题则主要涉及工程土方计算。各种几何图形的名称就反映着它们的现实来源。如平面图形有：“方田” （正方形） 、
19、“直田” （矩形） 、 “圭田” （三角形） 、 “箕田” （梯形） 、 “圆田” （圆） 、 “弧田” （弓形） 、 “环田” （圆环）等；立体图形则有“仓” （长方体） 、 “方堡寿”（正方形） 、 “圆堡寿” （直圆柱） 、 “方亭” （平截头方锥） 、 “渐堵” （底面为直解三角形的正柱体） 、 “阳马” （底面为长方形而有一棱与底面垂直的锥体） 、 “鳖臑” （底面为直角三角形而有一棱与底面垂直直的锥体） 、 “羡除” （三个侧面均为梯形的楔形体）以及“刍童” （上、下底面都是长方形的棱台）等等。九章算术中给出的所有直线形的面、体积公式都是准确的。例如刍童（如图31）体积公式为：，c
20、bdabhV)2()(6羡除（如图 32）体积公式为 ：。 chl)(blabc hd a(图 31) (图 32)九章算术方田章“圆田术”圆面积公式 是正确的，但以 3 为圆周率，误2RA差过大。“开立圆术”则相当于给出球体积公式 ，误差过大（相当于 3.4） 。3169DV与欧几里德原本中将代数问题几何化的做法相反， 九章算术将几何算术化和代数化。在“勾股章”中可以找到典型的例子。勾股章讲述勾股定理及其应用，其中第 20 题：“今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木。出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何？”如图（33） ， 九章算术的解法是以 为“实” （常数项）
21、，以7102ECB为“从法” （一次项系数） ，然后“开方除之” ，相当于解一个二次方程4EFCB7102x这种几何代数化的做法，经过刘徽和更晚的宋、元数学家的发扬，成为中国古典数学的重要特征。 九章算术对于它所给出的几何问题的算法，一律没有推导证明。可以说九章算术中的几何部分主要是实用几何。但稍后的魏晋南北朝，即出现了证明九章算术中那些算法的努力，从而引发了中国古典几何中最闪亮的篇章。8BA CF（图 33）二从刘徽到祖冲之从公元 220 年东汉分裂，到 581 年隋朝建立，史称魏晋南北朝。这是中国历史上的动荡时期，但同时也是思想相对活跃的时期。在长期尊儒学之后，学术界思辩之风再起。在数学上
22、也兴起了论证的趋势，许多研究以注释周髀算经 、 九章算术的形式出现，实质是要寻求这两部著作中的一些重要结论的数学主动脉。这方面的先锋，是前面已介绍过的赵爽，而最杰出的代表是刘徽和祖冲之父子，他们的工作，使魏晋南北朝成为中国数学史上一个独特而丰产的时期。321 刘徽的数学成就关于刘徽的生平，我们几乎什么都不了解。 隋书 “律历志”中提到“魏陈留王景元四年刘徽注九章” ，由此知道刘徽是公元 3 世纪魏晋时人，并于公元 263 年（即景元四年）撰九章算术注 。 九章算术注包含了刘徽本人的许多创造，完全可以看成是独立的著作，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位。刘徽数学成就中突出的是“割圆术”和体
23、积理论。（一）割圆术刘徽在九章算术方田章“割圆术”注中，提出割圆术作为计算圆的周长、面积及圆周率的基础。割圆术的要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的周长和面积。他指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。 ”如图 37，设圆面积为 ，半径为 ，圆内接正 边形边长为 ，周长为 、面积0SrnnlnL为 。将边数加倍后，得到圆内接正 边形，其边长、周长、面积分别记为 。nSn2 nSl22,ADB图 37OC9刘徽首先注意到，当 已知，就可用勾股定理求出 。实际上，如图所示可得nl nl222CDA
