1、2018 届甘肃省天水一中高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题第卷( 选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知(13i)(2i)43i(其中 i 是虚数单位，是 z 的共轭复数) ，则 z 的虚部为( )A1 B1 Ci Di2如图，已知 R 是实数集，集合 A x|logError!(x1)0，B x|Error!0 ，则阴影部分表示的集合是( )A0,1 B 0,1) C(0,1) D(0,13已知命题 p：x( ，0) ，2 x3 x；命题 q：xError! ，tan xsin x，则下列命题为
2、真命题的是( )Apq Bp( q) C ( p)q Dp( q)4有 4 位同学参加某智力竞赛，竞赛规定：每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答，且甲类题目答对得 3 分，答错扣 3 分，乙类题目答对得 1 分，答错扣 1 分若每位同学答对与答错相互独立，且概率均为Error!，那么这 4 位同学得分之和为 0 的概率为 ( )A.Error! B.Error! C.Error! D.Error!5设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内的任意一点，则Error!Error!Error!Error! 等于 ( )A.Error! B2Error! C
3、3Error! D4Error!6.设 a b1， ，给出下列三个结论： ； ； ，其中所有的正确结论的序号是 .A B. C. D. 7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）A B C D8已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S210，S 555 ，则过点P(n，a n)和 Q(n2，a n2 )(nN *)的直线的斜率是( )A4 B3 C2 D19某程序框图如图所示，若输出的 k 的值为 3，则输入的 x 的取值范围为( )A15,60) B(15,60 C12,48) D(12,4810已知 P(x，y) 为平面区域Error!(a0) 内的任意一点，当
4、该区域的面积为 3 时，z2xy 的最大值是( )A1 B3 C2 D611设 Sn是公差不为 0 的等差数列a n的前 n 项和，S 1， S2，S 4 成等比数列，且 a3Error!，则数列Error!的前 n 项和 Tn( )AError! B.Error! CError! D.Error!12过抛物线 y22px (p0)的焦点 F，且倾斜角为Error!的直线与抛物线交于 A，B 两点，若 AB 的垂直平分线经过点(0,2)，M 为抛物线上的一个动点，则 M 到直线 l1：5x4y40 和 l2：xError!的距离之和的最小值为( )A.Error! B.Error! C.Err
5、or! D.Error!第卷( 非选择题 共 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题21 题为必考题，每个试题考生都必须做答，第 22 题23题为选考题，考生根据要求做答二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13双曲线 ：Error!Error!1( a0，b0)的焦距为 10，焦点到渐近线的距离为 3，则 的实轴长等于_14已知(12x) 5(1ax )4 的展开式中 x 的系数为 2，则实数 a 的值为_15.已知 ，则不等式 的解集为 16在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 AC1，A 1B1 的中
6、点，点 P 在其表面上运动，则总能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹的周长等于_三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 )17(本小题满分 12 分)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cos2Bcos B1cos Acos C.(1)求证：a，b，c 成等比数列；(2)若 b2，求ABC 的面积的最大值18(本小题满分 12 分)某调查机构从某县农村淘宝服务网点中随机抽取 20 个网点作为样本进行元旦期间网购金额(单位：万元)的调查，获得的所有样本数据按照区间 0,5，(5,10，(10,15 ，(15,20，(20,25进行分组，得到如
