1、1第一章 一般多元线性回归模型金融理论从资本资产定价模型(CAPM)发展到套利定价理论(APT)，在数理统计方面就是从应用一元线性回归发展到应用多元线性回归。本章先介绍推导套利定价理论，以实例说明套利过程，引入多元线性回归模型，随之介绍一般多元线性回归模型的参数估计、假设检验等基本原理。然后本章深入讨论多元线性回归模型一些特别情况及解决办法，如自变量选择准则与逐步回归，自变量变换与多项式回归等。本章的凸集间交互投影的迭代算法求线性模型的最小二乘通解，在数学上有一定特色。本书软件与各节算例配套，键入资料即可自动完成回归，使用者不看各节的数学推导也没有关系。资料变换回归特意设了差分变换，软件还能自
2、动显示多元线性回归二维拟合效果图及多元多项式回归的三维立体直观图，给实际工作尽量带来方便。第一节 多因素定价模型(MPM)与套利定价理论(APT)在引言里我们介绍了资本资产定价模型 CAPM，从统计学角度它是属于一元线性回归。它的基本方程有两个。回归方程 0),(,0)( , MiiIMiii rCovErr （0.1.22）假定证券 i 的收益率 ri 与市场组合收益率 rM 之间存在线性关系，据此可以测定系数 i。资本市场线方程(参看图 0.1.2.3)：（0.1.20）)()(FiFi r告诉我们合理的证券投资组合应选在该线上，使得风险相同的情况下能获得较高的收益。CAPM 有两个局限性
3、，一是经济假设条件较多，二是它只考虑了一个自变量。Ross (1976)发展了 CAPM，考虑证券 i 的收益率与几个因素之间的线性关系，建立了多因素定价模型 MPM(Multifactor Pricing Model)，形成了套利定价理论 APT(Arbitrage Pricing Theory)。从统计学角度看，也就是从应用一元线性回归发展到应用多元线性回归。APT 假定证券 i 的收益率 ri 与 k 个因素 Fj, j=1，k 存在线性关系（1.1.1）ikiiii bE1)(这里因素 Fj, j=1,k 的均值为 0，共同作用于各个证券， i 是均值为 0 的白噪声随机扰动项。显见上
4、式是(0.1.20)的推广。APT 的经济假定要求存在公平竞争且无摩擦的资本市场；个人投资倾向的共同偏好在(1.1.1)前提下与 CAPM 相同：相同风险时偏好收益大的，收益大时2偏好风险小的；证券个数 n(i=1,n)比因素个数 k 要大得多；非系统风险项 i 与其它因素及误差都是独立的；在给定时刻被考虑的资产总和是不变的(有人赚，有人赔，赚赔相等) ；如果有价证券的风险为 0，则其收益为 0。套利定价理论 APT 将教给我们如何在上述假定条件下获得超额收益。假定在 i=1,，n个证券间进行买进卖出。某投资者拥有的第 i 个证券的价值数量(单位)改变量为 i( i=0 表示不进不出， i0
5、表示买进证券 i, im。于是回归关系可写为 nmnnn mXXY 210 222 1121（1.2.4）其中 1, 2, n 独立同分布，都满足(1.2.2)。我们要采用矩阵形式来表示(1.2.4)。令 nnmnm n X XY 210102211221 , ,则多元线性回归模型为 Y（1.2.5）其中 n(m+1)矩阵 X 称为回归设计矩阵，一般情况下我们假定 X 列满秩，即 rk (X)=m+1。关于误差的假定与(1.2.2)对应为(1.2.6)nIE2)Var( ,0)(8其中 In 为单位阵。与(1.2.3) 对应为 N(0, 2In) (1.2.7)(1.2.5)与(1.2.6)(
6、或与(1.2.7)合在一起称为多元线性模型。下面求模型参数的最小二乘估计(Least Square Estimate,LSE)。残差平方和 S( )为2101 )( )( imiini XYXS2（1.2.8）最小二乘法则即要求 使),(10m(inS（1.2.9）或记为（1.2.10）i XY因为 S()是 的二次可微函数，极值点处的各偏导数为 0。采用矩阵微商记法 )2( ()( XYS（1.2.11）0X即（1.2.12）Y)(它称为正规方程。若 X 列满秩，则 为非奇异阵，其逆矩阵存在，左乘(1.2.12)两边得 的最小二乘解（1.2.13）X1)(可以验证(1.2.13)确能使 S(
