1、1第一章 一般多元线性回归模型金融理论从资本资产定价模型(CAPM)发展到套利定价理论(APT)，在数理统计方面就是从应用一元线性回归发展到应用多元线性回归。本章先介绍推导套利定价理论，以实例说明套利过程，引入多元线性回归模型，随之介绍一般多元线性回归模型的参数估计、假设检验等基本原理。然后本章深入讨论多元线性回归模型一些特别情况及解决办法，如自变量选择准则与逐步回归，自变量变换与多项式回归等。本章的凸集间交互投影的迭代算法求线性模型的最小二乘通解，在数学上有一定特色。本书软件与各节算例配套，键入资料即可自动完成回归，使用者不看各节的数学推导也没有关系。资料变换回归特意设了差分变换，软件还能自
2、动显示多元线性回归二维拟合效果图及多元多项式回归的三维立体直观图，给实际工作尽量带来方便。第一节 多因素定价模型(MPM)与套利定价理论(APT)在引言里我们介绍了资本资产定价模型 CAPM，从统计学角度它是属于一元线性回归。它的基本方程有两个。回归方程 0),(,0)( , MiiIMiii rCovErr （0.1.22）假定证券 i 的收益率 ri 与市场组合收益率 rM 之间存在线性关系，据此可以测定系数 i。资本市场线方程(参看图 0.1.2.3)：（0.1.20）)()(FiFi r告诉我们合理的证券投资组合应选在该线上，使得风险相同的情况下能获得较高的收益。CAPM 有两个局限性
3、，一是经济假设条件较多，二是它只考虑了一个自变量。Ross (1976)发展了 CAPM，考虑证券 i 的收益率与几个因素之间的线性关系，建立了多因素定价模型 MPM(Multifactor Pricing Model)，形成了套利定价理论 APT(Arbitrage Pricing Theory)。从统计学角度看，也就是从应用一元线性回归发展到应用多元线性回归。APT 假定证券 i 的收益率 ri 与 k 个因素 Fj, j=1，k 存在线性关系（1.1.1）ikiiii bE1)(这里因素 Fj, j=1,k 的均值为 0，共同作用于各个证券， i 是均值为 0 的白噪声随机扰动项。显见上
4、式是(0.1.20)的推广。APT 的经济假定要求存在公平竞争且无摩擦的资本市场；个人投资倾向的共同偏好在(1.1.1)前提下与 CAPM 相同：相同风险时偏好收益大的，收益大时2偏好风险小的；证券个数 n(i=1,n)比因素个数 k 要大得多；非系统风险项 i 与其它因素及误差都是独立的；在给定时刻被考虑的资产总和是不变的(有人赚，有人赔，赚赔相等) ；如果有价证券的风险为 0，则其收益为 0。套利定价理论 APT 将教给我们如何在上述假定条件下获得超额收益。假定在 i=1,，n个证券间进行买进卖出。某投资者拥有的第 i 个证券的价值数量(单位元)改变量为 i( i=0表示不进不出， i0
5、表示买进证券 i, im。于是回归关系可写为 nmnnn mXXY 210 222 1121（1.2.4）其中 1, 2, n 独立同分布，都满足(1.2.2)。我们要采用矩阵形式来表示(1.2.4)。令 nnmnm n X XY 210102211221 , ,则多元线性回归模型为 Y（1.2.5）其中 n(m+1)矩阵 X 称为回归设计矩阵，一般情况下我们假定 X 列满秩，即 rk (X)=m+1。关于误差的假定与(1.2.2)对应为(1.2.6)nIE2)Var( ,0)(8其中 In 为单位阵。与(1.2.3) 对应为 N(0, 2In) (1.2.7)(1.2.5)与(1.2.6)(
6、或与(1.2.7)合在一起称为多元线性模型。下面求模型参数的最小二乘估计(Least Square Estimate,LSE)。残差平方和 S( )为2101 )( )( imiini XYXS2（1.2.8）最小二乘法则即要求 使),(10m(inS（1.2.9）或记为（1.2.10）i XY因为 S()是 的二次可微函数，极值点处的各偏导数为 0。采用矩阵微商记法 )2( ()( XYS（1.2.11）0X即（1.2.12）Y)(它称为正规方程。若 X 列满秩，则 为非奇异阵，其逆矩阵存在，左乘(1.2.12)两边得 的最小二乘解（1.2.13）X1)(可以验证(1.2.13)确能使 S(