24、ln222)1()1( nnlrl知道了内接正 边形的周长 ，又可求得正 边形的面积：nL。rlODABnSn21)212（刘徽割圆术还注意到，如果在内接 边形的每边上作一高为 的矩形，就可证明CD。)(202 nnnS这样，不必计算圆外切正多边形就可以推算出圆周率的上限和下限。刘徽从圆内接正六边形出发，并取半径 为 1 尺，一直计算到 192 边形，得出了圆周r率的精确到小数后二位的近似值 ，化成分数为 ，这就是有名的“徽率” 。刘4.3507徽一再声明：“此率尚微少” ，需要的话，可以继续算下去，得出更精密的近似值来。我们知道， 九章算术使用的圆周率是 3。从西汉末年开始，新率陆续出现。但
25、仍然很不精确并且没有推算方法。刘徽是中算史上第一位建立可靠的理论来推算圆周率的数学家。（二）体积理论像阿基米德一样，刘徽倾力于面积与体积公式的推证，并取得了超越时代的漂亮结果。刘徽的面积、体积理论建立在一条简单而又基本的原理之上，这就是他所谓的“出入相补”原理：“一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和保持不变。在平面情形，刘徽利用这条原理成功地证明了九章算术中许多面积公式，但当他转向立体情形时，却发现“出入相补”的运用即使对于像“阳马”这样看似简单的立体出遇到了很大的因难。这里实质性的障碍在于：与平面情形不同的，并不是任意两个体积相等的立体图形都可以剖分或拼补（出就
26、是中国古代数学家所说的“出入相补” ）相等。但这是到 20 世纪才弄清楚的（参见 111，希尔伯特问题） 。古代数学家并未明确认识到这一点，不过为了在体积上有所作为，一些一流的数学家都不约而同地借助于无限小方法来绕越上述的障碍。我们已经看到了古希腊阿基米德等人的例子。在这方面，刘徽同样表现出了惊人的智慧。他在推证九章算术中的一些立体体积公式时，灵活地使用了两种无限小方法：极限方法与不可分量方法。以下我们分别以“阳马”体积公式与球体积公式的证明为例来说明刘徽的思想。1阳马术九章算术 “商功章”阳马术给出的体积公式为其三条直角边乘积的三分之一。为了证明这一公式，刘徽从一长方体出发图 38（） ，将
27、它斜分成两个“渐堵（底边为直角三角形的正柱体） ” 图 38（） ，然后再斜分“渐堵”得到两个立体图形图38（），其中一个就是阳马，另一个就是鳖臑（地面为直角三角形，有一条棱与底面垂直的三棱锥） 。10刘徽欲证阳马体积 Y 与鳖臑体积 B 之比为 21，由此即可推出阳马体积公式分别为长方体的三边之长） 。比率 YB=21 应该对任意长方体都成立，cbaY,(31刘徽称之为“不易之率” 。（） （） （）图 38正是为了证明这个“不易之率” ，在感到出入相补无能为力的情况下，刘徽使用了极限的方法，他的方法记载在九章算术阳马术注中，可以用现代语言表述如下：如图 39，记上述斜分得到的阳马为 ，鳖臑
28、为 ，取 之中点 ，BDFECBAEDH过 作 的垂直平面，接图所示将阳马剖分为 1 个小长方体（ ） ；2 个小HBDILKNRO渐堵（ 和 ）和 2 个小阳马（ 和 ） ；同时将鳖臑剖分ILORCPKNFQHIPQ为 2 个小渐堵（ 和 ）和 2 个小鳖臑（ 和 ） 。AGIJMLJPGMBB G AH I I J LK L MD R C CN O P P F Q E E图 39容易看出，阳马中除去 2 个小阳马的部分的体积（记为 ）为鳖臑中除去 2 个小鳖1Y臑的部分体积（记为 ）的 2 倍，它们合在一起（刘徽称其为“已知”部分）的体积的应1B占原渐堵体积的 ，因而剩余部分（即 2 个小
29、阳马和 2 个小鳖臑，刘徽称其为“未知部分）43的体积占原渐堵体积的 。若分别用 、 记每个小阳马和小鳖臑的体积，则有 ，1yB12Y12B11其中 与 之比仍未知。1YB对每个小阳马和每个小鳖月需又可进行同样的部分，对第 次剖分有n，nniiY21 nniiBB21其中已知部分属阳马的体积为 ，属鳖月需的体积为 ，两者的比值ii1 niiB12恒为 21（因对每个 有 ） 。至于未知部分的体积若记为 ，并无妨一般地设原i2iiBYnu渭堵体积为 1，则 )(2)(1nnnnn BYu 而根据前面的步骤应有 ，于是得到 ，841)(2Y nu41)8(1当 无限增大时， 就趋于 0。刘徽认为，