7、图所示的频率分布直方图(1)根据样本数据，试估计样本中网购金额的平均值；(注：设样本数据第 i 组的频率为 pi，第 i 组区间的中点值为 xi(i1,2,3,4,5) ，则样本数据的平均值为x 1p1x 2p2x 3p3x 4p4x 5p5)(2)若网购金额在(15,25 的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点从这 20 个服务网点中任选 2 个，记 表示选到优秀服务网点的个数，求 的分布列及数学期望19(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，ADC60，SA1，AB2 ，SB，平面 SAB底面 ABCD，直线 SC 与底面 ABCD
8、 所成的角为 30.(1)证明：平面 SAD平面 SAC；、(2)求二面角 BSCD 的余弦值20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C：Error!Error!1(ab0)的右焦点为 F2(2,0)，点 P Error!在椭圆 C上(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)是否存在斜率为1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，使得| F1M|F 1N|(F1 为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)(xa)ln x，g(x)Error!，曲线 yf(x)在点(1 ，f(1) 处的切线与直线2xy30 平行(1)求证
9、：方程 f(x)g( x)在(1,2)内存在唯一的实根；(2)设函数 m(x)min f(x)，g(x)(minp，q 表示 p，q 中的较小者)，求 m(x)的最大值请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程将圆 x2y 21 上每一点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线 .(1)写出 的参数方程；(2)设直线 l：3x 2y 60 与 的交点为 P1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程23(本小题满分
10、 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)|2x a|.(1)若 f(x)b 的解集为 x|1x2，求实数 a、b 的值；(2)若 a2 时，不等式 f(x)mf (x2) 对一切实数 x 均成立，求实数 m 的取值范围数学(理科) 答案1解析：选 A.因为Error!13iError!13i12i13i 2i，所以 z2i，z 的虚部为 1，故选 A.2解析：选 D.由题可知 A x|1x2，B x|0xError!，且图中阴影部分表示的是 B(RA)x|0 x1 ，故选 D.3解析：选 C.根据指数函数的图象与性质知命题 p 是假命题，则綈 p 是真命题；根据单位圆中的三角函数线
11、知命题 q 是真命题，故选 C.4.解析：选 A.每人的得分情况均有 4 种可能，因而总的情况有 44256 种，若他们得分之和为 0，则分四类：4 人全选乙类且两对两错，有 C Error!种可能；4 人中 1 人选甲类对或错，另 3 人选乙类全错或全对，有 2C Error!种可能；4 人中 2 人选甲类一对一错，另 2 人选乙类一对一错，有 CError!22 种可能；4人全选甲类且两对两错，有 C Error!种可能共有 CError!2C Error!CError!22CError!44 种情况，因而所求概率为 PError!Error!，故选 A.5解析：选 D.因为 M 是平行四
12、边形 ABCD 对角线 AC、BD 的交点，所以Error! Error!2Error!，Error!Error!2Error!，所以Error! Error!Error!Error!4Error!，故选D.6.【答案】D【解析】由不等式及 a b1 知 ，又 ，所以 ，正确;由指数函数的图像与性质知正确；由 a b1， 知 ，由对数函数的图像与性质知正确.7 案： B 提示：四棱锥的底面垂直与水平面。8解析：选 A.设等差数列a n的公差为 d，因为 S22a 1d10，S 5Error!(a 1a 5)5(a 12d)55，所以 d4，所以 kPQError!Error!d4，故选 A.9
13、解析：选 B.根据程序框图的要求逐步分析每次循环后的结果，可得不等式组Error!，解得 15x60，故选 B.10.解析：选 D.不等式组Error!变形可得Error!，先作出可行域如图中阴影部分所示，则可行域的面积 SError!(2a2a2) 13，解得 a1，平移直线 y2x ，得 z2x y 在点(2 ，2)处取得最大值 6，故选 D.11解析：选 C.设a n的公差为d，S 1a 1，S 22a 1d2a 1Error!Error!a 1Error!，S 43a 3a 1a 1Error!，因为 S1，S 2，S 4 成等比数列，所以 Error!2Error!a 1，整理得 4