7、 )达最小值。分解 S( )得： )()()()( ) XXY9（1.2.14）)()() XS这是因为中间两个交叉项为 0： 0)()( )()( 1 YXYY（1.2.15）X观察(1.2.14)第二项 为非负定二次型，当且仅当 时它取得最小)()( 值 0，即 S( )当且仅当 对取得最小值 。)(S下面研究 的基本统计性质，我们以定理形式叙述并证明。定理 1.2.1 (Gauss Markov)线性回归模型（1.2.16）nIXY2)Var(0,)E( , 中回归系数 的最小二乘解（1.2.17）Y1)(是 的唯一最小方差线性无偏估计。证明 从 的表达式知 是子样 Y 的线性函数。又
8、)()()() 11YEXXE（1.2.18）故 是 的无偏估计。的协方差阵是 121 )()( ,),( XIXYCovCovnL（1.2.19）2若 T=CY 是 的另一线性无偏估计，由无偏性要求，应有E(T)=E(C Y)=C E(Y)=C X =对一切 成立，即有CX =Im+110而 T 的协方差阵为 T=Cov(T,T)=CCov (Y,Y)C= 2(C C) (1.2.20)因为 11111 )()()( )( XXCXC(1.2.21)0 这里矩阵0 表示非负定矩阵。于是CC(XX) -1 (1.2.22)即有(1.2.23)TX)()(212 由于 T 是任选的一个线性无偏估
9、计，所以最小二乘估计 是 的最小方差线性无偏估计。下证唯一性。设 T = CY 是 的某一个最小方差线性无偏估计，则必有 即T,由(1.1.21)知，C=(XX )-1X，即 T=CY=(XX) -1XY= 。 证毕1)(XC 需要指出的是， 的 LSE 的最小方差性是局限在线性无偏估计类中的，如果考虑 的一切无偏估计类，LSE 就不一定是方差最小者。进一步，如果在 的有偏估计中考虑，LSE就更不见得是方差最小了。下面我们考虑 2 的估计。与一元情况类似，我们应该用残差平方和去构造它。记 YXYXY1)(（1.2.24）In称为剩余向量，或残差向量。记Y（1.2.25）XIPnX1)(则 =P
10、XY。P X 称为投影阵。容易验证投影阵有如下简单性质：（1.2.26）0 , , XXX )(tr)(tr )-tt)(rk111mnnIIIP（1.2.27）m11残差向量 与 LSE 是互不相关的，因为Y（1.2.28）0)( ,Cov),(ov121XPYX残差 的均值向量与协方差阵分别是Y（1.2.29）0)()()1XYE（1.2.30）nXX PIP22,Cov,ov( 记残差平方和（1.2.31）YSXR则 2的无偏估计为（1.2.32）RSmn12这是因为 )tr(1 ),(Covtr)(22XPnYYEE（1.2.33）221mn下面给出最小二乘估计的几何解释 。设矩阵 X
11、 的列向量 Xj=(x1j, x2j，x nj)，j=0,1,m,其中 X0=(1,1,1)。L (X)表示由向量 Xj, j=0,1,m 的全部线性组合所构成的一个线性空间，则(1.1.14)表示要在 L(X)中寻找一个向量 ，使得 X 与 Y 之间jj0的距离 达到最小。从图上可见，只有当 是 Y 在 L(X)中的投影时，(1.1.14)才|Y能得到满足。从图上还可见 与 垂直，即(1.2.28)表示的 与 互不相关。XY 12图 1.2.1.1需要指出的是，本段引入的回归模型含有常数项 0(见(1.2.1)，(1.2.4)，于是设计矩阵 X 有 m+1 列，投影阵的秩为 (1.2.27)
12、， 2 的无偏估计为1mn(1.2.32)。如果回归模型不含常数项，或者就将 X1 理解为常数项而不)1/(2nSR单设常数项，也是可以的。如果 X 有 p 列，则投影阵秩为 n-p， 。下一段)/(2pnSR我们统一采用这个记法。希望读者理解 m+1 与 p 的含意。二、多元线性回归模型的假设检验要对多元线性回归模型作假设检验， 一般需要事先作出误差正态的假设。在误差正态假设(1.2.7)下，上一段关于参数估计的计算算式与定理都成立，而且 的最小二乘估计在 的所有无偏估计类中都具有最小方差 。我们以定理形式给出误差正态假设下参数估计的分布及其推导过程。定理 1.2.2 设有线性模型(1.2.
