1、2017 届重庆市巴蜀中学高三第二次诊断考试模拟数学（理）试题一、选择题1 已知集合 ， ，则集合 的子集个数为（ 0,24A2|30BxAB）A. 2 B. 3 C. 4 D. 8【答案】C【解析】因为 ，所以 ，故其子集的个0,2|03ABx0,2AB数是 ，应选答案 C。242 已知复数 满足 （其中 为虚数单位） ，则 （ ）z1iziizA. B. C. D. 5023210【答案】B【解析】因为 ，所以 ，应选3112iiz i19042z答案 。023 若 ，则函数 在区间 内单调递增的概率是（ ）1,6a2xay2,A. B. C. D. 52354【答案】C【解析】因为 ，所
2、以 在 上恒成立，即 ，ayx210ayx,2min4ax也即 ，故 ，则由几何概型的概率计算公式可得1465,43Dd，应选答案 C。35dP4 中国古代数学名著九章算术 中记载：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猜得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？其意是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎获五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少.若五只鹿的鹿肉共 500 斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为（ ）A. 200 B. 300 C. D. 400503【答案】B【解析】由题设五人分得的鹿肉斤数成等差数列，因为 ，所以12345,a，则由等差数列的
3、性质可得 ，即 ，所123450aa0310a以 ，应选答案 B 。3点睛：本题将古代著名数学问题与等差数列紧密联系起来，彰显了数学知识的历史渊源，同时也说明数学知识的应用无处不在。求解时巧妙运用等差数列的通项的性质，从而使得问题简捷、巧妙获解。5 已知双曲线 的实轴长为 2，且它的一条渐近线方程为 ，则双曲线M2yx的标准方程可能是（ ）A. B. C. D. 241xy2146xy214yx241【答案】D【解析】由题意知 ，当焦点在 轴上时，渐近线 ，即为 ，即aybyxa，所以此时双曲线 的标准方程为 ；当焦点在 轴上时，渐近线2bM214x，即为 ，即 ，此时双曲线 的标准方程为 ，
4、即双yxayxb12M241yx曲线 的标准方程是 或 ，对照各选项，只有 D 符合，故选 D.2421yx6 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 14650146520126510【答案】A【解析】由三视图中提供的图形信息与数据信息可知该几何体是一个三棱柱与半圆柱的拼合体。所以其底面面积是 ，侧面面积为112484S，所以该几何体的表面面积为234365S，应选答案 A 。1265107 点 的坐标满足约束条件 ，由点 向圆 ： ,Pxy20478xyPC作切线 ，切点为 ，则线段 的最小值为（ ）221PAAA. B. C. D. 451932【
5、答案】B【解析】画出不等式组表示的区域 ，如图，由于 ，因此问题转化为求圆心D2|1PAC到区域内 的点的最小值问题。由点 到直线 的距离公式2,1C,0xy可得 ，故min24|15dP，应选答案 B 。2inin615|AC8 设 ，则 的大小关系是（ ）0.435,log18,l0abc,abcA. B. C. D. ca【答案】D【解析】因为 ，所以0.435,2log,2logbc，则 ，应选答案 D 。35221log2l 0log3l5bcbca9 执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）nA. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】C【解析】从题设中提供的算法流程可以看出：
6、当 ，当1,3nS，当24,137nS，此5211626, 3637633时 ，应选答案 C。n10 如图所示为函数 的部分图象，其中sin(0,)2fxx两点之间的距离为 5，则函数 图象的对称轴为（ ,ABcosgx）A. B. C. D. 128xkZ62xkZ68xkZ【答案】B【解析】如图，结合图形可知 ，则 ，因此2|45ABx3ABx，则 ，即 ，由图形可得236T23Tsin3f，则 ，所以 ，则02sin1f62sin36fxx的对称轴为 ，即 ，应选答案co3gxxk2kZB 。点睛：解答本题的关键是理解两点之间的距离及求解方法，求得 即为半个3ABx周期，运用周期公式求得
7、 ，进而借助题设条件求得 ，求出函数的23T6解析式 ，借助题设建立方程 ，解出2cos6gxx63xk使得问题获解。6kZ11 动直线 与抛物线 ： 相交于 两点， 为坐标原点，若lC24xy,ABO，则 的最大值为（ ）2ABGOABGA. B. 8 C. 16 D. 2416【答案】C【解析】由题设条件可得 ，即 ，也即点 是2BAO2BOAG的中点，故 ，则AB2OG，设2244 ，则 ，令 ，则12,xy21126xABxy12t，其对称轴为 ，当 时6tOAB 816tt， ，应选答案min()8422max4416OABGC。点睛：本题解答的思路是先借助题设条件，确定点 是 的中
8、点，进而求得A，从而将问题转化为 ，在借助坐2OGAB224OB标建立目标函数 ，通过换元将函数转化为二次函12126xxy数，借助图像求得二次函数的最小值，使得问题获解。12 不超过实数 的最大整数称为 的整数部分，记作 .已知xxx，给出下列结论：cosfx 是偶函数； 是周期函数，且最小值周期为 ；fx 的单调递减区间为 ；,1kZ 的值域为 .fxcos,其中正确的个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】因为 ，所以不是偶函数，答案 不正正确；cosfxxf又因为 ，所以答案也不正确；由于函数是单调递增函数，且 ，因此 在 上单hx0,1hxcosyx0,1
