用基波平衡原理分析非线性振荡与混沌.doc

1、2008 年 1 月 Journal on Communications January 2008第 29 卷第 1 期 通 信 学 报 Vol.29 No.1用基波平衡原理分析非线性振荡与混沌黄炳华，黄新民，韦善革 （广西大学 电气工程学院，广西 南宁 530004）摘 要：用“基波平衡原理”求得注入网络的基波电流 Is1。它的流向代表网络在脱离激励源以后,为维持自激振荡关于实功与虚功的盈亏情况，是判断网络稳定性和振荡性状的有力依据。当实功与虚功同时取得平衡时，能求得基波解的振荡频率 s 和幅值 Um，网络必然存在有对应的周期解。结论的普遍性可推广到三阶非线性微分方程。并阐明微分方程存在有多

2、个周期解是产生混沌振荡的重要原因。其正确性可以用 SIMULINK 仿真验证。关键词：非线性；稳定性；虚功功率；极限环；混沌中图分类号：TN 722.3 文献标识码：A 文章编号：1000-436X(2008)01-0065-06Analysing nonlinear oscillation and chaos usingfundamental-wave balance principleHUANG Bing-hua，HUANG Xin-min，WEI Shan-ge(Electrical Engineering School Guangxi University, Nanning 53000

3、4,China)Abstract: The fundamental-wave current Is1 can be found by the theory of fundamental harmonic balance. Its flow direction represents profit and loss of active and reactive power in order to maintain self-oscillation, when the exciting source applied to the network is cut off. And it is power

4、full basis of judging stability and self-excited oscillation shape and properties. Oscillation frequencys and amplitude Um of fundamental- wave solution can be found, when active and reactive power of the network obtain balance synchronously. The respective periodic solution exist inevitably. The un

5、iversality of the conclusion can be spread to third-order nonlinear differential equation. It is expounded that a differential equation possessing multiple periodic solutions is the important reason of generating chaotic oscillation. Its correctness can be verified by the Simulink.Key words: nonline

6、ar; stability; reactive power; limit cycle; chaos1 引言为消除寄生振荡，当前大多采用频率补偿法，各种补偿技术，都必须以牺牲原来电路的其他性能为代价。本文提出的基波平衡原理分析方法，是将微分方程的定性解建立在功率平衡的基础上，使压控非线性元件的控制电压作为端口变量，这样网络内部非基波分量的分布无论怎样复杂难解，集中在端口的电压 是正弦，和非正弦端口电流Su形成的功率，包含有基波与非基波，实功和虚功Si成份，如果基波成份的功率能够获得平衡，基波平衡方程存在有基波解，则网络一定存在对应的周期解，相图有对应的闭轨线。如果虚功无法平衡，则网络不存在有周期

7、解，因而可以用破坏虚功平衡的方法，达到消除寄生振荡的目的。本理论方法可通过实验，用幅值和频率可调收稿日期：2006-05-28；修回日期：2007-11-09基金项目：国家自然科学基金资助项目（60662001）Foundation Item: The National Natural Science Foundation of China(60662001)66 通 信 学 报 第 29 卷的电压源检测注入集成芯片电流的实功与虚功成份。借以检验芯片的稳定度，若注入电流越大说明稳定的可靠系数越高，若注入电流很小，说明稳定性很低，处于临界稳定状态，外界负载稍有变化很容易导致寄生振荡。反之，对于含

8、有寄生振荡的集成芯片，也可以检测释出的电流越大，说明寄生振荡越深。理论分析和实验检测的紧密结合，可以为消除寄生振荡提供各种最佳方案。本研究在南京电子器件研究所的大力支持下，做了大量测试，在分析集成芯片寄生振荡的原因方面，有力证明了基波平衡原理的正确性。2 含激励源基波解与不含激励源周期解存在的一致性在网络 N 适当端口，外接一个激励源，注入网络的电流为 。SmSsinuUtS1Shii用 替代 ，则端口保持正弦。若即 ，1i(iGtiScos)0Btims(,)0GU，从这 2 个条件可求出基波解的幅iS,)0B值和频率为 ，如果接入替代源的网络存在mS,)有 n 个基波解，则未接入激励源的原