13、34),0( ,211 nnnpn INXYrkX=p, 的最小二乘解为 的估计为 ,则2,)( )/(pnY(1) ,(12NP(2) )(/)2pX(3) 与 独立2(4) )(/)(/)(/ 222 pnnYSR 证明 因为 N n(0, 2In),故（1.2.35）),(2nnIXN（1）因为 是 Y 的线性函数，今 Y 服从多元正态分布，故 也服从多元正态分布。由 L (X)13(1.2.18)知 ,由(1.219)知 ，故 。1)(PE12)()(VarpX)(,12XNp（2）记 ,则 ,且 正定。分解 为两非奇阵之积，即2)XpN1则 。 为正态分布的线性变换仍为正态分布，且,
14、1T1()(T,TTTEE )(Var)(arVar,0)( ，因此pI1（1.2.36）),0()(pPINC于是（1.2.37）)()()( )()( 1/ 21 22 pCTXX (3)由(1.2.28)知 Cov ,在现在的正态假设下，即有 与 独立。 是 的0,YY2Y可测函数，故 与 独立。2(4) YPSXXR)(0)( )( 因 为Y= XP（1.2.38）这里 N n(0, 2In)。 PX是幂等对称阵，其特征根非 0 即 1，由 rkPX = n-p 知(P X)的特征根有 n-p 个 1，p 个 0，因此存在正交阵 C，CC=I n,且（1.2.39） p-X令 Z=C
15、，则 ZN(0, 2In), ，于是)1,0(NZi 证 毕 )()(1 0 I/ 222p-nZZCPSpnXR 14在定理 1.2.2 的基础上，可以作出回归方程的显著性检验。此时提出的假设为H0 1= 2= p=0如果 H0 被接受，则表明用模型 Y=X + 来描述 Y 与自变量 X1，X m 的关系不恰当。为了建立适当统计量，可进行平方和分解： 2121)()( YYSiniiiniiiT(1.2.40)ESR在误差正态假定下，当 H0 成立时， Y1,，Y n 独立同分布于 N(0， 2)。由于 SRS 与 SES 也是相互独立，且 1(/ ),(/ 2ES2 ppSR 于是建立 F
16、 统计量（1.2.41）),()/(1nFnFRSE对给定显著性水平 ，查得临界值 F (p-1,n-p)，当 FF (p-1,n-p)时，拒绝 H0，即否认了 Y与 X1，X p 完全不存在任何线性关系的说法。以上是关于各个回归系数的一揽子检验方法。如果分析细致一些，考察某个自变量 Xj 对Y 的作用显著不显著，可以作假设H0 j=0进行检验。定理 1.2.2 指出 与 相互独立，且 。设 的第 j 个分量为2)(,12XNp, 的第 j 个分量为 j，(X X)-1 的对角线上第 j 个元素为 Cjj ,则 j ,(jjE。于是有2)(jjCD )1(/()( ,022jjjjjj N又知
17、 SRS/ 2 2(n-p)，故得分布（1.2.42）),()/(2pnFpnSCFRjjj )()/(ttRSjjj（1.2.43）在假设 H0 成立时， j=0，于是得统计量15（1.2.44）)/(2pnSCFRjj及（1.2.45）)/(tRSjj可用来作假设检验，判定 Xj 对 Y 的影响是否显著。对于判定对 Y 无显著性影响的 Xj，原则上可以剔除。但是这方面可能产生很复杂的情况，我们留待下节仔细讨论。上面介绍了对回归系数整体检验与个别检验。有时我们需要对部分参数的线性组合作检验。比如设想模型为Y= 0+ 1X1+ 2X2+但某种专业知识使人觉得变量组合 X1-X2 对 Y 影响更