7、 )达最小值。分解 S( )得： )()()()( ) XXY9（1.2.14）)()() XS这是因为中间两个交叉项为 0： 0)()( )()( 1 YXYY（1.2.15）X观察(1.2.14)第二项 为非负定二次型，当且仅当 时它取得最小)()( 值 0，即 S( )当且仅当 对取得最小值 。)(S下面研究 的基本统计性质，我们以定理形式叙述并证明。定理 1.2.1 (Gauss Markov)线性回归模型（1.2.16）nIXY2)Var(0,)E( , 中回归系数 的最小二乘解（1.2.17）Y1)(是 的唯一最小方差线性无偏估计。证明 从 的表达式知 是子样 Y 的线性函数。又
8、)()()() 11YEXXE（1.2.18）故 是 的无偏估计。的协方差阵是 121 )()( ,),( XIXYCovCovnL（1.2.19）2若 T=CY 是 的另一线性无偏估计，由无偏性要求，应有E(T)=E(C Y)=C E(Y)=C X =对一切 成立，即有CX =Im+110而 T 的协方差阵为 T=Cov(T,T)=CCov (Y,Y)C= 2(C C) (1.2.20)因为 11111 )()()( )( XXCXC(1.2.21)0 这里矩阵0 表示非负定矩阵。于是CC(XX) -1 (1.2.22)即有(1.2.23)TX)()(212 由于 T 是任选的一个线性无偏估
9、计，所以最小二乘估计 是 的最小方差线性无偏估计。下证唯一性。设 T = CY 是 的某一个最小方差线性无偏估计，则必有 即T,由(1.1.21)知，C=(XX )-1X，即 T=CY=(XX) -1XY= 。 证毕1)(XC 需要指出的是， 的 LSE 的最小方差性是局限在线性无偏估计类中的，如果考虑 的一切无偏估计类，LSE 就不一定是方差最小者。进一步，如果在 的有偏估计中考虑，LSE就更不见得是方差最小了。下面我们考虑 2 的估计。与一元情况类似，我们应该用残差平方和去构造它。记 YXYXY1)(（1.2.24）In称为剩余向量，或残差向量。记Y（1.2.25）XIPnX1)(则 =P
10、XY。P X 称为投影阵。容易验证投影阵有如下简单性质：（1.2.26）0 , , XXX )(tr)(tr )-tt)(rk111mnnIIIP（1.2.27）m11残差向量 与 LSE 是互不相关的，因为Y（1.2.28）0)( ,Cov),(ov121XPYX残差 的均值向量与协方差阵分别是Y（1.2.29）0)()()1XYE（1.2.30）nXX PIP22,Cov,ov( 记残差平方和（1.2.31）YSXR则 2的无偏估计为（1.2.32）RSmn12这是因为 )tr(1 ),(Covtr)(22XPnYYEE（1.2.33）221mn下面给出最小二乘估计的几何解释 。设矩阵 X
11、 的列向量 Xj=(x1j, x2j，x nj)，j=0,1,m,其中 X0=(1,1,1)。L (X)表示由向量 Xj, j=0,1,m 的全部线性组合所构成的一个线性空间，则(1.1.14)表示要在 L(X)中寻找一个向量 ，使得 X 与 Y 之间jj0的距离 达到最小。从图上可见，只有当 是 Y 在 L(X)中的投影时，(1.1.14)才|Y能得到满足。从图上还可见 与 垂直，即(1.2.28)表示的 与 互不相关。XY 12图 1.2.1.1需要指出的是，本段引入的回归模型含有常数项 0(见(1.2.1)，(1.2.4)，于是设计矩阵 X 有 m+1 列，投影阵的秩为 (1.2.27)
12、， 2 的无偏估计为1mn(1.2.32)。如果回归模型不含常数项，或者就将 X1 理解为常数项而不)1/(2nSR单设常数项，也是可以的。如果 X 有 p 列，则投影阵秩为 n-p， 。下一段)/(2pnSR我们统一采用这个记法。希望读者理解 m+1 与 p 的含意。二、多元线性回归模型的假设检验要对多元线性回归模型作假设检验， 一般需要事先作出误差正态的假设。在误差正态假设(1.2.7)下，上一段关于参数估计的计算算式与定理都成立，而且 的最小二乘估计在 的所有无偏估计类中都具有最小方差 。我们以定理形式给出误差正态假设下参数估计的分布及其推导过程。定理 1.2.2 设有线性模型(1.2.