9、网络，也对应的存在有 n 个周期解 14。当 ， 时，激励源已经没有向网络S10iShi送入实功，网络有足够能量维持自激，加入激励源的网络如图 1 所示，脱离 激 励 源 的 原 网 络 ， 和增 加 一 个 反 向 的 等 效 如 图 2 所 示 ， 两 者 比 较 起Shi来 ： 图 1 的 端 口 AA 空 载 保 持 正 弦 ； 图 2 的 端Su口 AA 接 有 一 些 幅 值 较 低 频 率 较 高 的 非 基 波 负 载成 份 ， 因 而 振 荡 能 自 激 维 持 ， 对 应 的 周 期 解 存Shi在 ， 但 其 波 形 会 畸 变 成 非 正 弦 ， u 的 基 波u幅 值

10、 和 振 荡 频 率 不 等 于 。 这 种 存 在 的 一mS(,)U致 性 称 为 基 波 平 衡 原 理 。图 1 接有替代源 ish图 2 脱离替代源 ish3 用基波平衡原理分析 Duffing 方程的多种形式3.1 第一形式(1)N132 132010NFm2N00, , ,/4 ()/(),iaugakdgULkCL(2)220130)/uuguC (3)3SSS0S(ai记 (4)2301h)()()gk(5)221SmS0(/4uUu(6)20NF01()gCi(7)hShSh/i(8)2S0 N()uui2m03/4kU203/da(9)NF0gS设非线性电路模型如图 3

11、所示，电路中各参数和非线性元件的伏安特性如式（1） ，式中 是NFg等效基波电导， 是压控非线性电感，式N()Lu（2）是 Duffing 方程的原有形式，本文称为第一形式。只有一个平衡点。加入激励源 后的方程Su为式（3） ，引入符号式（4） 、式（5） ，取式（3）的基波分量得式（6）,取非基波分量得式（7） ，如果 ，网络中的参数满足式（9） ，将式（6）S10i和式（7）相加得式（8） ，式中包含 2 种含意；其一 为 保 留 替 代 源 时 如 式 （ 8） 方 程 右 边 为 0，Shi端 口 变 量 做 正 弦 变 化 ， 振 荡 频 率 为 故 等 式uS两 边 各 自 平 衡

12、 ， 另 一 种 含 意 是 脱 离 替 代 源 ，hi此 时 式 （ 8） 由 于 撤 出 项 ， 方 程 右 边 不 为 0，Shi为 使 方 程 两 边 保 持 平 衡 ， 迫 使 端 口 变 量 变 成 非 正弦 而 有 ， 式 中 其 他 各 量 也 都 会 发 生 变 化 。Su在 的 情 况 下 又 撤消 项 ,等于替代源脱离网S10iShi络，可以说去除 项 重 新 平 衡 的 式 （ 8） 返 回 成hi为 式 （ 2） ， 不 过 要 强 调 指 出 的 是 ， 此 时 在网 络 参 数 满 足 式 （ 9） 的 前 提 条 件 下 ， 比 较S1i式 （ 8） 和 式 （

13、 2） 的 区 别 ， 式 （ 8） 含 有 可 以Shi第 1 期 黄炳华等：用基波平衡原理分析非线性振荡与混沌 67用 图 1 描 述 ， 式 （ 2） 不 含 要 用 图 2 描 述 ， 从ShiAA 端 口 观 察 两 图 的 差 别 ， 以 上 论 述 证 明 周 期 解和 基 波 解 对 应 存 在 。图 3 非线性电路3.2 第二形式(10)2320030()/ukdauC 2 2imSi03m(/4 /4BCUGdaU(11)(12)22S00/k203/(13)uv 2(.)(1)uvu=iB3220m0S1/4/C(14)i .GU(15)2322S0/ (16)220(4

