1、2015-2016 学年陕西省西安中学高三（上）第三次数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1设集合 A=x|x1，集合 B=a+2，若 AB=，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，1 B （ ，1 C 1，+） D1，+ ）2复数 z1=cosxisinx，z 2=sinxicosx，则|z 1z2|=（ ）A1 B2 C3 D43 “nN*，a =anan+2”是“ 数列a n为等比数列”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4某长方体的三视图如图，长度为 的
2、体对角线在正视图中的投影长度为 ，在侧视图中的投影长度为 ，则该长方体的全面积为（ ）A3 +2 B6 +4 C6 D105一个样本容量为 10 的样本数据，它们组成一个公差不为 0 的等差数列a n，若 a3=8，且 a1，a 3，a 7 成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（ ）A13，12 B13，13 C12，13 D13，146在等比数列a n中，如果 a1+a2=40，a 3+a4=60，那么 a7+a8 等于（ ）A135 B100 C95 D807已知向量 =（x 1，2） ， =（4，y） ，若 ，则 9x+3y 的最小值为（ ）A2 B C6 D98已知三角形ABC
3、的三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长为（ ）A15 B18 C21 D249已知双曲线 mx2ny2=1（m0，n0）的离心率为 2，则椭圆 mx2+ny2=1 的离心率为（ ）A B C D10如图，矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A（0，1） ，B（ ，1） ，C （，1） ，D（0，1） ，正弦曲线 f（x）=sinx 和余弦曲线 g（x）=cosx 在矩形 ABCD 内交于点 F，向矩形 ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（ ）A B C D11函数 f（x）的定义域为 1，1，图象如图 1 所示；函数 g（x）的
4、定义域为1，2，图象如图 2 所示A=x|f（g（x） ）=0，B=x|g（f（x） ）=0，则 AB 中元素的个数为（ ）A1 B2 C3 D412设 D 是函数 y=f（x）定义域内的一个区间，若存在 x0D，使 f（x 0）= x0，则称 x0 是f（x）的一个“次不动点” ，也称 f（x）在区间 D 上存在次不动点若函数 f（x）=ax 23xa+在区间1，4上存在次不动点，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，0） B （0， ） C ，+） D （， 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知抛物线 y=ax2 的准线方程是 y= ，则实数 a 的值为 1
5、4 （x+y+z） 8 的展开式中项 x3yz4 的系数等于 （用数值作答）15已知函数 ，若实数 a、b、c 互不相等，且满足f（a）=f（b）=f（c） ，则 a+b+c 的取值范围是 16给出如下四个命题：（1）图中的阴影部分可用集合（x，y）|x 2+y22y0（2）设两个正态分布 N（ 1， 12） （ 10）和 N（ 2， 22） （ 20 曲线如图所示，则1 2， 1 2（3）已知边长为 2 的等边三角形 ABC，过 C 作 BC 的垂线 l，如图，则将ABC 绕 l旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积是 2 （4）执行如图所示的程序框图，输出 S 的值是 其中正确命题的序号是
6、 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17如图，点 A、B 分别是角 、 的终边与单位圆的交点，0 （I）证明：cos（）=coscos +sinsin；（II）若 = ，cos（）= ，求 sin2 的值18在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 ABB1A1 为矩形，AB= ，AA 1=2，D 为 AA1 的中点，BD 与 AB1 交于点 O，CO 侧面 ABB1A1（1）证明：CDAB 1；（2）若 OC=OA，求直线 C1D 与平面 ABC 所成角的正弦值19一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f 1（x）=x 3，f 2（x）