14、aError!12a 150，所以 a1Error!或 a1Error!.当 a1Error!时，公差 d0 不符合题意，舍去；当 a1Error!时，公差 dError!1，所以 anError!( n1) (1)nError!Error! (2n1)，所以Error! Error! Error! ，所以其前 n 项和TnError!Error!Error!，故选 C.12.解析：选 A.抛物线的焦点为 FError!，准线为 xError!，故直线 AB 的方程为 yxError!，设A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，由 2x 23pxError!0，所以 x1x 23p，y 1y
15、 22p，故线段 AB 的中点坐标为Error!，又 AB 的垂直平分线经过点(0,2)，故 AB 垂直平分线的方程为 yx2，故pError! 2，pError! ， xError!是抛物线的准线，作 MCl1 于点 C，MD l2 于点 D，如图所示，由抛物线的定义知|MD| MF|，当 M，C，F 三点共线且点 M 位于 C，F 之间时，距离之和最小，其值是F Error!到 l1： 5x4y40 的距离，由点到直线的距离公式可得其距离 dError!Error!Error!.13解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线 yError!x，即 axby0 的距离为Error!Error!b3
16、，所以a4,2a8. 答案：814解析：因为(12x) 5 的展开式中的常数项为 1，x 的系数为 CError!(2)10；(1 ax) 4 的展开式中的常数项为 1，x 的系数为 CError!a4a，所以(1 2x )5(1ax) 4 的展开式中 x 的系数为 14a1( 10)2，所以 a3.答案：315.【解析】 ，因为 所以 是偶函数。所以 所以 变形为：又 所以 在 单调递增，在 单调递减。所以 等价于 故填16 解析：分别取 BB1，CC 1 的中点 E，F，连接 AE，EF，FD，则 BN 平面 AEFD，设 M 在平面 ABB1A1中的射影为 O，过 MO 与平面 AEFD
17、 平行的平面为 ，所以能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形 AEFD 的周长相等，又矩形 AEFD 的周长为 2，所以所求轨迹的周长为 2.答案：217解：(1)在ABC 中，cos Bcos(AC)由已知，得(1sin 2B)cos( AC)1cos Acos C，sin 2B(cos Acos Csin Asin C)cos Acos C，化简，得 sin2Bsin Asin C由正弦定理，得 b2ac，a ，b，c 成等比数列(2)由(1)及题设条件，得 ac4.则 cos BError!Error!Error!Error!，当且仅当 a c 时，等号成立
18、0B，sin B Error!Error!.SABCError!acsin BError!4Error!.ABC 的面积的最大值为.18解：(1)根据频率分布直方图可知(0.02 0.030.04m0.06)51，解得 m0.05. 所求样本中网购金额的平均值0.055Error!0.045Error!0.065Error!0.025Error!0.035Error!0.25Error!0.2Error! 0.3Error! 0.1Error!0.15Error! 0.6251.53.751.753.37511.(2)这 20 个服务网点中，非优秀服务网点有 200.7515 个，优秀服务网点
19、有 20(0.020.03)55 个， 的可能取值为 0,1,2.P(0) Error!Error!，P(1)Error!Error!，P(2) Error!Error!， 的分布列为 0 1 2P Error! Error! Error!E()0Error!1Error!2Error!Error!Error!.19解：(1)证明：因为 SA1，AB2，SB，SA 2AB 2SB 2，所以 SAB 为直角三角形，且 SAAB，又平面 SAB 底面 ABCD，平面 SAB平面 ABCDAB，所以 SA 底面 ABCD，SAAC ，故SCA 为直线 SC 与底面 ABCD 所成的角，即SCA30
20、，可得 AC，SC2.在 ADC 中，AC，CD2， ADC60 ，所以Error! Error!，即 3Error! ，得 sinDAC1，故DAC 90，所以 ADAC.因为 ADSAA ，所以 AC 平面 SAD.又 AC平面 SAC，所以平面 SAD 平面 SAC.(2)以 A 为原点，AC，AD，AS 所在的直线分别为 x，y ，z 轴建立空间直角坐标系(如图)，故 A(0,0,0)，S(0,0,1)，B( ，1,0)，C(，0,0)，D(0,1,0)，则Error! (，1，1)，Error!( ，0，1)，Error! (0,1，1)，设平面 SBC 的法向量为 n1(x 1，y