14、.(4.6)13.vuv若改变非线性电感特性为 N0 ()/Lu，则可建立第二形式的杜芬方程为式20()kCL（10） ，2 种形式 Duffing 方程的主要区别在于，式（10）中 前面的负号，使方程的性质发生根本的变化：称之为第二形式，由式（10）用基波平衡原理可以解出式（11） ，式（12） 。 和 是S0mU基波解的频率和幅值。以参数 d0/C0=400，3a 3/C0=0.4 k=1 000 代入式（10）构成式（13） ，有 3 个平衡点 和 ，其E3,2中： 是鞍点做为座标原点，1(,),Eu的类型和参数 有关，2,30/1.62)0如表 1 所示。表 1 平衡点的坐标位置与雅可

15、比矩阵的特征值20U2 u v Eigenvalues 类型E1 0 0 0 42021鞍点0.8106 800 28.28 0 40j1 264.28 不稳焦点E2.33106 3 000 54.77 0 400j2 416.6 稳定焦点由式（13）用基波平衡原理解出式（14） ，式（15） 。当 时，无法找到一对正值解26031满足式（14） ，式（15） 。网络参数出现这Sm(,)U种情况，说明网络内部 2 个稳定平衡点储藏有足够能量 u=54.77，但无法释放出来形成振荡。用基波平衡原理的解释就是，从式（14）可以看出若要使 无法使 取正值，这是虚功无法平衡i0BS的表现。所谓欠缺虚功

16、是指网络内并不欠缺储能，而是欠缺不同形式的能量相互交换的能力（例如电能和磁能的交换，动能和势能的交换,只有具备这种交换的能力才会形成振荡） 。式（14）的，欠缺这种能力，故不能振荡。这个结论用i0BMATLAB 验证是正确的，不论初激值的大小，相点最后落入 2 个稳定焦点 。2,3E当 时，3 个平衡点排列成60.81结构，其中 表示不稳焦点 S 表示鞍点。FSF可以找到一对正值解 满足式（15） ，不管Sm(,)U初激值的大小如何，相图总显示有极限环。3.3 Duffing 方程的第三形式 用虚功平衡分析非线性保守系统(17)354(120/10)uuiG2244i0SmS/(810)/BC

17、U(18)244Si0/130/5/()(19)(20)224Sm75/6式（17）是不含阻尼项另一种形式的 Duffing方程，有 5 个平衡点 ，见 Math 程12345,E序 Duffing，都是不稳定的鞍点或节点，排列成，其中 S 表示鞍点，N 表示不稳定节,SN点，由式（17）用基波平衡原理可以求出式（18）式（20） 。式（17）的 ，参看 Math 程序201Duffing，当 可解出式（20） ，程序 DuffingiB还显示，使 取正值的两族闭轨线的大体范围是，S小闭轨线对应的基波解幅值大约为 ，m1.265U大闭轨线的大体范围是 ，在这 2 个范围m34内，式（17）的括

18、号内构成一个恢复力。可以找68 通 信 学 报 第 29 卷到一定的正实数值 使 ，其意义是在恢复Si0B力范围内，有一个振荡频率能满足虚功平衡故振荡存在。用 MATLAB 仿真分析证明，当初激值在左右变化时，相图显示存在两簇大小不同01.9u的闭轨线， 时出现小闭轨线；当0.时出现大闭轨线，如图 4图 6 所示。这0.两簇闭轨线都不是极限环，图 4 的初激值 ，0.1u图 5 的 ，当 时，相图出现大闭轨线如01u0.2图 6 所示。两者幅值范围差别很大，固定闭轨线是从 跳至 ，以上结果用 Mathm.Um36程序分析和用 MATLAB 仿真验证获得一致的结论。图 4 小闭轨线一，初激值 0

