1、2017 届甘肃省兰州市高三第一次诊断性考试数学（理） 试题一、选择题1 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，所以 ，故选 A.2 已知复数 满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，故选 C.3 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）A. 36 B. 72 C. 144 D. 288【答案】B【解析】因为 是等差数列，又 ，故选 B.4 已知某种商品的广告费支出 (单位:万元)与销售额 (单位:万元)之间有xy如表对应数据:x2 4 5 6 8y30 40 50 M70根据表中提供的全部数据,用最小二乘法得出 与 的线性回归方
2、程为xy,则表中的 值为( )6.517.yxMA. 45 B. 50 C. 55 D. 60【答案】D【解析】 ，因为回归线24568304507, 385mxy必过样本中心点 ，将此点代入 ，可解的 。故 D 正,3m6.1.x60确.5 下列命题中，真命题为（ ）A. ， 0xR0xeB. ， 2xC. 已知 为实数，则 的充要条件是,ab0ab1abD. 已知 为实数，则 ， 是 的充分不必要条件1【答案】D【解析】A. ， ，故 A 不正确；0xR0xeB.当 ，时 ，故 B 不正确；121C.充分性：当 时，可能 ，此时 不成立，所以充分性不成=ab0,ab1ab立，故 C 不正确
3、；D.当 ， 时， 成立，所以充分性成立；当 时， 可能为复11,ab数，故必要性不成立.正确故选 D.6某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. B. C. D. 959251051025【答案】A【解析】由三视图可以知道这是一个圆柱,上面挖去一个小圆锥的几何体,圆柱的底面积为 ,圆柱的侧面积为 ,圆锥的母线长为 ,侧面积为 ,2482155所以总的侧面积为 .所以 A 选项是正确的.5957设变量 满足不等式组 ，则 的最小值是,xy312xy2xyA. B. C. D. 5329【答案】B【解析】由约束条件 作出可行域如图，312xy的几何意义为可行域内的动点与坐标原点距离的平方
4、，2xy则其最小值为 故选：B.23918右图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” 执行该程序框图，若输入 的值分别为 6,8,0 时，则输出的 =,abi iA. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】模拟执行程序框图,可得: ,不满足 ,不满足6,801abiab862,abi满足 ,43满足 ,i不满足 ,满足 ,输出 的值为 , 的值为 .aba2i4所以 B 选项是正确的.9 已知圆 和两点 ， ， ，若圆 上存在点 ，使得 ，则当 取得最大值时，点 的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 为圆上一点，由题意知，即所以
5、 所在直线倾斜角为 30所以 的纵坐标为 ， 的横坐标为所以 ，故选 D.10 函数 的部分图像如图所示：如果 ，则 （ ）A. B. C. 0 D. 【答案】C【解析】由图知： ， ， ，将 代入函数，根据 的范围，则 ， ， 的中点为 ，则 ，故选 点睛：本题主要考查的正弦型三角函数的图像和性质，根据三角函数的“五个关键点”可以从图像中得到 ， ，求得函数的解析式 ，由，可知 即得结果.11 已知 为双曲线 的左，右焦点，点 为双曲线 右支上一点，直线 与圆 相切，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设 与圆相切于点 ，则因为 ，所以 为等腰三角形，设
6、的中点为 ，由 为 的中点，所以 ，又因为在直角中， ，所以 又 ， 故由得， ，故本题选 C点睛：在圆锥曲线中涉及到焦点弦问题，通常要灵活应用圆锥的定义得到等量关系，本题中由几何关系得到 ，由双曲线定义有 ，列方程即可求离心率的值.12 设函数 在 上的导函数为 ，对 有 ，在 上，若 ，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】令 ， 函数 为奇函数时， 故函数 在 上是减函数，故函数 在 上也是减函数由 ，可得 在 上是减函数， 解得： 故本题选 A点睛：本题考查的是构造函数，利用条件构造 ，进而将不等式转化为.根据知识：若函数 在区间上单调递增，则 时，有 ，
7、事实上，若 ,则 ，这与 矛盾，类似地，若 在区间上单调递减，则当 时有 ；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.13 已知数列 中， 为数列 的前 项和，且当 时，有 成立，则 _【答案】【解析】当 时，由 ，得 ，所以 ，又 ，所以 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，所以，故 ，则二、填空题14 _.22cos165in【答案】 3【解析】 22223cos165incos15in02cos15 的展开式中， 项的系数为_ （用数字作答）【答案】【解析】在 的展开式中，它的通项公式为： 令 ，求得 ，可得 项的系数为 .16 已知在三棱锥 中， ， ，