13、34),0( ,211 nnnpn INXYrkX=p, 的最小二乘解为 的估计为 ,则2,)( )/(pnY(1) ,(12NP(2) )(/)2pX(3) 与 独立2(4) )(/)(/)(/ 222 pnnYSR 证明 因为 N n(0, 2In),故（1.2.35）),(2nnIXN（1）因为 是 Y 的线性函数，今 Y 服从多元正态分布，故 也服从多元正态分布。由 L (X)13(1.2.18)知 ,由(1.219)知 ，故 。1)(PE12)()(VarpX)(,12XNp（2）记 ,则 ,且 正定。分解 为两非奇阵之积，即2)XpN1则 。 为正态分布的线性变换仍为正态分布，且,
14、1T1()(T,TTTEE )(Var)(arVar,0)( ，因此pI1（1.2.36）),0()(pPINC于是（1.2.37）)()()( )()( 1/ 21 22 pCTXX (3)由(1.2.28)知 Cov ,在现在的正态假设下，即有 与 独立。 是 的0,YY2Y可测函数，故 与 独立。2(4) YPSXXR)(0)( )( 因 为Y= XP（1.2.38）这里 N n(0, 2In)。 PX是幂等对称阵，其特征根非 0 即 1，由 rkPX = n-p 知(P X)的特征根有 n-p 个 1，p 个 0，因此存在正交阵 C，CC=I n,且（1.2.39） p-X令 Z=C
15、，则 ZN(0, 2In), ，于是)1,0(NZi 证 毕 )()(1 0 I/ 222p-nZZCPSpnXR 14在定理 1.2.2 的基础上，可以作出回归方程的显着性检验。此时提出的假设为H0 1= 2= p=0如果 H0 被接受，则表明用模型 Y=X + 来描述 Y 与自变量 X1，X m 的关系不恰当。为了建立适当统计量，可进行平方和分解： 2121)()( YYSiniiiniiiT(1.2.40)ESR在误差正态假定下，当 H0 成立时， Y1,，Y n 独立同分布于 N(0， 2)。由于 SRS 与 SES 也是相互独立，且 1(/ ),(/ 2ES2 ppSR 于是建立 F
16、 统计量（1.2.41）),()/(1nFnFRSE对给定显着性水平 ，查得临界值 F (p-1,n-p)，当 FF (p-1,n-p)时，拒绝 H0，即否认了 Y与 X1，X p 完全不存在任何线性关系的说法。以上是关于各个回归系数的一揽子检验方法。如果分析细致一些，考察某个自变量 Xj 对Y 的作用显着不显着，可以作假设H0 j=0进行检验。定理 1.2.2 指出 与 相互独立，且 。设 的第 j 个分量为2)(,12XNp, 的第 j 个分量为 j，(X X)-1 的对角线上第 j 个元素为 Cjj ,则 j ,(jjE。于是有2)(jjCD )1(/()( ,022jjjjjj N又知
17、 SRS/ 2 2(n-p)，故得分布（1.2.42）),()/(2pnFpnSCFRjjj )()/(ttRSjjj（1.2.43）在假设 H0 成立时， j=0，于是得统计量15（1.2.44）)/(2pnSCFRjj及（1.2.45）)/(tRSjj可用来作假设检验，判定 Xj 对 Y 的影响是否显着。对于判定对 Y 无显着性影响的 Xj，原则上可以剔除。但是这方面可能产生很复杂的情况，我们留待下节仔细讨论。上面介绍了对回归系数整体检验与个别检验。有时我们需要对部分参数的线性组合作检验。比如设想模型为Y= 0+ 1X1+ 2X2+但某种专业知识使人觉得变量组合 X1-X2 对 Y 影响更
