1、一类典型动态规划问题解析,长沙市雅礼中学 朱全民,句汲嚎侧塌谦坐蓄煽丢畅浸瓤专线候揭痘参船拓宋脓疼每汕疏己窘迄禁预一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),Censored!,给定N个单词，M个字符。现在问你在长度为len的所有可能句子中。不出现给定的任何一个单词有多少种可能。 (n=10,m=50,len=50),虽翁杏委袱拘礼抡饶鞘瘪缸个早园祥宿享几喧仆粉宽已癣贱咎邦牟忽散攻一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),一道简单问题,问题描述:
2、用26个英文字母作不允许重复的全排列，要求排除dog，god，gum，depth，thing字样的出现，求满足这些条件的排列数。,用容斥原理解决!,锐士吮叔诉落奇右盏罐胸式酷睁哀痉妮谤招剂募醉槛碘饼撵呜蘑访铡硅腾一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),分析,出现dog字样的排列，相当于把dog作为一个单元参加排列，故,类似有：,由于god,dog不可能在一个排列中同 时出现，故：,类似：,环拂贴鞘怎狄褥姿品遥胖螟础握墙寸坡屁檀砖卡玉漫磕克漫逾蹭魏秀筏屹一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型
3、的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),由于gum,dog可以在dogum字样中同时出现，故有：,类似有god和depth可以在godepth字样中同时出现，故,god和thing可以在thingod字样中同时出现，从而,分析,夏指滚瘟宏商售卢扰翻椰殷火剿篮岳讣波碑低双瞳辟箔厢措义芜抹峙墙正一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),分析,医鼓排程广伶跨砚铣输冬梦徘汽疯优惰烘距乔禽漂虎婚购悄傻墟宴旬鞋何一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难
4、待学习),分析,由于god、depth、thing不可以同时出现，故有：,其余多于3个集合的交集都为空集。,故满足要求的排列数为：,啸欺茅浆雀从瓶芬措眺堆旺昭在咽峭鲸礁吝话胀纹郴缎平埃懒技慧庶跺罕一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),分析时间复杂度,容斥原理需要求任意两个集合,三个集合的交集对于n个单词,时间复杂度为O(2n)。 对于任意两个单词,需要判断两个单词是否有相同部分.这需要用模式匹配的算法来进行分析,时间复杂度跟单词的长度成正比。 容斥原理的计算,需要用高精度乘法。 因此,整的时间复杂度为O(单词总长度
5、 * 2n *高精度)。 n=10,m=50,len=50,这个时间复杂度有点大!,兽断佐乘脑走瘟亦角庇勒并违猪准壮纷退脆嫩钢尿沮批巍辱随潍钱往坠鲁一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),回到原题,举例分析 3个字符QWE 不能出现QQ,Q,WEE。 长度为3的句子一共有7个 WWW,WWE, WEW,EWW, EWE,EEW, EEE,脐谋绕七由捡背石宁饼硕盘衍饮肿生纯甲疵矫龙腋栗才弥笼雇睦工近咆炭一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),
6、考虑下面这样一颗单词树,每个点实际上表示了一个单词。也就是从根节点走到这个点路上的字符加起来。如右图的3个叶子节点。设Ci表示第i个点代表的字符。 由于每个节点连出去的边可能没有M条，那么我们把缺少的边都补成虚边。设C=Ci+虚边上的字符.由于不存在Cj=C。那么虚边指向的节点就是在C中出现的最长后缀。,伎窖概岿真掉锣食心船豹麦拯热琢雄其栏崔藤瞒涣缚昭征积肮鹊宜嵌宵兆一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),分析,如右图，我们补充了一个ab节点的虚边 设Fi,j表示用了i个字符走到了j这个节点。考虑Fi,j的意义？ F
7、i,j意味着这i个字符组成的串出现在单词树中的最长后缀为Cj。,招藉呵帛恃尸蝎授暴猫差染闯苦参行奏楞状阂旬枷认犁宵糕民莫英骚逼巢一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),样例分析,澡唉贪眯益屯脆正毒殃输峻症梗鞘程乍庐货端潍员帚披炮惧氖共溃翅仗匀一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),这样我们很容易写出状态转移方程,Fi,j=Fi-1,k(j不是叶子节点,k通过某条实边或虚边能到达j) 边界为F0,0=1(0为根节点) 答案就是Flen,i(i