18、大，考虑将模型修改为Y= 0+ 3(X1-X2)+要如此修改就需要先作假设 H0 1+ 2=0 并检验之。一般地，设模型为Y=X +, N(0, 2In) （1.2.46）考虑 k 个线性假设（1.2.47）0:21221210 pkkk pCCH 写成矩阵形式为H0C =0 （1.2.48）其中 C 为 kp 矩阵，rk( C)=k，即矩阵 C 行满秩。显然这个一般性的线性假设包含了前面述及的特殊情况。我们来构造统计量检验它。已经知道 ，残差平方和YX1)()(XYSR（1.2.49）有 n-p 个自由度。解齐次线性方程组 C =0，求出 k 个参数关于其余 p-k 个参数的表达式，代入原模
19、型就得到一个简化的模型（1.2.50）11nqnZY此时待估参数 只含有 q=p-k 个分量。对于新模型可求得 的 LSE 为1)(（1.2.51）16对应残差平方和为（1.2.52）YZSRZ它有 n-q 个自由度。考虑（1.2.53）XRSZ)(它有(n-q)- (n-p)=p-q=k 个自由度。可以证明它也是一个服从 分布的随机变量，且与 SRSX 独2立，于是当 H0C =0 成立时得统计量（1.2.54）)/(pnSkFRXSZ它服从 F(k， n-p)分布，可以用来检验原假设。具体 Y=Z + 的表达式我们放在下节讨论。在一元线性回归的显著性检验中有一个相关系数检验，统计量是 rX
20、Y(0.2.32)，到(0.2.36)我们推导出 R2 统计量，它与 有完全相同的形式。R 2 统计量可以推广到多元。事实上，由2XYr正规方程 ，我们有X（1.2.55）YX )(于是 ，进一步由 ，有niiniY112YI（1.2.56）211 )()(Yiniiiini 于是雷同于(0.2.36)有（1.2.57）YrYYRiniiniiiiiiniii )()()( 2121212 我们看到了 R2 的几何意义，它是资料 Yi (i=1,， n)与 Yi 的估计值 之间的相关),1ni系数的平方。当回归效果特别好时，R 2 应该近似于 1，即表示拟合值 几乎与观测值 Yi 重合。i当回
21、归效果特别不好时，R 2 近似为 0，表示拟合值 与观测值 Yi 完全不相关。可见 R2 是回i归效果一个很好的度量。一般称 R 为复相关系数，或全相关系数。17本书所附软件利用拟合值与观测值在二维图像上显示回归效果，计算统计量 R2 供使用者参考，方便使用者对多元回归效果的直观观察。三、多元線性回歸預測與參數的區間估計在通過了線性回歸的顯著性檢驗後，可以利用回歸方程作預測。點預測只須將 X0 = (X01，X 0p) 代入回歸方程算出 即可。0XY要作出 的區間估計，需要求得它的分佈。在誤差正態假設下，由定理 1.2.2 的(1)，因Y爲 ，故)(,12NP（1.2.58）)(,( 0102
22、00 XXN則當 2 未知時，以 替代，有)/(2pnSR)()(010pntXY（1.2.59）故 的區間估計(顯著性水平 )爲：0Y 0102/10 )()( Xpnta （1.2.60）當 2 已知時，直接由定理 1.2.2 的(1)可以作出 的區間估計。因爲)1,0(/)()(2NX（1.2.61）故 的聯合置信域(顯著性水平 )爲： 2/)( aU（1.2.62）這是一個橢球。當 2 未知時，可以由定理 1.2.2 的(2)與(4)構造一個新的統計量： )(/)(/22pnpnXF18),()()(2pnFpX（1.2.63）於是得橢球置信域(顯著性水平 )：),()(2pnX（1.