30、这样无限剖分下去，在极限的情形就得到“不nn易之举率”： 。B（2）球体积刘徽首先指出了九章算术中的球体积公式是不正确的，并在九章算术 “开立圆术”注文中指出了一条推算球体积公式的正确途径。刘徽创造了一个新的立体图形，他称之为“牟合方盖” ，并指出：一旦算出牟合方盖的体积，球体积公式也就唾手可得。CAB O BA图 310如图 310 在一立方体内作两个互相垂直的内切圆柱。这两个圆柱体相交珠部分，就是刘徽所说的“牟合方盖” 。牟合方盖恰好把立方体的内切球包含在内并且同它相切。如果用同一个水平面去截他们，就得到一个圆（球的截面） ，和它的外切正方形（牟合方盖的截面） 。刘徽指出，在每一高度上的水
31、平截面圆与其外切正方形的面积之比都等于 ，因此4球体积与牟合方盖体积之比也应该等于 。刘徽在这里实际已用到了西方微积分史著作中4所说的“卡瓦列利原理” ，可惜没有将它总结为一般形式。牟合方盖的体积怎么求呢？刘徽终于未能解决。最后他说：“敢不阙疑，以俟能言者”！刘徽虽然没有推证出球体积公式，但他创造的特殊形式的不可分量方法，成为后来祖12冲之父子在球体积问题上取得突破的先导。刘徽九章算术还有其他许多数学成果，特别是他在九章算术 “勾股”章之后所加的一篇文字，作为九章算术第十卷，后来单独刊行，称为海岛算经发展了古代天文学中的“重差术” ，成为勾股测量学的典藉。322 祖冲之与祖暅刘徽的数学思想和方
32、法，到南北朝时期（公元 420589）被祖冲之和他的儿子祖暅推进和发展了。祖冲之（公元 429500）活跃于南朝宁、齐两代，出生于历法世家，本人做过南徐州（今镇江）从事史和公府参军，都是地位不高的小官，但他即成为历代为数很少能名列正史的数学家之一。 南齐史 “祖冲之伟”说他“探异今古” ， “某新变旧” ，并记载了他与守旧派官员戴法兴关于历法问题的一场辩论。祖冲之在公元 462 年创制一一部历法大明历 ，大明历在当时是最先进的历法，即遭到戴法兴等人的竭力反对，戴法兴是当朝权臣，宋书中说凡官员选择任免、生杀赏罚，皇帝都要同他商量，而祖冲之不过居从事史的微职，即敢于在皇帝面前与戴法兴辩证，并直指戴
33、“浮辞虚贬” ， “坚执偏论” 。祖冲之还将他反驳戴法兴的议论写成一篇驳权 ，这篇文章后来祉收集在宋书里，其中提供了有关祖冲之数学贡献的重要线索。祖冲之在文章一开始说他早年“专攻数术” ，发现“立圆旧误，张衡述而弗改；汉时斛铭，刘歆诡谬其数“。这里”立圆旧误“是指九章算术中错误的球体积公式；”汉时斛铭“则是指王莽时代所造成负斛上的数据，系东汉学者刘歆所写，根据这些数据可推出刘歆用圆周率数值为 。祖冲之批评这两项数学结果1547.3是“算氏之剧疵” ，并说他本人“昔以暇晶，撰正众谬，理据炳然“。由此可见，球体积的推导和圆周率的计算是祖冲之本人引以为荣的两大数学成就，只可异关于这两项工作的原始著作
34、已不能看到。祖冲之的代表性数学著作是缀术 。 南齐书祖冲之传说祖冲之“注九章，造缀术数十篇” ，但缀术也未能留传下来。我们现在对祖冲之这两项成就的了解，得于其他一些零散的史料。（一）圆周率祖冲之关于圆周率的贡献记载在隋书中， 隋书律历志说：“祖冲之更开密法，以贺径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，亏数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈亏二限之间“。这就是说，祖冲之算出了圆周率数值的上下限：（亏数） （盈数）145926.3145927.3史料上没有关于祖冲之推算圆周率“正数”方法的记载。一般认为这个“正数”范围的获得是沿用了刘徽的割圆术。事实上，如按刘徽割圆术从正六
35、边形出发连续算到正确 24576边形，恰好可以得到祖冲之的结果。隋书律历志还记载了祖冲之在圆周率计算方面的一项重要结果：“密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五；约率：圆径七，周二十二” 。就是说祖冲之还确定了圆周率的分数形式的近似值：约率 ；密率 。祖冲之推算密率的方法同样不得而知。在现72135代数论中，如果将圆周率 表示成连分数，其渐近分数是：。,2048,9,1063,第 4 项正是密率，它是分子、分母不超过去 1000 的分数中最接近 真值的分数。 “密率”也称“祖率” 。16 世纪德国人奥托和荷兰人安托尼兹曾重新推算出圆周率的这个分数近似值。（二）祖氏原理与球体积13曾使刘徽绞尽脑汁
