1、数值求积公式及代数精度 数值求导方法与截断误差 一阶常微分方程数值法 局部截断误差与精度,数值分析典型例题 IV, ,插值型求积公式:,求积系数,求积余项,等距结点插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,偶数阶Newton-Cotes公式至少有(n+1)阶代数精度,2/16,求积结点,1.梯形公式,复合梯形求积公式 令h=(b-a)/n,求积余项,3/16,2. 辛卜生公式,求积余项:,两点高斯型数值求积公式,4/16,练习: 复合辛卜生公式求积余项?,一阶向前差商,一阶向后差商,二阶中心差商,一阶中心差商,5/16,外推算法,练习：二阶中心差商的外推公式？,6/16,1. Euler
2、方法,常微分方程初值问题,2. 梯形公式:,7/16,预测-校正公式,局部截断误差 设 yn= y(xn), 称Rn+1=y(xn+1) - yn+1为局部截断误差 常表示为: O(hp+1)， p 称为单步法的精度阶数,又称为修正的Euler公式 yn+1= yn+ 0.5h k1+ k2 k1=f(xn,yn), k2=f(xn+h, yn+hk1),8/16,Ex1.推导左矩形求积公式,令,F(u)= F(a) + (u-a)F(a) +0.5(u-a)2F ”(),练习:,9/16,Ex3. 求复合中矩形公式的求积误差?,Ex2.复合左矩形求积公式的求积误差,设被积函数在积分区间上的一
3、阶导数连续,由连续函数介值定理,10/16,Ex4.利用复合梯形公式计算积分,使其截断误差不超过 0.510-3,应算多少次函数值？,提示：,练习: 给定积分 当要求误差小于10-3时用复合梯形公式和Simpson公式计算时, 需要计算多少次函数值？,11/16,Ex5. 验证，复合梯形公式与复合Simpson 公式之间有如下关系,12/16,Ex6. 定积分 的计算问题可化为初值问题y= f (t) , y(a)=0 试证明用Euler公式计算结果为 其中, h = (b a )/N, tn= a + n h ( n = 0,1,2, N),Ex7. 试证明4阶Range-Kutta公式解a
4、, b内初值问题y= f (x) , y(a)=0 结果有: 其中, h = (b a )/N, xn= a + n h ( n = 0,1,2, N),13/16,Ex8.将线性常系数非齐次高阶常微分方程初值问题:y(n) + a1 y(n-1) + a2 y(n-2) + an y = f( x, y, , y(n-1)y(x0)=y00, y(x0)=y01, y”(x0)=y02, y(n-1)(x0)=y0,n-1 转化为一阶线性常微分方程组问题,并成出矩阵形式,解: 令y1(x)=y(x), y2(x)=y(x), y3(x)=y”(x), yn(x)=y(n-1)(x),14/16,Ex9. 初值问题,有解y(x)=0.5a x2 + b x 。若取 xn = nh，yn为欧拉方法得到的数值解，试证明 y(xn) yn = 0.5 a h xn,15/16,写出梯形公式求解的计算格式，取步长h = 0.2,计算函数 y(x) 在 x = 1.6 处的近似值 y2.,Ex11. 初值问题,16/16,
