1、2017 届湖北省襄阳四中高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题一、选择题（本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为（ ）1,24A|,xBzAyBA4 B5 C6 D72.设复数 满足 ，则 =（ ）z32i|zA5 B C2 D 23.“ 为真” 是“ 为假”的（ ）条件ppqA.充分不必要 B必要不充分 C.充要 D既不充分也不必要4.某校高三年级有 1000 名学生，随机编号为 0001，0002，.，1000，现按系统抽样方法，从中抽出 200人，若 0122 号被抽到了，则下列
2、编号也被抽到的是（ ）A.0927 B0834 C.0726 D01165.若中心在原点，焦点在 轴上的双曲线离心率为 ，则此双曲线的渐近线方程为（ ）y3A B C. Dyx2x2yx12yx6.已知 ， ，下列不等关系中正确的是（ ）0abcA. B C. Dccablog()l()abccabc7.执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）xA0 B3 C6 D88.函数 的部分图象大致是（ ）1sinyxA B C. D9.已知 ，给出下列四个命题：20(,)|36xyD1:(,),0Pxy，2:(,),210Pxyy， ；342:(,),PxyDy其中真命题的是（ ）A B C. D
3、12,P23, 34,P24,P10.某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体体积是（ ）A4 B C. D2438311.将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到 的图象.若()2sin()6fx1()gx，且 ，则 的最大值为（ ）12()9g1,22xA B C. D43557412.已知函数 ，其中 ，对于任意 且 ，均存在唯一实数 ，使,0()xemfab11xR102x得 ，且 ，若 有 4 个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ）21()fxf12|()|fxfaA B C. D0, ,0(2,1)(,0)(2,1)二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共
4、 20 分）13.设向量 ， ，且 ， 的夹角为 ，则实数 = (1,3)a(,3)bmab3m14.设等比数列 中， 是前 项和，若 ，则 = nnS3627063S15.在五个数字 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字至少有一个是偶数的概率为 1,2345 （结果用数值表示）16.设直线 与圆 交于 ， 两点，若 的圆心在线段 上，且圆 与0xy21:9CxyAB2CAB2C圆 相切，切点在圆 的劣弧 上，则圆 半径的最大值是 .1C1AB2三、解答题：包括必考题和选考题两部分.第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答.第 22、23 题为选考题，考生任选一题做答.解答应
5、写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在 中，点 是边 上一点，且 .记 ， .ABDAB13DACBD（1）求证： ；sin3C（2）若 ， ， ，求 的长.621918. 某气象站观测点记录的连续 4 天里， 指数 与当天的空气水平可见度 （单位 ）的情况如AQIMycm下表 1：哈尔滨市某月 指数频数分布如下表 2：AQI（1 ）设 ，根据表 1 的数据，求出 关于 的回归方程；0Mxyx（参考公式： ，其中 ， ）yba12()niibxaybx（2 ）小张开了一家洗车店，经统计，当 不高于 200 时，洗车店平均每天亏损约 2000 元；当 在MM时，洗车店平均每天收入约 4000
6、 元；当 大于 400 时，洗车店平均每天收入约 7000 元；根据(0,4表 2 估计校长的洗车店该月份平均每天的收入.19.在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， ， ， 点在PABCDAB3AB2D45ABCP底面 内的射影 在线段 上，且 ， ， 为 的中点， 在线段 上，ABCDEAB2PEBAFDMCD且 .M（1）当 时，证明：平面 平面 ；23PFMAB（2）当 时，求平面 与平面 所成的二面角的正弦值及四棱锥 的体积.ACDPABCM20. 已知直线 过椭圆 的右焦点 ，且椭圆 的中心关于直线:23lyx:21(0)xyab2F的对称点在直线 （其中 为焦距）上，直线 过椭圆