36、的球体积问题，到祖冲之时代终于获得解决。这一成就祉记录在九章算术 “开立圆术”李淳风注中，李淳风是唐代数学家。他在注文中将球体积的正确解法称为“祖暅之开立圆术” 。祖暅之即祖暅，是祖冲之的儿1， 在数学上也有很多创造。根据李淳风的注，祖暅球体积的推导继承了刘徽的路线，即从计算“牟合方盖”体积来突破。 图 312如图 312 取牟合方盖的八分之一，然后考虑它与它的外切正方体所围成的立体，并如图 313 那样将它再剖分成三个小立体，将这三个小立体单画出来分别如图313，。同时考虑一个以外切正方体上底面为底，以该正方体一边为垂直边的倒方锥（如图 313） 。祖暅推证的关键是以下的命题。 图 313命
37、题 ：倒方锥 的体积，等于三个小立体，的体积之和，因此也等于从外ZV切正方形中挖去牟合方盖的部分即立体的体积：+=如果证明了命题 ，那么倒方锥 的体积容易知道是 是正方体边长，也是内切r(31球半径） 。于是牟合方盖作分之一的体积应为 ，整个牟合方盖体积为 。根据刘32r328r徽已经论证过的结果，应有下列关系： ： ，球V牟 合 方 盖 4由此可得，33614Dr牟 合 方 盖球（ 为直径） 。这是中国数学史上第一次获得的正确的球体积公式。D至于关键命题 的证明，祖暅考察在高 处的水平截而，如图 314 所示容易看出：Zh14三个小立体、的截面积 与 合并在一起应等于正方体截面积CTQRAS
38、P,BS与牟合方盖部分的截面积 之差，即ABCDDBTQRSPD RCP TA S B h rr图 314设 ，则有 ，由勾股定理， ，故xPQAS2xrPQRDABC22hxr2hST但在高 处倒方锥 的截面积显然也等于 。这就是说，在任一相同的高处，立体hV（注意在方体中已挖去牟合方盖部分）的截面积都与倒方锥 的截面相等。V这时祖暅提出了一条原理说：“幂势即同，则积不容异” 。 “幂”指水平截面积， “势”由指高。因此祖暅的原理意思是：两等高立体图形，若在所有高处的水平截面积相等，则这两个立体体积相等。应用这一原理，命题 的成立不言而喻。Z概言之，祖暅推导几何图形体积公式的方法是以下列两条
39、原理为基础：（1） 出入相补原理；（2） 祖氏原理：幂势即同，则积不容异；原理（2） ，如前所述刘徽已经实际使用过，但祖暅首次明确地将它作为一般原理提出来，并成功地应用于球体积推算。我们称这条原理为“祖氏原理” ，因为虽然李淳风将体积公式的推证归功于祖暅，但正如祖冲之驳议所说，他在任南徐州从事史时已撰正“立圆旧术” ，即得出正确的球体积公式，因此实际情况可能是：祖冲之将他的研究写进了缀术 ，祖暅进一步整理他父亲的遗作并增被、完善，李淳风大概是从经祖暅增补过的缀术中引征球体积推导的。祖氏原理在西方文献中称为 “卡瓦列利原理” ，1635 年意大利数学家卡瓦列利（）独立提出，对微积分的建立有重要影
40、响。CavlierB.刘徽和祖冲之父子的工作，思想是很深刻的，它们反映了魏晋南北朝时代中国古典数学中出现的论证倾向，以及这种倾向所达到的高度。然而令人迷惑的是，这种倾向随着这一时代的结束而戛然而止。祖冲之父子的方法都记载在缀术中， 缀术在隋、唐时代15曾与九章算术一起被列为官学教科书，但隋书律历志中已说：“学官莫能究其深奥”了！缀术于公元 10 世纪后在中国本土完全失传。323算经十书大唐盛世，是中国封建社会最繁荣的时代，可是在数学方面，整个唐代即没有产生出能与其前辈的魏晋南北朝和后的宋元时期相媲美的数学大家。隋唐时期中国数学发展的两件大事是数学教育制度的建立和数学典籍的整理，这两件事是相互联
41、系的。7 世纪初，隋代开始在国子监中高立“算学” ，并“置博士、助教、学生等员” ，这是中国封建教育中数学专科教育的开始。唐代不仅沿袭了“算学”制度，而且还在科举考试中开设了数学科目，叫“明算科” ，考试及第者也可做官，不过只授予最低官阶。“算学”制度及明算开科都需要适用的教科书，唐高宗亲自下令对以前的十部数学著作进行注疏整理。受诏负现这项工作的是李淳风（约 604672） ，公元 656 年编成以后，成为国家的标准数学教科书，称“十部算经”或“算经十书” 。这十部算经分别是：周髀算经 、 九章算术 、 海岛算经 、 孙子算经 、 张邱建算经 、 夏候阳算经 、 五曹算经 、 五经算术 、 缀