18、大，考虑将模型修改为Y= 0+ 3(X1-X2)+要如此修改就需要先作假设 H0 1+ 2=0 并检验之。一般地，设模型为Y=X +, N(0, 2In) （1.2.46）考虑 k 个线性假设（1.2.47）0:21221210 pkkk pCCH 写成矩阵形式为H0C =0 （1.2.48）其中 C 为 kp 矩阵，rk( C)=k，即矩阵 C 行满秩。显然这个一般性的线性假设包含了前面述及的特殊情况。我们来构造统计量检验它。已经知道 ，残差平方和YX1)()(XYSR（1.2.49）有 n-p 个自由度。解齐次线性方程组 C =0，求出 k 个参数关于其余 p-k 个参数的表达式，代入原模
19、型就得到一个简化的模型（1.2.50）11nqnZY此时待估参数 只含有 q=p-k 个分量。对于新模型可求得 的 LSE 为1)(（1.2.51）16对应残差平方和为（1.2.52）YZSRZ它有 n-q 个自由度。考虑（1.2.53）XRSZ)(它有(n-q)- (n-p)=p-q=k 个自由度。可以证明它也是一个服从 分布的随机变量，且与 SRSX 独2立，于是当 H0C =0 成立时得统计量（1.2.54）)/(pnSkFRXSZ它服从 F(k， n-p)分布，可以用来检验原假设。具体 Y=Z + 的表达式我们放在下节讨论。在一元线性回归的显着性检验中有一个相关系数检验，统计量是 rX
20、Y(0.2.32)，到(0.2.36)我们推导出 R2 统计量，它与 有完全相同的形式。R 2 统计量可以推广到多元。事实上，由2XYr正规方程 ，我们有X（1.2.55）YX )(于是 ，进一步由 ，有niiniY112YI（1.2.56）211 )()(Yiniiiini 于是雷同于(0.2.36)有（1.2.57）YrYYRiniiniiiiiiniii )()()( 2121212 我们看到了 R2 的几何意义，它是资料 Yi (i=1,， n)与 Yi 的估计值 之间的相关),1ni系数的平方。当回归效果特别好时，R 2 应该近似于 1，即表示拟合值 几乎与观测值 Yi 重合。i当回
21、归效果特别不好时，R 2 近似为 0，表示拟合值 与观测值 Yi 完全不相关。可见 R2 是回i归效果一个很好的度量。一般称 R 为复相关系数，或全相关系数。17本书所附软件利用拟合值与观测值在二维图像上显示回归效果，计算统计量 R2 供使用者参考，方便使用者对多元回归效果的直观观察。三、多元线性回归预测与参数的区间估计在通过了线性回归的显著性检验后，可以利用回归方程作预测。点预测只须将 X0 = (X01，X 0p) 代入回归方程算出 即可。0XY要作出 的区间估计，需要求得它的分布。在误差正态假设下，由定理 1.2.2 的(1)，因Y为 ，故)(,12NP（1.2.58）)(,( 0102
22、00 XXN则当 2 未知时，以 替代，有)/(2pnSR)()(010pntXY（1.2.59）故 的区间估计(显著性水平 )为：0Y 0102/10 )()( Xpnta （1.2.60）当 2 已知时，直接由定理 1.2.2 的(1)可以作出 的区间估计。因为)1,0(/)()(2NX（1.2.61）故 的联合置信域(显著性水平 )为： 2/)( aU（1.2.62）这是一个椭球。当 2 未知时，可以由定理 1.2.2 的(2)与(4)构造一个新的统计量： )(/)(/22pnpnXF18),()()(2pnFpX（1.2.63）于是得椭球置信域(显著性水平 )：),()(2pnX（1.
