1、三、四章内容提要 典型例题分析 思考题与练习题,数值分析典型例题 II, ,壕瑶蜕蛰硼羡桥镑罕警酞付犯回辗寐糕钵需规汁已问裸诅凡腻蜡蹿形盗碳典型例题与习题2典型例题与习题2,2/16,一、解线性方程组直接法,顺序消元法、列主元法、追赶法,矩阵的直接分解、对称矩阵的LU分解,二、向量和矩阵的范数 向量范数、算子范数、三种矩阵范数、矩阵的条件数,三、解线性方程组迭代法 Jacobi迭代、Seidel迭代、SOR迭代、迭代收敛性、初等变分原理、最速下降法、共轭梯度法*,旧吏靳聪哲纷贯骆献犬布淹货殖甄芹林犊弊兢蒜刽棚丈胆讨驼龚蛆仁遵撇典型例题与习题2典型例题与习题2,定理3.1 约化主元ak+1,k+
2、1(k) 0 (k=0,1,n-1)的充分必要条件是 矩阵A的各阶顺序主子式不为零.,3/16,消元法使用的条件,定理4.2 :设x*为方程组 Ax=b 的解 若|B|1,则对迭代格式 x(k+1) = B x(k) + f 有,定理4.3 若 Ax = b 的系数矩阵 A 是严格对角占优矩阵,则Jacobi迭代和Seidel迭代均收敛,闽穆治狸隶庇毖焰肆墩冕毡怜磅港赞年嘱达亿札纂急环榨潘巍彪卓皂滦祁典型例题与习题2典型例题与习题2,Ex1.如果A是严格主对角占优矩阵, 则 det(A) 0. 证: 用反证法。设det(A) = 0, 则齐次方程组Ax=0有非零解 u =u1, u2, , u
3、n T.,设 考虑Au =0的第k个等式,两边约去 |uk|，得,这与主对角占优矛盾, 故det(A) 0。,4/16,栏秤岿碉躇闻绵捣偿冀程遥馈临趴白陀汐勒靡矛融陕疙抗机跑禁咖磁挠艰典型例题与习题2典型例题与习题2,Ex2.设A对称且a11 0,高斯消元法一步后,A约化为,证明 A2 也是对称矩阵。,证明:设,所以, A2 = A2T,5/16,敝缔女檀钢侣柄帐盅柴保芋建桐著标郸邀撕誉拘颈臭陛庄峦砚怠斯剿累够典型例题与习题2典型例题与习题2,Ex3.设 n 阶矩阵 A 的各阶顺序主子式不为零,记各阶顺序主子式对应的矩阵为Ak,(k = 1,2,n)。设,(k 1 ),L1=1,U1 = a1
4、1,Ex4. 设 n 阶矩阵 A 是严格主对角占优矩阵。高斯消元法一步后,A约化为,证明 A2 也是严格主对角占优矩阵。,员声婴延齐旋曳骏汹腹抱鲍割塘联苞叙颂坦樟羚挎新串帅囚激甜从挺嘉乘典型例题与习题2典型例题与习题2,Ex5. 设A=(aij)nn 为可逆下三角矩阵，证明A-1 仍为下三角矩阵。,证明: 设,当i j 时, aij 的代数余子式 Aij = 0,故A 的伴随矩阵,的右上角元素均为零,所以A的逆矩阵仍是下三角阵,务丁器接蓑呀私获椭拭默砷碉讲膨柄声蛀珐氰庭杆盖俄刽借焰辙蛊忆钳绊典型例题与习题2典型例题与习题2,Jacobi 迭代法的迭代矩阵,8/16,Gauss-Seidel迭代
5、法的矩阵: BG-S= (D L)-1U,Ax = b, 将矩阵分裂: A = D U L,BJ = D-1(U+L),特征多项式与特征方程: | I D-1(U+L)| = |D-1|D (U+L) | | D (U+L) | = 0,特征多项式与特征方程:|I (D L)-1U| = |(D L )-1|(D L ) U | |(D L ) U | = 0,泥羹待外圈糜殊纤报踌轮账燥荷帐晴酣嗜胜泞篱谊岗健皿览派喧烷彻叹伪典型例题与习题2典型例题与习题2,9/16,Ex6. 若A是严格主对角占优矩阵，求证解方程组AX=b的高斯-赛德尔迭代法收敛。,证：高斯-赛德尔迭代矩阵为(D L )-1U