9、调递减，所以其值域为 ，故答案也不正确；则 答案是正确的，应选答案 B cos1,。点睛：解答本题的关键是掌握新定义的函数 的图像和性质，进而依据新hx定义的信息，综合运用所学知识对题设中所提供的四个答案逐一进行分析推断，从而做出正确判断使得问题简捷、巧妙获解。二、填空题13 已知向量 ， ， ，且 ，sin,1asin,0bcos,12/abc则 等于_sin2【答案】 13【解析】因为 ，所以sin,sin,0cos,1ab由题意 ，则2,2co,1b 23i2tan3，应填答案 。2sitasinn114 若 （其中 ） ，则多项式 展开式的常数项126mxd1m2mx为_【答案】 0【
10、解析】由定积分公式可得 ，解之得 （舍去）由于216m3,2m，故展开式的通项是3321xxx，令 ，则 ，故常数项是66211rrr rrTCC 0r3，应填答案 。3620015 已知正项等比数列 的公比 ，且满足 ， na1q26a，设数列 的前 项和为 ，若不等式1324359annS对一切 恒成立，则实数 的最大值为_nnS*N【答案】 3【解析】由等比数列的性质可得 ，即 ，再结合22490a2430a可得 ，则公比 ，所以26a422q，故原不等式可化为2131, 3nnnnS ，即 ，又因为 ，所以13 12n12433nF，应填答案 。43点睛：本题设置的目的旨在考查等比数列
11、的定义、通项公式的性质及前 项等有关知识的综合运用。求解时先运用等比数列的通项的性质，求出 ，再结合2430a可求得 ，进而求得公比 ，从而将问题化为求26a422q的最小值的问题。13nF16 下图是两个腰长均为 的等腰直角三角形拼成的一个四边形 ，现0cmABCD将四边形 沿 折成直二面角 ，则三棱锥 的外接球ABCDABDC的体积为_ 3【答案】 503【解析】由题设可将该三棱锥拓展成如图所示的正方体，则该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，由于正方体的对角线长为 ，即球的半径 ，该球的体积2103lR53R，应填答案 。3450VR5点睛：解答本题的关键是依据题设条件，构造符合题设条件的
12、正方体，借助三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个球的事实，求出正方体的对角线长，即三棱锥的外接球的直径，进而求得外接球的半径使得问题获解。三、解答题17 已知 的三个内角 所对的边分别为 ，且满足ABC,ABC,abc.3cos2016sin2017（1）求角 的大小；（2）若动点 在 的外接圆上，且点 不在 的同一侧， ，D,DBAC7A试求 面积的最大值.AC【答案】 （1） ;（2） .3B493S【解析】 【试题分析】 （1）运用三角函数的诱导公式及正弦定理建立三角方程进行求解；（2）借助题设运用余弦定理及基本不等式进行分析求解：（1）在 中， ，ACcos2016sin2017Bb
13、C ，3cosinBb由正弦定理，得 ，3scsinC又 ， ， ，即 ，又0Ci03osi0Bbtan3B， .B2（2）由点 在 的外接圆上， 不在 的同侧，得DA,DAC，3在 中，由余弦定理，得C22cosCA，即 ，当且仅当 时，取21cosADCADC49ACDACD等号. 的面积 .1493sinsi22S18 如图（ 1） ，在五边形 中， ， ， BCDAE/CDAB90CD， ， 是以 为斜边的等腰直角三角形.现将CDB沿 折起，使平面 平面 ，如图（2） ，记线段 的中点AEAB为 .O（1）求证：平面 平面 ；O（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的大小.ABE【答案】
14、 （1）见解析；（2） .45【解析】 【试题分析】 （1）运用面面垂直的判定定理进行分析推证；（2）建立空间直角坐标系，借助空间向量的坐标形式运用向量的数量积公式进行分析求解：（1）解： ， 是线段 的中点， .ABCDOABOCD又 ，四边形 为平行四边形，又 ，/ 90 ，O又 是等腰直角 的中点， .EE ， 平面 .EDABOD 平面 ，AB平面 平面 .（2）平面 平面 ，且 ， 平面 ，CABOABCD.O 两两垂直，以 为坐标原点，以 所在直线分别为,BDEO,E轴建立如图所示的空间直角坐标系 .xyz xyz 为等腰直角三角形，且 ，EAB1CDB ，1OE ， ， ， ，
15、， ，0,0,0,0,1D,01E ， ，设平面 的一个法向量为 ，1,CDECnxyz则有， ，取 ，得 ，0nE0xyz1z0,1n 平面 ，平面 的一个法向量为 ，ODABE,0OD设平面 与平面 所成的锐二面角为 ，则C，201cos,n平面 与平面 所成的锐二面角大小为 .EDAB45点睛：立体几何是高中数学中传统的经典内容，也是高考重点考查的考点与热点。这类问题是设置旨在考查空间线面的位置关系与角度、距离等度量关系等知识的运用能力。线面的垂直与平行的推证常常要借助判定定理进行分析；而角度距离的计算与求解则常常需要建立空间直角坐标系，借助向量的坐标形式及数量积公式进行分析求解。19
16、团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式，不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在 市开展了团购业务， A市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团A购网站的商家中随机地抽取了 50 家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.（1）从所调查的 50 家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率；（2）从所调查的 50 家商家中任取两家，用 表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量 的分布列和数学期望；（3）将频率视为概率，现从 市随机抽取 3 家已加入团购网站的商家，记其A中恰好加入了两个团购网站的商家数为 ，试求事件“ ”的概率.2