21、 1，z 1)，则Error!，即Error! ，令 z1，得 x11，y 10，故 n1(1,0 ，) 为平面 SBC 的一个法向量设平面 SCD 的法向量为 n2( x2，y 2，z 2)，则Error! ，即Error!，故 y2z 2x 2.令 x21，得 n2(1， ，)为平面 SCD 的一个法向量cosn 1，n 2Error!Error!Error!Error! .分析可知二面角 BSCD 为钝角，故其余弦值为Error!.20解：(1)法一： 椭圆 C 的右焦点为 F2(2,0)， c2，椭圆 C 的左焦点为 F1(2,0)由椭圆的定义可得 2aError!Error!Erro
22、r!Error! 2，解得 a，b2a 2c 2642. 椭圆 C 的标准方程为Error!Error! 1.法二： 椭圆 C 的右焦点为 F2(2,0)，c 2，故 a2b 24，又点 P Error!在椭圆 C 上，则Error!Error!1，故Error!Error!1，化简得 3b44b 2200，得b22，a 26， 椭圆 C 的标准方程为Error!Error! 1.(2)假设存在满足条件的直线 l，设直线 l 的方程为 yxt，由Error! 得 x23(xt) 26 0，即 4x26tx(3 t26) 0，( 6t )244(3t 26)9612t 20，解得2t2.设 M(
23、x1，y 1)， N(x2，y 2)，则 x1x 2Error!，x 1x2Error! ，由于|F 1M| F1N|，设线段 MN 的中点为 E，则 F1EMN，故 kF1EError!1，又 F1(2,0)，EError!，即 EError!，kF1EError!1，解得 t4.当 t4 时，不满足2t2， 不存在满足条件的直线 l.21解：(1)由题意知，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 2，所以 f(1)2，又 f(x)ln xError!1，所以 a1.设 h(x)f(x) g(x) (x 1)ln xError!，当 x(0,1时，h(x )0，又 h(2)3ln
24、2Error! ln 8Error!110，所以存在 x0(1,2)，使 h(x0)0.因为 h(x)ln xError!1 Error!，当 x(1,2)时，0x(2x ) (x1) 211，exe，所以 0Error! Error! ，所以Error! Error!，所以 h(x)1Error!0，所以当 x(1,2)时，h(x )单调递增，所以方程 f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的实根(2)由(1)知，方程 f(x)g(x )在(1,2)内存在唯一的实根 x0，且 x(0，x 0)时，f (x)g(x) ，又当 x(x0,2)时， h(x)0，当 x(2，) 时，h(x)0，所以
25、当 x(x0， )时，h(x )0，所以当 x(x0， )时，f(x )g(x)，所以 m(x)Error!当 x(0，x 0)时，若 x(0,1，则 m(x)0；若 x(1，x 0，由 m(x)ln xError! 10，可知 0m(x) m(x 0)，故当 x(0，x 0时， m(x)m(x 0)当 x(x0，)时，由 m(x) Error!可得当 x(x0,2)时，m(x)0，m( x)单调递增；x(2，)时，m(x)0，m(x) 单调递减可知 m(x)m(2)Error! ，且 m(x0)m(2)综上可得，函数 m(x)的最大值为Error!.22解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的
26、点，在已知变换下变为 上的点( x，y)，依题意，得Error!，即Error!.由 xError!yError!1，得 Error!2Error! 21.即曲线 的方程为Error! Error! 1. 故 的参数方程为Error!( t 为参数) (2)由Error!，解得Error!，或Error!.不妨设 P1(2,0)，P 2(0,3)，则线段 P1P2 的中点坐标为Error!，所求直线的斜率 kError! .于是所求直线方程为 yError! Error!( x1)，即 4x6y50.化为极坐标方程，得 4cos 6sin 50.23解：(1) |2xa|b， Error!x Error!，f(x)b 的解集为x |1x2 ，Error!，Error!.(2)由已知，得 mf(x 2)f (x)|2x 2|2x 2|对一切实数 x 均成立，又|2 x2| |2x2|(2 x2) (2x2)|4，m 4.