23、2.64）对于给定的椭球，可以解出各参数分量的置信区间。当维数太多时，注意 0.9p0(p) 成了小概率事件，这样的置信域意义不大。现在对一般多元线性回归模型的参数估计与假设检验结果总结如下模型： ;,1),0( ,210 niNXYimiii 或 。1p)IN(, ,n21 pnX参数估计： ,)(1Y。)(2 YpnSR显著性检验：回归方程整体显著性检验：H 0 1= = m=0：F 统计量： ，临界值 F (p-1,n-p)；)(/pnSRE回归平方和： ;YE残差平方和： 。)(RS回归系数逐一显著性检验： H0 j=0， j=1,，m ；F 统计量： ，临界值 F (1, n-p)，
24、)/(2pnCRSjjjCjj 是矩阵 (X X)-1 主对角在线第 j 个元素。t 统计量： ，临界值 。)/(tRSjj)(2pnt全相关系数 R： 。2YSEr19四、会计信息在股市中作用的回归分析上海财经大学博士生谷澍在导师指导下运用 CAPM 与 APT 研究公司会计信息在上海股市中的作用，获得很有价值的成果。他发现，除系统风险 Rf 与股票市场组合收益率 Rm 外，其余变量与公司会计信息密切相关。公司的会计资料可以提供有关净现金流量 Cit 的信息。例如在某个时段，设企业的会计利润为 Ait,投资为 Iit,折旧为唯一的会计应计项目且其数额为Oit，则有 ititititOC（1.
25、2.65）一般地，企业为维持再生产所进行的追加投资 Iit 与折旧额 Oit 基本相等，故进一步有 Cit=Ait。可见，会计指标如每股盈利等直接反映了企业现金净流量 Cit 的状况，从而在股票价格的确定中起着重要作用。在股票的市场风险值 的计算中，会计数据同样扮演着重要角色。Ramada(1969)对资本结构与 系数之间的关系进行了实证分析并得出结论：较高的负债比率会导致较高的市场风险。Relicher 与 Rush(1974)则发现公司的盈余状况与财务杠杆对 系数有显著影响。Bildersee(1975)以逐步回归的方法，选出了对 系数具有重要解释能力的会计变量依次是负债比率、优先股权比率
26、、流动比率、财务杠杆的标准差、销货与普通股权益之比。所以在一个完善的资本市场中，股价与会计信息间肯定存在着一定的函数关系，这种函数关系的存在反映了会计信息在股市中的重要地位与作用。设会计信息为 Xi,i=1,，n;非会计信息 (如宏观经济政策，股市人气状况等)为 ，jXj=1,，m,则某一时点股价 Y 可表为 ),(11nmXf（1.2.66）由于在同一时点，非会计信息对各种股票的影响基本一致，故相对于各股票而言在同一时点可将非会计信息的作用表为常量 C0。于是（1.2.67）),(10nfYOhlson(1989)曾推断在一定条件下，股价 P 与会计信息间存在线性关系，这样我们引进了多元线性
27、回归： nXC10（1.2.68）具体列出各项会计指标，一般主要有：X1：每股税后利润(元 / 股) ；X2：每股净资产值(元 / 股) = 股本权益 / 股本数额；X3：速动比率 = 速动资产 / 流动负债；20X4：应收帐款周转率 = 主营业务收入 / 应收款平均余额；X5：销售利润率 = 主营业务销售利润 / 主营业务收入；X6：资本利润率 = 税后利润 / 股东权益；X7：流动比率 = 流动资产 / 流动负债；X8：存货周转率=营业成本/存货平均余额。采集数据代入多元线性回归模型中，就可以估计出参数，并作出检验分析。他通过回归分析的结论是，会计信息对上海股价有明显影响，影响最大的是每股
28、税后利润，其次是每股净资产值，再次是速动比率。他还具体计算出，按采集数据的当时情况，每股税后利润每提高0.1 元，股价平均上升 3.95 元；每股净资产每增加 1 元，股价平均上升 3.375 元；速动比率每提高 1 个单位，股价平均上升 0.85 元。他的研究对优选个股有重要的参考价值。算例 1.2.4 多元线性回归统计量检验与回归效果图像显示下面我们给出具体数字例子，并演示软件使用方法。假如我们选取三个自变量，连同因变量 Y 共采集 18 组资料。首先按软件提示将数据键入，形成一个数据文件。然后在菜单上选多元线性回归，以下的提示与计算结果就打印出来。-一般多元线性回归模型计算程序, 例 1