23、2.64）對於給定的橢球，可以解出各參數分量的置信區間。當維數太多時，注意 0.9p0(p) 成了小概率事件，這樣的置信域意義不大。現在對一般多元線性回歸模型的參數估計與假設檢驗結果總結如下模型： ;,1),0( ,210 niNXYimiii 或 。1p)IN(, ,n21 pnX參數估計： ,)(1Y。)(2 YpnSR顯著性檢驗：回歸方程整體顯著性檢驗：H 0 1= = m=0：F 統計量： ，臨界值 F (p-1,n-p)；)(/pnSRE回歸平方和： ;YE殘差平方和： 。)(RS回歸係數逐一顯著性檢驗： H0 j=0， j=1,，m ；F 統計量： ，臨界值 F (1, n-p)，
24、)/(2pnCRSjjjCjj 是矩陣 (X X)-1 主對角線上第 j 個元素。t 統計量： ，臨界值 。)/(tRSjj)(2pnt全相關係數 R： 。2YSEr19四、會計資訊在股市中作用的回歸分析上海財經大學博士生谷澍在導師指導下運用 CAPM 與 APT 研究公司會計資訊在上海股市中的作用，獲得很有價值的成果。他發現，除系統風險 Rf 與股票市場組合收益率 Rm 外，其餘變數與公司會計資訊密切相關。公司的會計資料可以提供有關淨現金流量 Cit 的資訊。例如在某個時段，設企業的會計利潤爲 Ait,投資爲 Iit,折舊爲唯一的會計應計專案且其數額爲Oit，則有 ititititOC（1.
25、2.65）一般地，企業爲維持再生産所進行的追加投資 Iit 與折舊額 Oit 基本相等，故進一步有 Cit=Ait。可見，會計指標如每股盈利等直接反映了企業現金淨流量 Cit 的狀況，從而在股票價格的確定中起著重要作用。在股票的市場風險值 的計算中，會計資料同樣扮演著重要角色。Ramada(1969)對資本結構與 係數之間的關係進行了實證分析並得出結論：較高的負債比率會導致較高的市場風險。Relicher 與 Rush(1974)則發現公司的盈餘狀況與財務杠杆對 係數有顯著影響。Bildersee(1975)以逐步回歸的方法，選出了對 係數具有重要解釋能力的會計變數依次是負債比率、優先股權比率
26、、流動比率、財務杠杆的標準差、銷貨與普通股權益之比。所以在一個完善的資本市場中，股價與會計資訊間肯定存在著一定的函數關係，這種函數關係的存在反映了會計資訊在股市中的重要地位與作用。設會計資訊爲 Xi,i=1,，n;非會計資訊 (如宏觀經濟政策，股市人氣狀況等)爲 ，jXj=1,，m,則某一時點股價 Y 可表爲 ),(11nmXf（1.2.66）由於在同一時點，非會計資訊對各種股票的影響基本一致，故相對於各股票而言在同一時點可將非會計資訊的作用表爲常量 C0。於是（1.2.67）),(10nfYOhlson(1989)曾推斷在一定條件下，股價 P 與會計資訊間存在線性關係，這樣我們引進了多元線性
27、回歸： nXC10（1.2.68）具體列出各項會計指標，一般主要有：X1：每股稅後利潤(元 / 股) ；X2：每股淨資産值(元 / 股) = 股本權益 / 股本數額；X3：速動比率 = 速動資産 / 流動負債；20X4：應收帳款周轉率 = 主營業務收入 / 應收款平均餘額；X5：銷售利潤率 = 主營業務銷售利潤 / 主營業務收入；X6：資本利潤率 = 稅後利潤 / 股東權益；X7：流動比率 = 流動資産 / 流動負債；X8：存貨周轉率=營業成本/存貨平均餘額。採集資料代入多元線性回歸模型中，就可以估計出參數，並作出檢驗分析。他通過回歸分析的結論是，會計資訊對上海股價有明顯影響，影響最大的是每股