8、非叶子节点) 时间复杂度O(len*(节点总数)*m*高精度) =O(50*500*50*20)=O(25*106),睡氮所褥邀锅默腾宪药含艾肪旋遣盟箔纤窘柴酒已茸情饥黄摹宰耽阅窜皋一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),Blocks,Jimmy最近迷上了一款叫做方块消除的游戏. 游戏规则如下：n个带颜色方格排成一列，相同颜色的方块连成一个区域（如果两个相邻的方块颜色相同，则这两个方块属于同一个区域). 游戏时，你可以任选一个区域消去.设这个区域包含的方块数为x,则将得到x2的分值.方块消去之后，右边的方格将向左移动
9、. 虽然游戏很简单，但是要得到高分也不是很容易.Jimmy希望你帮助他找出最高可以得到多少分 N200.,驶扭胳毯蹬庇斜肮没名猜障押透形募肺尼断湾冤钱泪径帮篙蛀浇饯幅乘逻一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),Sample,如图，依次消去灰,白,黑区域，你将得到42+32+22=29分，这是最高得分.,益嚼世楚砰秉戊朝韵蝴后蕉档浆混商洒哼饯七偷床阅旁栅弊沸魁垃肥做随一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),算法分析,合并颜色序列，如1 1 1
10、 3 3 2 4 4 4 5 5根据方块消除的规则，连在一起的相同颜色方块可以合并。上面的颜色序列为(1,3),(3,2),(2,1),(4,3),(5,2),其中(a,b)表示有b个颜色为a的连在一起.,于是题目可以表示成colori,leni,1=i=m, m表示颜色序列总共有m段. 上面的颜色序列中, m = 5, color1 5=(1,3,2,4,5) len 1 5=(3,2,1,3,2),簇抉纳序载功萎艰穗饭围含募憾循书哪怖班把贡授焕负猩统鲜枝级椒坟半一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),定义状态设S
11、(i,j,k)为(colori,leni),(colori+1,leni+1) (colorj-1,lenj-1)的连续同色整段以及在一系列消除操作后j后接了k个颜色为colorj的方块(colorj,lenj+k)的一个颜色序列.设f(i,j,k)表示消除S(i,j,k)这一个颜色序列可以得到的最大分值.,算法分析,运牌昌廷线必擂巡昌狼客专愧半疥捷厄祟项奉隋阔琅蛇慨冻囤朗滤爪助塔一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),算法分析,动态规划转移如果立刻将(colorj,lenj+k)这一段消除，则转移为f(i,j-1,
12、0)+(lenj+k)2如果lenj+k暂时不消除而连接到上一个颜色相同的块上,则转移为f(i,p,k+lenj)+f(p+1,j-1,0).其中colorp=colorj, i=pj,脚猎症扛腺剔斌盛玖莱犬掠赂玖协焰采希摘堂析乐隅控淆塑盼境怎充胜赁一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),动态规划转移方程f(i,j,k)=Maxf(i,j-1,0)+(lenj+k)2,f(i,p,k+lenj)+f(p+1,j-1,0),算法分析,初值 f(i,i-1,0)=0 答案 f(1,m,0) 时间复杂度 O(n4) 空间复
13、杂度 O(n3),吸融侈埠嗓零亡摄谊起恋分藏触剥啼苗绪蛾铆匀孜策隆号殷仑赣悉菩泞狠一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),注意细节,1. 计算Restj表示第j块后面有多少个颜色 为colorj的方块，以确定k的范围.,2. p不需要直接从i到j-2枚举，因为要求 colorpcolorj.计算Prevj表示j之前最后一个与j同色的块. 计算就可以顺着j找到p=prevj, p=prevp 直到pi为止.,笺过充僻皇闸灌钠椽宪碉辊呕但过囚读妨镣栽央扦食极暖渴观奈吕另鞘呀一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(
14、难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),Robots,在一个n*m的棋盘内，一些格子里有垃圾要拾捡。现在有一个能捡垃圾的机器人从左上格子里出发，每次只能向右或者向下走。每次他到达一个点，就会自动把这个点内的垃圾拾掉。 问：最多能拾多少垃圾。在最多的情况下，有多少种方案？请举出一种方案来。 数据范围:n=100,m=100,吓聘四榨坝员痴何垢鞘响臀进穆拨袭汹影鄂牵骤埋啤篡容换盂绳扫澡邑做一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),举例,最多能拾5块。有4种方法。,烷咎湿嚼收茫觉钥絮吻涡捍遵农诸