7、左焦点 交椭圆 于 、 两点.lacm1CN（1 ）求椭圆 的方程；C（2 ）设 （ 为坐标原点） ，当直线 绕点 转动时，求 的最大值.20tanOMNO 1F21. （1）证明：当 时， ；1x1lx（2）若不等式 对任意的正实数 恒成立，求正实数 的取值范围；()lttta（3）求证： .1920e请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑.22.在直角坐标系 中，以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为xOyxC，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 和圆 交于 ， 两点.4sinl
8、32tylAB（1）求圆心的极坐标；（2）直线 与 轴的交点为 ，求 .lxP|AB23. 已知函数 .()|32|f（1）解不等式 ；()6|2|fx（2）已知 ，若 恒成立，求 的取值范围.4,0)mn1|()xafmn(0)aa文数模拟一答案一、选择题1-5:BBBAB 6-10:DBBDB 11、12：AD二、填空题13.-1 14.28 15.0.7 16.2三、解答题17.解：（1）由正弦定理，在 中 ，在 中 ，因为ACDsinsiADBCsinsiBD，所以 ，因为 ，所以 .ADCBiB133iA（2）因为 ， ，由（1）得 ，设 ， ， ，由余弦定62sin326ACB2A
9、Ck3B0k理 得到 ，解得 ，所2 cosABC2194cosk1以 .318.解：（1） ， ，973154x0.356.5y， ，410.5.6.9.8iy42221973140ix， ， 关于 的回归方程是 .281b215()0ay1yx（2 ）表 2 知：30 天中有 3 天每天亏损约 2000 元，有 6 天每天收入约 4000 元，有 21 天每天收入约 7000元，故该月份平均每天的收入约为 （元） ；答：洗衣店该月(340721)50份平均每天的收入约为 5500 元.19.解：（1）证明：连接 ，作 交 于点 ，则四边形 为平行四边形，EC/ANCDNAECN，在 中，
10、， ， ，由余弦定理得 .所以CNAEB2B45B2，从而有 .22B在 中， ， 分别是 ， 的中点，DFMAN则 ，又 故有 ，/A/EC/F因为 ，所以 .B由 平面 ， 平面 ，PED得 ，又 ， ，FPAE得 平面 ，又 平面 ，MAFM所以平面 平面 .DB（2 ） .四棱锥 的体积 .5PABCD1833PABCMABCDVSPE梯 形， .12CFBS 1133CBFGCFFBVSG20.解：（1）由直线 ，令 ，解得 ，可得 ，:32lyx0y2xc即椭圆的焦点为 ，设原点关于 的对称点为 ，则 ，(2,0)l(,)3(2)yx解得 ，即 ，可得 ，则 ， 椭圆的方程为 ；3
11、x2ac26a22bac16y（2 ） ，可得 ，0tnOMNO1|sinMON即有 12|2SFy212112|()4yy228(3)tt，当且仅当 ，即 时， 取得最大值22261631ttt6322tt1S.则有 的最大值为 .321. 解：（1）令函数 ，定义域是 ，1()lnfxx|1xR由 ，可知函数 在 上单调递减，21()fx20()f,)故当 时， ，即 .1()lnfx()f12lnx（2）因为 ， ，故不等式 可化为 （*） ，0talattl()at问题转化为（*）式对任意的正实数 恒成立，构造函数 ，)1gtt(0)t则 ，21()()gtta2()1ta当 时， ，
12、 即 在 上单调递增，00,()()0gt()t,)所以 ，即不等式 对任意的正实数 恒成立.()gt lnta当 时， ，因此 ， ，函数 单调递减；2a()(,2)(t()gt， ，函数 单调递增，(),t0gtgt所以 ， ， ，令 ，min(2)ga()ln(1)a1a1xa由（1）可知 ，不合题意.min(2)()2l(1)agt211lnln()0xx综上可得，正实数 的取值范围是 .a0,（3）要证 ，即证 ，192()0e91ln2le109ln219ln()2由（2）的结论令 ，有 对 恒成立，取 可得不等式 成立，()tttt19ln()2综上，不等式 成立 .192()e
13、22.解：（1）由 ，得 ，得 ，故圆 的普通方程为 ，4sin24sin24xyC240xy所以圆心坐标为 ，圆心的极坐标为 .(0,)(,)（2）把 代入 得 ，所以点 ， 对应的参数分别为 ，令32xty240xy24tAB12,t得点 对应的参数为 ，02tP0t所以 .12|ABt4|2|6823. 解：（1）不等式 ，即 .()6|fx|3|x当 时，即 ，得 ；23x2当 时，即 ，得 ；2x1x当 时，即 ，无解.综上，原不等式的解集为 .2x63(,1)2（2） .，11()4mnn(1)4nm令 ()|()gxafx2,3|3|,.xaaxxx结合函数 的图象易知：当 时， .()23ma2()3g要使不等式恒成立，只需 ，即 ，max()1g10故所求实数 的取值范围是 .a10,