28、稅後利潤，其次是每股淨資産值，再次是速動比率。他還具體計算出，按採集資料的當時情況，每股稅後利潤每提高0.1 元，股價平均上升 3.95 元；每股淨資産每增加 1 元，股價平均上升 3.375 元；速動比率每提高 1 個單位，股價平均上升 0.85 元。他的研究對優選個股有重要的參考價值。算例 1.2.4 多元線性回歸統計量檢驗與回歸效果圖像顯示下面我們給出具體數位例子，並演示軟體使用方法。假如我們選取三個引數，連同因變數 Y 共採集 18 組資料。首先按軟體提示將資料鍵入，形成一個資料檔案。然後在功能表上選多元線性回歸，以下的提示與計算結果就列印出來。-一般多元線性回歸模型計算程式, 例 1
29、.2.4 例 01241.D 中，n=18, m=3第一列爲 Y, 以後各列爲 X 要顯示原始資料嗎? 0=不顯示, 1=顯示 （1：顯示）9.1000 3.1000 2.4000 3.200011.2000 3.6000 4.3000 3.400013.3000 4.7000 3.9000 4.300017.7000 6.4000 5.5000 5.700013.7000 5.7000 4.3000 3.300011.1000 4.2000 3.1000 2.700013.7000 4.9000 4.5000 3.400013.6000 3.4000 4.7000 5.700015.9000
30、 5.5000 5.1000 4.200017.8000 6.9000 5.9000 3.900017.4000 5.3000 5.4000 5.600013.2000 3.7000 4.6000 5.100011.5000 4.2000 2.9000 3.700012.9000 4.7000 3.5000 4.200012.3000 2.6000 5.6000 4.200013.1000 4.4000 4.5000 4.600015.9000 4.9000 4.8000 4.700011.7000 3.6000 5.7000 2.9000現在作線性回歸顯著性檢驗, 計算 t,F,R 統計量請
31、輸入顯著性水平 a, 通常取 a=0.01, 0.05, 0.10, a=? （0.05）21-線 性 回 歸 分 析 計 算 結 果 樣本總數 18 引數個數 3-回歸方程 Y = b0+b1*X1+.+b 3*X 3Y= -0.0627 + 1.3427 X1 + 0.8217 X2 + 0.9369 X3 回歸係數 b0, b1, b2, ., b 3-.0627 1.3427 .8217 .9369-殘差平方和: 3.8878 回歸平方和: 98.5583誤差方差的估計 : .2160 標準差 = .4647-線 性 回 歸 顯 著 性 檢 驗 顯著性水平 : .050-回歸方程整體顯
32、著性 F 檢驗, H0:b0=b1=.=b3=0F 統計量: 118.3031 F 臨界值 F(3, 14) 3.3439全相關係數 R : .9808-回歸係數逐一顯著性 t 檢驗, H0:bi=0, i=1,., 3t 臨界值 t( 14) 1.7613回歸係數 b1-b 3 的 t 值: 2.2266 1.1233 1.2465-要作回歸預測嗎? 鍵入 0=不預測, 1=要預測 （0：不預測）要列印擬合數據嗎? 0=不列印, 1=列印 (1:列印)Y 的觀測值 Y 的擬合值 差值9.1000 9.0700 .030011.2000 11.4900 -.290013.3000 13.481
33、5 -.181517.7000 18.3906 -.690613.7000 14.2160 -.516011.1000 10.6537 .446313.7000 13.3999 .300113.6000 13.7051 -.105115.9000 15.4481 .451917.8000 17.7042 .095817.4000 16.7377 .662313.2000 13.4636 -.263611.5000 11.4263 .073712.9000 13.0591 -.15922212.3000 11.9651 .334913.1000 13.8528 -.752815.9000 14.
