1、微分几何主要习题解答11第二章 曲面论1曲面的概念1.求正螺面 = u ,u , bv 的坐标曲线.rvcosin解 u-曲线为 =u ,u ,bv =0,0，bv u , ,0，为曲线的直母线；00sv00cosvinv-曲线为 = , ,bv 为圆柱螺线r0vcsi证明双曲抛物面 a（u+v）, b（u-v）,2uv的坐标曲线就是它的直母线。r证 u-曲线为 = a（u+ ）, b（u- ）,2u = a , b ,0+ ua,b,2 表示过点 a , 0v0v00v0v0vb ,0以a,b,2 为方向向量的直线;0v0vv-曲线为 =a（ +v）, b（ -v）,2 v=a , b ,0
2、+va,-b,2 表示过点(a , br0u0u00u0u0u,0)以a,-b,2 为方向向量的直线。0u3求球面 = 上任意点的切平面和法线方程。r sin,icos,incsaa解 = ， =oir 0,cos,sincoa任意点的切平面方程为 0cossincoinaazyx即 xcos cos + ycos sin + zsin - a = 0 ；法线方程为 。sinsiccszyx 4求椭圆柱面 在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 21ab。解 椭圆柱面 的参数方程为 x = cos , y = asin , z = t , , 21xyab 0cos,
3、inbar。所以切平面方程为：1,0tr微分几何主要习题解答12，即 x bcos + y asin a b = 0010cossinibatzyx 此方程与 t无关，对于 的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而 的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。5证明曲面 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。 ,3uvar证 ， 。切平面方程为： 。,0123ru,1023rv3zauvyx与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, )。于是，四面体的体积为：uva23是常数。329|361auvV 曲面的第一基本形式1. 求双曲抛
4、物面 a（u+v）, b（u-v）,2uv的第一基本形式. r解 ,4,22, 22vbarEuvbr uu ,4rGFvv I = 2 。22)(da 222 )()4( dvudvba求正螺面 = u ,u , bv 的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。rvcosin解 ， ， ， ， I ,cos,0in,svuu 12urE0vurF22burGv= ，坐标曲线互相垂直。22)(dvbd在第一基本形式为 I = 的曲面上，求方程为 u = v的曲线的弧长。22sinhudvd解 由条件 ,沿曲线 u = v有 du=dv ，将其代入 得 =2dssiu 2ds22sinhudv，d
5、s = coshvdv , 在曲线 u = v上，从 到 的弧长为 。2coshv 12 |inh|co| 121 vv4设曲面的第一基本形式为 I = ，求它上面两条曲线 u + v = 0 ,uv = 0的交2)(dvad微分几何主要习题解答13角。分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量 ， ， ，曲线 u + v = 0与 u 1E0vF2auG v = 0的交点为 u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为 ， ， 。曲线 u + v = 0的方向为 du
6、= -dv , u v = 0的方向为 u=v , 设两曲线的夹角为 ，则有cos = 。2222 1avGuEd5求曲面 z = axy上坐标曲线 x = x ,y = 的交角.00y解 曲面的向量表示为 =x,y,axy, 坐标曲线 x = x 的向量表示为 = x ,y,ax y ，其切向量r 0r0=0，1，ax ；坐标曲线 y = 的向量表示为 =x , ,ax ，其切向量 =1，0，a ，设两曲yr00ryx0线 x = x 与 y = 的夹角为 ，则有 cos = 20201| yaxyx 6. 求 u-曲线和 v-曲线的正交轨线的方程.解 对于 u-曲线 dv = 0,设其正交