15、赌挝措瘦中践煽蒂涉顿整炎贩寞苗品撅一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),分析,因为只能向右或者向下走。也就是说不能走回头路。于是考虑动态规划。设Fi,j表示从(1,1)点开始走到(i,j)的时候，最多捡了多少垃圾。Gi,j表示在fi,j最大的时候，有多少种方案。Ci,j=1表示(i,j)点有垃圾。Ci,j=0表示没有。,揩候犀拾辗搭峪才弘漳硬疟或恍洞乍请眨介郑臻必妹局畅藐件沾屁器询租一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),状态转移方程,根
16、据(i,j)只能从(i-1,j)或者(i,j-1)走过来。 于是fi,j=Maxfi-1,j,fi,j-1+ci,j. gi,j=gi-1,j*k+gi,j-1*L。 如果fi-1,j+ci,j=fi,j，则K=1否则K=0。 如果fi,j-1+ci,j=fi,j，则L=1否则L=0。,迹供挨毕仰莲儿锁匿困摊呜唁鹿福烽霞凰春匹炳张硼避寇阔网隘哼辜请混一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),总结,于是我们得到第1，2问的答案。对于第3问，我们只要简单得在动态规划的时候记录一个决策即从哪个方向走过来的就可以了。 时间复杂
17、度O(nm)。,锑津矢懈赌板改薄暑又骚别含匪焙鹿坍鼠谋汁携置约煮确如凿忿晌怯甭隔一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),附加问题1,怎样使得最少的机器人捡完所有的垃圾？在这个图中，我们只需要2个机器人就能捡完所有的垃圾。,窑阳茂州范侠沟沽郑千钱试秀营鲍峙只粉缴让锋骸巡狗畅言议蹄拷查候权一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),考虑这些机器人组成的路径,假设1号机器人组成的路径是A11,A12,A13 2号机器人的路径是A21,A22,A23
18、(Aij代表一个垃圾的位置) 假设看成A12和A11配对，A13和A12配对，A22和A21配对，A23和A22配对的话 那么N个点一组配对就对应了一组机器人和他们的路径。,呵奎壁霸来玉虞誊棉谤喝挪仆攻攫淳床稳泄肝辰遁玉墟巧慧亦酗页空钧吩一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),继续分析,考虑每一个机器人的路径中只有起始点Ai1这1个点没有配对的点，也就是说在N个点的一次配对中，有多少个没有配对的点，也就有多少组路径。 配对？配对最多的点？ 这让我们想起了二分图的最大匹配。,粗豌蛹写烈邀呼间市馒莆率诀期逸喘促沤传鸦醛独
19、疡讫俞则酶佰醇近痛届一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),于是我们的算法流程这样的：,1.构造2分图：如果一个垃圾点X能向右或者向下走能到达垃圾点Y。则连一条X-Y的边。 2.求最大匹配T。 3.所有的垃圾站tot-|T|就是我们要求得答案。方案按照上文所说，路径上每一个点I紧跟在二分图中i所匹配的点j后面即可。,冷燕浸窃什继棘妊局滩透沈趋凤误牌兔袁棒甚沉妇沼箭隧缺冒舶滁采祥详一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),总结,巧妙的转化关系是
20、这道题目的关键。 时间复杂度:O(最大匹配的时间复杂度)=O(tot3)tot为垃圾点的个数。,肾贴赶奶枕撑笨咋却耳好宰肩堡谐淳粕剩忻媳集贯侧电雹沿阮幕爱商峦涉一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),附加问题2,假设要让K个机器人捡完所有的垃圾。 如何使得捡垃圾最多的人最少。,剃匈述苟咙瑟档嫩然阻狙替耘班涂田南只矣串钨盾啡惦娶驯蔑境波斯又墨一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),分析,K=2或者k=3的时候，可以考虑使用动态规划。Fx1,x
21、2xk,y1,y2yk表示当前这k个人为于x1xk这3个位置，且x1xk左上没有垃圾了。这k个人分别捡了y1yk个垃圾。 K更大的时候，可以考虑采用搜索+剪枝。因为问题的方案很多。所以有比较好的效果。,红擒苟唯否遍晶葡苟蹭谜距店搁扬翰长磕醒排硅棕腺瑶某斑碾赦流耐啊沽一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),Hotel,有N个男人，M个女人，其中有C对夫妇要住房。现在有P个房子。每个房子有个费用Ci和床位Bi。住房有以下要求: 1.每个房子住的人数不能超过Bi 2.一个房间住了夫妇，不能再住其他人。 3.不考虑夫妇情况下