7、=5|x|，f 3（x）=2 ，f 4（x）= ，f 5（x）=sin（ +x） ，f 6（x）=xcosx（）从中任意拿取 2 张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数 的分布列和数学期望20已知 P 是圆 C：x 2+y2=4 上的动点，P 在 x 轴上的射影为 P，点 M 满足 = ，当 P在圆 C 上运动时，点 M 形成的轨迹为曲线 E（）求曲线 E 的方程；（）经过点 A（0，2）的直线 l 与曲线 E
8、相交于点 C，D，并且 = ，求直线 l 的方程21已知函数 f（x）= （）求函数 f（x）的图象在点 x=1 处的切线的斜率；（）若当 x0 时，f（x） 恒成立，求正整数 k 的最大值选修 4-1：几何证明选讲22如图，等腰梯形 ABDC 内接于圆，过 B 作腰 AC 的平行线 BE 交圆于 F，过 A 点的切线交 DC 的延长线于 P，PC=ED=1 ，PA=2 （）求 AC 的长；（）求证：BE=EF 选修 4-4：坐标系与参数方程 23以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线 l 的参数方程为 为参数，0） ，曲线 C 的极坐标方程
9、为 sin2=4cos（）求曲线 C 的直角坐标方程；（）设点 P 的直角坐标为 P（2，1） ，直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，并且，求 tan 的值选修 4-5：不等式选讲24设函数 f（x）=|x |+|xa|，x R（）求证：当 a= 时，不等式 lnf（x）1 成立（）关于 x 的不等式 f（x） a 在 R 上恒成立，求实数 a 的最大值2015-2016 学年陕西省西安中学高三（上）第三次数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1设集合 A=x|x1，集合 B=
10、a+2，若 AB=，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，1 B （ ，1 C 1，+） D1，+ ）【考点】交集及其运算【分析】由 A 与 B，以及两集合的交集为空集，确定出 a 的范围即可【解答】解：A=x|x1，集合 B=a+2，若 AB=，a+21，即 a1，则实数 a 的范围为（，1，故选：A2复数 z1=cosxisinx，z 2=sinxicosx，则|z 1z2|=（ ）A1 B2 C3 D4【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数的乘法以及三角函数的运算法则化简复数，然后求解复数的模【解答】解：复数 z1=cosxisinx，z 2=sinxicosx，则z1z2=
11、cosxsinxcosxsinx+i（ cos2xsin2x）=i 则|z 1z2|=1故选：A3 “nN*，a =anan+2”是“ 数列a n为等比数列”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质进行判断即可【解答】解：若 an=0，则满足 a =anan+2，但数列a n不是等比数列，即充分性不成立，反之若数列a n为等比数列，则 nN*，a =anan+2，成立，即必要性不成立，即“nN *，a =anan+2”是“ 数列a n为等比数列”的必要不充分条件
12、，故选：B4某长方体的三视图如图，长度为 的体对角线在正视图中的投影长度为 ，在侧视图中的投影长度为 ，则该长方体的全面积为（ ）A3 +2 B6 +4 C6 D10【考点】由三视图求面积、体积【分析】设长方体的长，宽，高分别为 x，y，z，根据已知求出长宽高，代入长方体表面积公式，可得答案【解答】解：设长方体的长，宽，高分别为 x，y，z，由题意得： ，解得： ，故该长方体的表面积 S=2（xy+xz+yz ）=6 +4，故选：B5一个样本容量为 10 的样本数据，它们组成一个公差不为 0 的等差数列a n，若 a3=8，且 a1，a 3，a 7 成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（
13、 ）A13，12 B13，13 C12，13 D13，14【考点】等差数列与等比数列的综合；众数、中位数、平均数【分析】由题设条件，一个样本容量为 10 的样本数据，它们组成一个公差不为 0 的等差数列a n，若 a3=8，且 a1，a 3，a 7 成等比数列，设出公差为 d，用公差与 a3=8 表示出 a1，a 7再由等比数列的性质建立方程求出公差，即可得到样本数据，再由公式求出样本的平均数和中位数【解答】解：设公差为 d，由 a3=8，且 a1，a 3，a 7 成等比数列，可得 64=（82d） （8+4d）=64+16d8d2，即，0=16d8d 2，又公差不为 0，解得 d=2此数列的