8、 ， ，且平面 平面 ，那么三棱锥 外接球的体积为_【答案】【解析】取 的中点 ，连接 ，设球半径为 ，则 ， ，又 ，且由已知条件 平面 ，所以由体积可得 ，解得 ，所以三棱锥 外接球的体积为 点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 构成的三条线段 两两互相垂直，且 ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 求解三、解答题17 已知在 中，角 的对边分别为 ，且 （）求角 的大小；（）若 ， ，求 的面积 【答
9、案】 （1） ；（2） 【解析】试题分析：（1）根据正弦定理， ， ，代入原式，整理为 ，再公共辅助角公式化简，根据 ，计算角 ；（2 ）因为知道 代入余弦定理， ，得到 ，最后代入面积公式 ，计算面积试题解析：（1）在 中，由正弦定理得 ，即 ，又角 为三角形内角，所以 ，即 ，又因为 ，所以 （2 ）在 中，由余弦定理得：，则即 ，解得 或 ，又 ，所以 【考点】1正弦定理；2余弦定理；3面积公式18随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少， “延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了 50 人进行调查，将调查
10、情况进行整理后制成下表：年龄 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 40,45)人数 4 5 8 5 3年龄 45,50) 50,55) 55,60) 60,65) 65,70)人数 6 7 3 5 4经调查年龄在25,30),55,60）的被调查者中赞成“延迟退休 ”的人数分别是 3 人和 2人.现从这两组的被调查者中各随机选取 2 人，进行跟踪调查（I）求年龄在25,30）的被调查者中选取的 2 人都赞成“延迟退休”的概率；（II）若选中的 4 人中，不赞成“延迟退休”的人数为 ，求随机变量 的分布列X和数学期望【答案】() ;()见解析.310【解析】试题分析: （1）
11、利用古典概型的概率公式，求出年龄在25,30) 的被调查者中选取的 2 人都是赞成的概率；（2）由已知得 的可能取值为 0，1 ，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机X变量 的分布列和数学期望.试题解析：() 设“年龄在 的被调查者中选取的 人都是赞成”为事件 ，5, 2A所以 23510CPA() 的可能取值为 ， ， ， X23所以 ， 23512133255CCPX， 2113250CP 2153X03125105所以 32011EX点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是判断取值，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是求概率，即利用排列组
12、合，穷举法等求出随机变量每个值时的概率;第三步是写分布列，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;第四步是求期望值，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布XB(n，p)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.19在正三棱柱 中， ， ，点 为 的中点.1ABC2AB13DBC（I）求证： ；1D平 面（II）若点 为 上的点，且满足 ，若二面角 的E1EmCREA余弦值为 ，求
13、实数 的值.01【答案】 （）见解析（） 1【解析】试题分析：（）连接 交 于 ，则 为 的中点连接 ，则AC1F1ACDF，由此能证明 平面 .1/ABDF1/BD（）过 作 于 ，则 平面 ，过 作 ，垂EMEMBMNA足为 ，连 ，则 为二面角 的一个平面角.由此利用二面角NN的余弦值为余弦值为 ，可求实数 的值.C01m试题解析：（）证明，连接 交 于 ，则 为 的中点ACF1AC连接 ，则 ，而 平面DF1/ABDF1AC所以 平面 ； 1/C（）方法一：过 作 于 ，则 平面 ，过 作 EMACEMABCMN，垂足为 ，连 ，则 ，所以 为二面角 的一ADNDNED个平面角.设 ，则 ，所以 ，所以h3223h23h因为 ， 所以CA1AC故2223hENM因 ，故 ，解得10cos22103h32h此时， 点 为 的中点，所以E1ACm方法二：建立如图所示空间直角坐标系，过 作 于 ，则 平面EMACE，设 ，则 ， ， ，所以BMh2,013,02D2,03h， 2,03EA3,A