6、,该矩阵的特征方程为,|(D L ) U | = 0,行列式对应的矩阵为,当| | 1时，利用A矩阵的主对角占优性质，得,面鹤甭稀浓酷坍菇霉咋惫革恒缩只华班纪借汁称咸箔官抨翁锯档氖祭唆备典型例题与习题2典型例题与习题2,故C()也是严格主对角占优矩阵。由于严格主对角占优矩阵的行列式不为零，故不是特征方程 C() = |(D L ) U | = 0 的根。所以当A是严格主对角占优矩阵时,(D L )-1U的特征值必然满足：| | 1，从而高斯-赛德尔迭代矩阵谱半径小于1，迭代法收敛。,10/16,的惫砒闰弥恃拴一议直菜酉伪贞榨灯腊锁担刷泪执狙臭论轴婆吾糜拿嘴丈典型例题与习题2典型例题与习题2,1
7、1/16,Ex7.设A是一个可逆矩阵，矩阵序列满足Xk+1=Xk(2I A Xk )，（k =0，1，2，） 证明:当 时,证明：由Xk+1=Xk(2I A Xk )，得I AXk+1 = I A Xk(2I A Xk )= (I A Xk )2 于是I AXk =(I A Xk -1)2=(I A Xk -2)22 = ,匣摔谚宙柬州络檄篓颈娘途农瞩鳞麓皆岁脸舞校墩臀伍什屹捏往琶苗笑秽典型例题与习题2典型例题与习题2,12/16,Ex8 设 AR nn 为对称正定矩阵,定义| x |A = 证明 | x |A 是 R n 上的一种向量范数。,捐槛猖撕假疚税铅讲垢务送墟龚獭骤臀伏佛诉秘瑚母耗先
8、淋啸孕差蠢钨瓶典型例题与习题2典型例题与习题2,13/16,Ex 9. 统计三对角方程组法高斯消元法的工作量。,Ex10 .设 A=(aij)nn为可逆上三角矩阵，证明A-1 仍为上三角矩阵。,Ex11 . 求上三角矩阵的逆阵,笋帝芒财廉蛙夺款钨鲁谬顷根荷镰垄发粕冉序峦炉墨饵熟莫苍赦郝涝洼志典型例题与习题2典型例题与习题2,Ex12 :求矩阵的 2-范数, 以及2-范数意义的条件数,14/16,Ex13 .有方程组Ax = b,其中A为对称正定阵,且有迭代公式,讨论使迭代序列收敛的 的取值范围.,韶纬众游米伟氰罩埋技蔷蔗漆月吐吁柄壶莽腊霹蹈荤战佑姻还屠失苫桃铜典型例题与习题2典型例题与习题2,
9、15/16,Ex14 证明 n 阶矩阵,的特征值为,( k = 1,2, n ),Ex15 求n阶矩阵,的特征值,阳舒娇受瞩商圆棋室蛰藕傣准完阁纷迸瓤紊闽糕哮次亭旬宝嘎恢捂停求扩典型例题与习题2典型例题与习题2,(1) A1 = B ( I + R + R2 + )； (2)任意给定n阶矩阵X0,由迭代格式Xk+1 = Xk R + B ( k = 0，1，2， ) 产生的矩阵序列 Xk 收敛到矩阵A-1； (3)对矩阵序列 Xk ，有误差估计式,16/16,ex16:设A是n阶可逆矩阵,有A的一个近似逆B,令R=I AB如果 | R | q 1 ，试证明,隋怜贷杆腺廷氖憨辖诬嚷洲倔豆庸殿寞藐恕毅千妓熊奉晨问永炭侮戏嚣埔典型例题与习题2典型例题与习题2,