14、各项分别为 4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，故样本的中位数是 13，平均数是 13故答案为 B6在等比数列a n中，如果 a1+a2=40，a 3+a4=60，那么 a7+a8 等于（ ）A135 B100 C95 D80【考点】等比数列的性质【分析】根据等比数列a n的性质可知，S 2，S 4S2，S 6S4，S 8S6 成等比数列，进而根据a1+a2 和 a3+a4 的值求得此新数列的首项和公比，进而利用等比数列的通项公式求得 S8S6 的值【解答】解：利用等比数列a n的性质有 S2，S 4S2，S 6S4，S 8S6 成等比数列，S 2=40，S 4S2=a3+a
15、4=60，则 S6S4=90，S 8S6=135故 a7+a8=S8S6=135故选 A7已知向量 =（x 1，2） ， =（4，y） ，若 ，则 9x+3y 的最小值为（ ）A2 B C6 D9【考点】基本不等式；数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】由于 =0，即可得出 x，y 的关系，再利用基本不等式即可得出 9x+3y的最小值【解答】解： ，（x1，2） （4，y）=0 ，化为 4（x 1）+2y=0，即 2x+y=29 x+3y = = =6，当且仅当 2x=y=1 时取等号故选 C8已知三角形ABC 的三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长为（
16、 ）A15 B18 C21 D24【考点】余弦定理【分析】根据三角形 ABC 三边构成公差为 2 的等差数列，设出三边为 a，a+2，a+4，根据最大角的正弦值求出余弦值，利用余弦定理求出 a 的值，即可确定出三角形的周长【解答】解：根据题意设ABC 的三边长为 a，a+2，a+4，且 a+4 所对的角为最大角 ，sin= ， cos= 或 ，当 cos= 时，=60，不合题意，舍去；当 cos= 时， =120，由余弦定理得： cos=cos120= = ，解得：a=3 或 a=2（不合题意，舍去） ，则这个三角形周长为 a+a+2+a+4=3a+6=9+6=15故选：A9已知双曲线 mx2
17、ny2=1（m0，n0）的离心率为 2，则椭圆 mx2+ny2=1 的离心率为（ ）A B C D【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质【分析】双曲线、椭圆方程分别化为标准方程，利用双曲线 mx2ny2=1（m0，n0）的离心率为 2，可得 m=3n，从而可求椭圆 mx2+ny2=1 的离心率【解答】解：双曲线 mx2ny2=1 化为标准方程为：双曲线 mx2ny2=1（m0，n0）的离心率为 2，m=3n椭圆 mx2+ny2=1 化为标准方程为：椭圆 mx2+ny2=1 的离心率的平方为 =椭圆 mx2+ny2=1 的离心率为故选 C10如图，矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A（0
18、，1） ，B（ ，1） ，C （，1） ，D（0，1） ，正弦曲线 f（x）=sinx 和余弦曲线 g（x）=cosx 在矩形 ABCD 内交于点 F，向矩形 ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（ ）A B C D【考点】几何概型【分析】利用定积分计算公式，算出曲线 y=sinx 与 y=cosx 围成的区域包含在区域 D 内的图形面积为 S=2，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率【解答】解根据题意，可得曲线 y=sinx 与 y=cosx 围成的区域，其面积为 （sinx cosx） dx=（cosxsinx ）| =1（ ）=1+
19、 ；又矩形 ABCD 的面积为 2，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是 ；故选 B11函数 f（x）的定义域为 1，1，图象如图 1 所示；函数 g（x）的定义域为1，2，图象如图 2 所示A=x|f（g（x） ）=0，B=x|g（f（x） ）=0，则 AB 中元素的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【考点】函数的图象；交集及其运算【分析】结合图象，分别求出集合 A，B，再根据交集的定义求出 AB，问题得以解决【解答】解：由图象可知，若 f（g（x） ）=0，则 g（x）=0 或 g（x）=1 ，由图 2 知，g（x）=0 时，x=0，或 x=2，g（x）=1 时，x=1 或 x=1