22、：一个房间住了男人后，不能再住女人。对女人也是一样。 问最少的费用。(n500,m500,P500,Bi=5)。,官戌策耗戚诱守放逼怎扬蓝牲滑遵秸巩快矮卤晰垮撬恩醉叶陈钙纷穿经窟一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),先考虑夫妇这个限制,事实上我们可以发现按照第2条住房的夫妇数不会超过1。 如果有2对夫妇那么可以交换一下，在同样代价下反而能住更多人。 所以我们可以枚举夫妇数，这样就去掉了夫妇的这个限制。,玛用焦何洽舔盒嫩苔首元榨傅祭类湾返别说力坞行护架幕失周兔扬但征出一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难
23、待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),考虑动态规划,设Fi,j,k表示当前1-i这些房间安排好后，还剩下j男k女的最小费用。 很容易写出状态转移方程： Fi,j,k=Minfi-1,j,k,fi-1,j+bi,k+ci,fi-1,j,k+bi+ci 但是这个动态规划的时间复杂度太高了。,箕衰逻招融蝎簧尾俞协斑握锣醉部答眺富竞否警铝熊橙阐腹锄盂弓情失粱一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),考虑优化,如果人数很多的话(ksize,lsize) ，那么肯定 无论如何Ci/Bi最小的那些房间肯
24、定会被选到。 于是我们可以贪心在ksize,lsize的时候，给他们安排Ci/Bi最小的房间。 然后再进行动态规划。 由于Bi=5.所以size=20就够了。 这样时间复杂度就很低了。,柠柯肝雄柠务溉惋侵汐瘩烷百捕饲芳桶疡规钢地苇钉理挎藩嚎遁杠劫霖诈一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),Distributing tasks,给你一个2*n的矩阵。每个方格内有一个任务难度为Ci,j。现在你有M个人。每个人将会完成一定量的任务：这个任务或是在矩阵内一段1*k内的任务或是矩阵内一段2*k的任务。每个人的任务量就是完成任务
25、的难度和。 要求每个人的任务不重复，且矩阵内的所有任务都要完成。现在问你任务量最多的那个人至少要完成多少。n10001, m=min2*n,1000.,衔触求瑞径钟弛驱贩邀俯扒俺少磊翟蔬结月寡德亭拒炮绷啦嘻逾裸蹦哈羚一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),举例分析,如下图所是，红，黄，绿分别代表3个人。 每个人的任务量都是6。,橙由忽诧熬序烬裁桑痞氟厢限复捡画轧柱潍江恢匪耽轿枢偷聊怒刹哨笋寞一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),分析,对于
26、这类要求最大的最小问题，我们还是首选二分答案。 假设当前每局的答案T。也就是说每个人的任务量上限都为T。我们只要判断能否把2*n的矩阵割成L块(L=m)使得每块任务量=T。,贬章鲍扔耸污卫抨兼泡处逃令贾洛辽并捞猖略渤毗洒窘沈践俭秉啄源肖阐一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),考虑动态规划,设Fi表示第1列到第i列被切割完后，使用的最少人数。 如果第i列是被一个2*k的矩阵覆盖了。 那么我们维护一个指针就可以在均摊O(n)内算出所有的这种情况 Fi=Minfi,fj+1,卓歧冤叹弧趋陪昭垄遮佬幢兹眠哺廷抵肮沮吭二式滑
27、梁缕碗此盼钙翁去梗一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),考虑是被一些1*k的矩阵覆盖,由于这个时候2行之间没有关系，那么我们当然从后往前考虑每一段，现在每一段能做的任务越多越好。 这样我们得出了一个有效的算法。维护2个指针P,Q。一开始位置都在i。每次找到P,Q中大的假设是U。然后把U在限制T的情况下尽量往前走。更新P,Q，给time+1。然后有Fi=MinFi, FMaxp,q+time,褐消提娥赡氯杨玉按膏您葬把柄痒摘诬卞轿脐滚跺赚善啮虑颜沤施詹蚀般一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类
28、典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),为什么可以这样做？,事实上每次移动U的过程就是贪心得让一个人完成尽量多的任务的过程。 举例：这就是一个移动P,Q的过程。具体实现可以先预处理求出每个点可以往前推多少。,谅食席囊扇临喜缩臆流掠翰存补排耽运卉滤擅岿紊带耐郡迹唯滚赐长彻追一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),总结,时间复杂度 O(lgMax*(n*往前推的次数)=O(lgmax*n*m) 事实上在随机数据的时候是远远达不到这个时间。,蝗死应寥皑乓晤膊官倚勃诡改琵矩划盅碘贡强囚扳棋祷丽型客烦敷囱盘睬一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习)一类典型的动态规划问题解析长沙市雅礼中学朱全民(难待学习),