29、.2.4 例 01241.D 中，n=18, m=3第一列为 Y, 以后各列为 X 要显示原始数据吗? 0=不显示, 1=显示 （1：显示）9.1000 3.1000 2.4000 3.200011.2000 3.6000 4.3000 3.400013.3000 4.7000 3.9000 4.300017.7000 6.4000 5.5000 5.700013.7000 5.7000 4.3000 3.300011.1000 4.2000 3.1000 2.700013.7000 4.9000 4.5000 3.400013.6000 3.4000 4.7000 5.700015.9000
30、 5.5000 5.1000 4.200017.8000 6.9000 5.9000 3.900017.4000 5.3000 5.4000 5.600013.2000 3.7000 4.6000 5.100011.5000 4.2000 2.9000 3.700012.9000 4.7000 3.5000 4.200012.3000 2.6000 5.6000 4.200013.1000 4.4000 4.5000 4.600015.9000 4.9000 4.8000 4.700011.7000 3.6000 5.7000 2.9000现在作线性回归显著性检验, 计算 t,F,R 统计量请
31、输入显著性水平 a, 通常取 a=0.01, 0.05, 0.10, a=? （0.05）21-线 性 回 归 分 析 计 算 结 果 样本总数 18 自变量个数 3-回归方程 Y = b0+b1*X1+.+b 3*X 3Y= -0.0627 + 1.3427 X1 + 0.8217 X2 + 0.9369 X3 回归系数 b0, b1, b2, ., b 3-.0627 1.3427 .8217 .9369-残差平方和: 3.8878 回归平方和: 98.5583误差方差的估计 : .2160 标准差 = .4647-线 性 回 归 显 着 性 检 验 显著性水平 : .050-回归方程整体
32、显著性 F 检验, H0:b0=b1=.=b3=0F 统计量: 118.3031 F 临界值 F(3, 14) 3.3439全相关系数 R : .9808-回归系数逐一显著性 t 检验, H0:bi=0, i=1,., 3t 临界值 t( 14) 1.7613回归系数 b1-b 3 的 t 值: 2.2266 1.1233 1.2465-要作回归预测吗? 键入 0=不预测, 1=要预测 （0：不预测）要打印拟合数据吗? 0=不打印, 1=打印 (1:打印)Y 的观测值 Y 的拟合值 差值9.1000 9.0700 .030011.2000 11.4900 -.290013.3000 13.48
33、15 -.181517.7000 18.3906 -.690613.7000 14.2160 -.516011.1000 10.6537 .446313.7000 13.3999 .300113.6000 13.7051 -.105115.9000 15.4481 .451917.8000 17.7042 .095817.4000 16.7377 .662313.2000 13.4636 -.263611.5000 11.4263 .073712.9000 13.0591 -.15922212.3000 11.9651 .334913.1000 13.8528 -.752815.9000 14
34、.8644 1.035611.7000 12.1720 -.4720计算结束。 -下面显示拟合图像。圖 1.2.4.1051015201 3 5 7 9 11 13 15 17原 始 数 据拟 合 数 据使用者在键入样本组数 18 与自变量列数 3 以后，软件先将读入的数据显示一下，让使用者核对一遍。本例估计出的回归方程是Y=0.0627+1.3427X 1+0.8217X2+0.9369X3本例的回归方程整体显著性 F 检验非常显著，因为 F 统计量的值 118.3 远大于临界值F(3，14)=5.56。但是对回归系数逐一作显著性检验，竟然没有一个显著，t 统计量的值2.23，11.2，1.