7、轨线的方向为 u:v ,则有Eduu + F(duv + dvu)+ G d vv = 0,将 dv =0代入并消去 du得 u-曲线的正交轨线的微分方程为Eu + Fv = 0 .同理可得 v-曲线的正交轨线的微分方程为 Fu + Gv = 0 .7. 在曲面上一点,含 du ,dv的二次方程 P + 2Q dudv + R ，确定两个切方向（du ：dv）2du2dv和（u ：v） ，证明这两个方向垂直的充要条件是 ER-2FQ + GP=0.证明 因为 du,dv不同时为零，假定 dv 0，则所给二次方程可写成为 P + 2Q + R=0 ,设其2)(dvu二根 , , 则 = ， +
8、= 又根据二方向垂直的条件知 E + F( + )+ dvudvuPRdvuPQ2 dvuG = 0 将代入则得 ER - 2FQ + GP = 0 .8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为 E =G .2duv证 用分别用 、 、d 表示沿 u曲线，v曲线及其二等分角线的微分符号，即沿 u曲线 u，v，沿 v曲线微分几何主要习题解答14u， v 沿二等分角轨线方向为 du:dv ,根据题设条件,又交角公式得，即 。22 )()( dsvGFudsE GdvFuEdvu22)()(展开并化简得 E(EG- ) =G(EG- ) ,而 EG- 0，消去 EG- 得坐标曲线的二等分角线的
9、微分方22v22程为 E =G .2duv9设曲面的第一基本形式为 I = ，求22)(dvaud曲面上三条曲线 u = v, v =1相交所成的三角a 形的面积。解 三曲线在平面上的图形（如图）所示。曲 线围城的三角形的面积是S= 102012 auaaudvdv=2 =2102auadvd02)(= aua022223 |)ln()( = 。)1ln(32a10求球面 = 的面积。r sin,icos,icsaa解 = ， =n,oinr 0,cos,sincoaE = = ,F= = 0 , G = = .球面的面积为：2rar2r2cosaS = .2220242 4|incos ad
10、dd 11.证明螺面 =ucosv,usinv,u+v和旋转曲面 =tcos ,tsin , r r12tuvV=1u=-avu=avo微分几何主要习题解答15(t1, 0 0 ,G 0 ,所以 LN a 0 , b+acos 0,所以 LN - 的符号与 cos 的符号一致,M 2M当 0 0 ,曲面上的点为椭圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；当-232 ，曲面上的点为双曲点, 即圆环面内侧的点为双曲点；当 = 或 时，LN - =0，为抛232物点，即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点。25若曲面的第一基本形式表示为 的形式，则称这个曲面的坐标曲线为等温网。)(,22dvuI试证：旋转曲面 上
11、存在等温网。(,sin)(,co)(tftgtr证 旋转曲面 的第一基本形式为),i,tftt，做参数变换 ，v= ,则在新参数下，)(222dtgftI dtgfu2 为等温网。,2vut26两个曲面 、 交于一条曲线（C） ，而且（C）是 的一条曲率线，则（C）也是 的一条曲率1S2 1S2S线的充要条件为 、 沿着（C）相交成固定角。证 两个曲面 、 交于曲线（C） ， 、 分别为 、 的法向量，则沿交线（C） ， 与 成固1S21n21S2 1n2定角的充要条件为 =常数，这等价于 d( )=0,即nd + d =0 ,而（C）是 的一条曲率线，因此 d 与（C）的切向量 d 共线，则
12、与 正交，即1n2121S1nr2nd =0，于是 d =0，又 d ，所以 d = d =0的充要条件为 d / d ，即1n22n1212 r（C）是 的曲率线。2S27证明在曲面(S)上的一个双曲点 P处，若两条渐近线都不是直线，则它们之中，一条在点 P的挠微分几何主要习题解答23率是 ,另一条在点 P的挠率是- ，其中 K是(S)在 P点的高斯曲率。K证 曲面在双曲点 P处，有两条渐近线过点 P，沿渐近线有 = ，且 II=0，于是有 d = d .则nn，即 或KIHIdn22 ,22ds，所以有 。Ks)( K,)(228证明如果曲面上没有抛物点，则它上面的点和球面上的点是一一对应的。证 设给出的曲面(S): = (u,v)上的点 (u,v)与(u,v) D内的点一一对应，其球面像上的点为rr= (u,v),由于 ,所以 =n )(vuvukn| vuvukn，当曲面(S)上没有抛物点时，LN-M 0,则 。2|FEGMLN 2vun0说明球面像上的点 (u,v)与区域 D内的点一一对应，因此曲面(S) 上的点与球面像上的点一一对应。n