42、术 、 缉古算经 。其中缀术在唐、宋之交失传以后，宋代刊刻的算经十书中便以南北朝时北周人甄鸾所著数术记遗来替补。甄鸾也是五曹算经 、 五经算术的作者。除了已介绍过的周髀算经 、 九章算术和缀术 ，其他算经如孙子算经 、 张邱建算经和缉古算经中也包含有一些重要的数学成就。（一） 孙子算经与“物不知数”问题孙子算经作者不详，大约是公元 4 世纪时的作品，全书 3 卷，卷上有今天仅存的中国筹算法则的记载（31 中已有介绍） 。 孙子算经最著称于世的是卷卷下的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，问物几何？”这相当于求解一次同余组。)7(mod2)5(3)(mod2N孙子算经
43、给出的答数是符合条件的最小正数解 ， “物不知数”题术文指23N示了解题方法，列成算式就是：。10170孙子算经还说明对任意余数 ，只要将算式中的 2，3，2 换成 ，并32,R321,R调整 105 的系数就行了。这是今天关于一次同余组一般解法的剩余定理的特殊形式。孙子问题引导了宋代秦九韶求解一次同余组的一般算法“大衍求一术” 。现代文献中往往把求解一次同余组的剩余定理称为“中国剩余定理” ，或直称“孙子定理” 。（二） 张邱建算经三卷，据考大约成书于公元 466485 年间，作者张邱建是北魏时人。 张邱建算经卷下最后一题通常称“百鸡问题”：“今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱
44、一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何？”此题相当于解不定方程组：。1035zyx16张邱建给出；78,1,41zyx；8224,33zyx三组解，它们恰好是所有可能的正整数解。 “百鸡问题”术文，则相当于给出整数解ttt75,2,4中的参数 的三个系数，但叙述过于简括。“百鸡问题”是世界著名的不定方程问题，13 世纪意大利斐波那契算经 、15 世纪阿拉伯阿尔卡西算术之钥中均出现有相同的问题。（三） 缉古算经与三次方程缉古算经是十部算经中年代最晚的一部，作者王孝通是唐初人。 缉古算经也是一本实用问题集，用“开带从立方法”解决工程问题， “开带从立方”就是求三次方程正根的数值解法，书中给出了
45、28 个形如cqxpx23的正系数方程及其正有理根，但没有解题方法。缉古算经是世界上最早讨论三次方程代数解法的著作。高次方程的数值解法，在宋、元时期得到了高度发展。33 宋元数学唐代以后一些数学著作的失传，大概是五代十国分裂战乱所造成的文化恶果。到了宋代，雕板印书的发达特别是活字印刷的发明，则给数学著作的保存与流传带来了福音。事实上，整个宋元时期（公元 9601368） ，重新统一了中国封建社会发生子一系列有利于数学发展的变化。商来的繁荣、手工业的兴盛以及由此引起的技术进步（四大发明中有三项指南针、火药和活字印刷是在宋代完成并获得广泛应用） ，给数学的发展带来新的活力。这一时期涌现的优秀数学家
46、中最卓越的代表，如通常称“宋元四大家 ”的杨辉、秦九韶、李治、宋世杰等，在世界数学史上占有光辉的地位；而这一时期印刷出版、记载着中国古典数学最高成就的宋元算书，也是世界文化的重要遗产。331 从“贾宪三角”到“正负开方”术宋元数学最突出的成就之一，高次方程数值求解，是九章算术开平方和开立方术的继承发展。（一）贾宪三角与增乘开方法宋代以前，大概已有人尝试将九章算术中的开方术推广到三次以上情形。但目前有明确记载保留下来的最早的高次开方法是贾宪创造的“增乘开方法 ”。贾宪是北宋人，约公元 1050 年完成一部叫黄帝九章算术细草的著作，原书丢失，但其主要内容被南宋数学家杨辉著说解九章算法 （1261）摘录，因能传世。根据杨辉的摘录，贾宪的高次开方法是以一张称为“开方作法本源”的图为基础。开方作法本源图（图 315，采自永乐大典现称“贾宪三角”或“杨辉三角 ”，它实际上是一张二项系数表，即 展开的各项系数。贾宪将左右斜线上的数字 1 分别称为)6,210()nax“积数”和“隅算” ，瘵这两行斜线数字中藏的数字称为“廉 ”，开几次方，就用相应行的17廉；第三行为“二”是开增方的廉；第四行“三、三”是开三次方的廉；第五行“四、六、四”是开四次方的廉，等等