35、25 都小于临界值 t(14)=2.62。这将给使用者带来困惑。幸好我们接下来打印出 Y 的观测值与 Y 的拟合值，对比两列数我们是满意的。进一步，软件将这两列数在直角坐标上显示出来，横坐标就取资料序号 1，2，3，18(见图 1.2.4.1)。看到这个图像我们太满意了，三个大波两个小波，18 组资料拟合得如此一致。在解释本例回归系数逐一显著性检验无一通过的困惑之前，我们再看另一例数据。它是用本软件的回归数据发生器发生的。-例 124.D 数据文件中, n=20, M=4要显示原始数据吗? 0=不显示, 1=显示 （1：显示）1.4718 .1791 .9395 .4140 .53043.08
36、02 .9320 .7865 .5004 .5535233.2545 .9672 .1708 .8882 .20871.2678 .2524 .5758 .1531 .55143.2189 .9469 .1601 .2216 .35082.6303 .4730 .4441 .4437 .07853.0680 .8122 .3117 .4320 .16794.5657 .2464 .9695 .7504 .28173.8557 .8381 .5381 .3728 .81453.1971 .0385 .8976 .9367 .38582.9597 .8537 .8872 .6628 .13683.
37、7466 .9404 .6911 .8190 .54333.9625 .6786 .2789 .7610 .24634.0426 .8135 .1896 .4804 .84163.3766 .4117 .8326 .4494 .27232.0574 .0563 .5039 .2411 .35703.6024 .7591 .7358 .1601 .5750.1193 .0711 .5870 .2495 .0811-.2393 .3995 .1589 .1268 .74053.5118 .1603 .6663 .7352 .8215现在作线性回归显著性检验, 计算 t,F,R 统计量请输入显著性水
38、平 a, 通常取 a=0.01, 0.05, 0.10, a=? （0.05）-线 性 回 归 分 析 计 算 结 果 样本总数 20 自变量个数 4-回归方程 Y = b0+b1*X1+.+b4*X 4Y= -.1693 + 1.7676 X1 + 0.9144 X2 + 2.4954 X3 + 0.7246X4 回归系数 b0, b1, b2, ., b4-.1693 1.7676 .9144 2.4954 .7246-残差平方和: 14.1864 回归平方和: 17.1232误差方差的估计 : .7093 标准差 = .8422-线 性 回 归 显 着 性 检 验 显著性水平 : .05
39、0-回归方程整体显著性 F 检验, H0:b0=b1=.=b4=0F 统计量: 4.5263 F 临界值 F(4, 15) 3.0556全相关系数 R : .7395-回归系数逐一显著性 t 检验, H0:bi=0, i=1,., 4t 临界值 t( 15) 1.753124回归系数 b1-b 4 的 t 值: 2.2369 .9180 2.4490 .7252-要作回归预测吗? 键入 0=不预测, 1=要预测 (1:不预测)要打印拟合数据吗? 0=不打印, 1=打印 （1: 打印）Y 的观测值 Y 的拟合值 差值1.4718 2.4237 -.95193.0802 3.8470 -.7668
40、3.2545 4.0641 -.80961.2678 1.5849 -.31713.2189 2.4580 .76092.6303 2.2369 .39343.0680 2.7510 .31704.5657 3.2294 1.33633.8557 3.3246 .53113.1971 3.3365 -.13942.9597 3.9040 -.94433.7466 4.5623 -.81573.9625 3.3627 .59984.0426 3.2506 .79203.3766 2.6385 .73812.0574 1.2513 .80613.6024 2.6614 .9410.1193 1.1744 -1.0551-.2393 1.5351 -1.77443.5118 3.1531 .3587计算结束。-