34、8644 1.035611.7000 12.1720 -.4720計算結束。 -下面顯示擬合圖像。圖 1.2.4.1051015201 3 5 7 9 11 13 15 17原 始 数 据拟 合 数 据使用者在鍵入樣本組數 18 與引數列數 3 以後，軟體先將讀入的資料顯示一下，讓使用者核對一遍。本例估計出的回歸方程是Y=0.0627+1.3427X 1+0.8217X2+0.9369X3本例的回歸方程整體顯著性 F 檢驗非常顯著，因爲 F 統計量的值 118.3 遠大於臨界值F(3，14)=5.56。但是對回歸係數逐一作顯著性檢驗，竟然沒有一個顯著，t 統計量的值2.23，11.2，1.25
35、 都小於臨界值 t(14)=2.62。這將給使用者帶來困惑。幸好我們接下來列印出 Y 的觀測值與 Y 的擬合值，對比兩列數我們是滿意的。進一步，軟體將這兩列數在直角坐標上顯示出來，橫坐標就取資料序號 1，2，3，18(見圖 1.2.4.1)。看到這個圖像我們太滿意了，三個大波兩個小波，18 組資料擬合得如此一致。在解釋本例回歸係數逐一顯著性檢驗無一通過的困惑之前，我們再看另一例資料。它是用本軟體的回歸資料發生器發生的。-例 124.D 資料檔案中, n=20, M=4要顯示原始資料嗎? 0=不顯示, 1=顯示 （1：顯示）1.4718 .1791 .9395 .4140 .53043.0802
36、 .9320 .7865 .5004 .5535233.2545 .9672 .1708 .8882 .20871.2678 .2524 .5758 .1531 .55143.2189 .9469 .1601 .2216 .35082.6303 .4730 .4441 .4437 .07853.0680 .8122 .3117 .4320 .16794.5657 .2464 .9695 .7504 .28173.8557 .8381 .5381 .3728 .81453.1971 .0385 .8976 .9367 .38582.9597 .8537 .8872 .6628 .13683.74
37、66 .9404 .6911 .8190 .54333.9625 .6786 .2789 .7610 .24634.0426 .8135 .1896 .4804 .84163.3766 .4117 .8326 .4494 .27232.0574 .0563 .5039 .2411 .35703.6024 .7591 .7358 .1601 .5750.1193 .0711 .5870 .2495 .0811-.2393 .3995 .1589 .1268 .74053.5118 .1603 .6663 .7352 .8215現在作線性回歸顯著性檢驗, 計算 t,F,R 統計量請輸入顯著性水平
38、a, 通常取 a=0.01, 0.05, 0.10, a=? （0.05）-線 性 回 歸 分 析 計 算 結 果 樣本總數 20 引數個數 4-回歸方程 Y = b0+b1*X1+.+b4*X 4Y= -.1693 + 1.7676 X1 + 0.9144 X2 + 2.4954 X3 + 0.7246X4 回歸係數 b0, b1, b2, ., b4-.1693 1.7676 .9144 2.4954 .7246-殘差平方和: 14.1864 回歸平方和: 17.1232誤差方差的估計 : .7093 標準差 = .8422-線 性 回 歸 顯 著 性 檢 驗 顯著性水平 : .050-回
39、歸方程整體顯著性 F 檢驗, H0:b0=b1=.=b4=0F 統計量: 4.5263 F 臨界值 F(4, 15) 3.0556全相關係數 R : .7395-回歸係數逐一顯著性 t 檢驗, H0:bi=0, i=1,., 4t 臨界值 t( 15) 1.753124回歸係數 b1-b 4 的 t 值: 2.2369 .9180 2.4490 .7252-要作回歸預測嗎? 鍵入 0=不預測, 1=要預測 (1:不預測)要列印擬合數據嗎? 0=不列印, 1=列印 （1: 列印）Y 的觀測值 Y 的擬合值 差值1.4718 2.4237 -.95193.0802 3.8470 -.76683.2
40、545 4.0641 -.80961.2678 1.5849 -.31713.2189 2.4580 .76092.6303 2.2369 .39343.0680 2.7510 .31704.5657 3.2294 1.33633.8557 3.3246 .53113.1971 3.3365 -.13942.9597 3.9040 -.94433.7466 4.5623 -.81573.9625 3.3627 .59984.0426 3.2506 .79203.3766 2.6385 .73812.0574 1.2513 .80613.6024 2.6614 .9410.1193 1.1744 -1.0551-.2393 1.5351 -1.77443.5118 3.1531 .3587計算結束。-