19、.1图 5 小闭轨线二，初激值 1图 6 大闭轨线在满足 ， 的条件下，只要有合适i0GiB的正实数解 存在，则电路存在有周期解,mS()U式（17）从 Math 程序 Duffing 以及 MATLAB 相图 4图 6 可以看出，闭轨线的幅值不会出现在的区间，在这个范围内，参看式1.340（20）满足虚功平衡 的频率 必须取负值，iBS说明在此范围内式（17）的括号内构成一个排斥力，虚功无法平衡，振荡不存在。由此可见，在实功平衡恒成立的非线性保守系统，虚功平衡成为确定振荡性状的惟一依据。4 四漩涡结构的混沌振荡(21)1C1C20N2LL2()Vgii式中 357N1NNiaVaV(22)C

20、g0id/(23)246NF13m57m/8/12.8gaVaV3570CN01NN()iiga(24)(25)24601357a蔡氏电路如图 7 所示，各参数为 L=0.0 082; c1=0.0 055106; c2=0.05106; g0=0.752103; a1=0.000 834 234; a3=6.1104/3;a5=5.8104/5; a7=1.28104/7。第 1 期 黄炳华等：用基波平衡原理分析非线性振荡与混沌 69图 7 蔡氏电路列 状 态 方 程 式 （ 21） ， 参 看 Math 程 序 chua-1,式（ 24） 的 和 的 伏 安 关 系 曲 线 如 图 8 所

21、 示 ，0NgiCV令 电 感 短 路 、 电 容 开 路 求 平 衡 点 得 ， 即0Ngi曲 线 和 横 轴 的 7 个 交 点 为 各 平 衡 点 在 的 座 标C1V值 。 各 平 衡 点 的 座 标 位 置 和 雅 可 比 矩 阵 的 特 征 值如 表 2 所 示 。图 8 伏安曲线表 2 各平衡点的座标位置和雅可比矩阵的特征值iL vc2 vc1 Eigenvaluesf1 点 0.001 427 95 0 1.898 88 121 200, 621.862j45 945f2 点 0.001 105 42 0 1.469 97 50 937.3, 16 550.3j36 060f3

22、 点 0.000 571 323 0 0.759 738 42 658.7, 4 605.73j32 112.7f4 点 0 0 0 31 549, 15 818.7j30 094.3f5 点 0.000 571 323 0 0.759 738 42 658.7, 4 605.73j32 112.7f6 点 0.001 105 42 0 1.469 97 50 937.3, 16 550.3j36 060f7 点 0.001 427 95 0 1.898 88 121 200, 621.862j45 945(26)20S2Si NFmeqNFm(1/)()(gCLGgV(27)20SSi 2S

23、1/)(gBCL在一个 结构的电路，会产生双漩涡PO（double scroll）的混沌振荡 5。设 均为正,实数，记 O 型平衡点的特征根为 ,记 P(,j)型平衡点的特征根为 ，在三维空间中(,j)O 型点含一维不稳定流形， 含二维不稳定流形，P相点离开 O 型点的第一瞬间有两种可能的走向，或趋向 或趋向 ，而相点离开 型点的第一P瞬间只有一种走向即螺旋卷出，因而中间的 O 型点形成联系左右 2 个漩涡的键波 6，这是产生双漩涡结构相图的一个重要原因，可见混沌的产生和多平衡点有密切的关系。其次，用基波平衡原理求证混沌振荡的机理，以任意频率 的电压源激励端口，用正弦相量法S或平衡方程系数法，

24、求出图 7 电路端口的输入导纳为式(26)、式 (27)。可以进一步求出有两组基波解 满足 。因为有 2 个周期解Sm(,)Vii0,GB同时满足方程式（21） ，故可在任一瞬间任一相点从一个周期解转向另一个周期解，这是产生混沌轨线遍历性混乱性的重要原因。用基波平衡原理要注意到在端口施加正弦激励源 ，当进入网络的基波电流 时，实功SuS10i的条件严格成立，但端口的虚功没有平衡，i0G维持振荡的要求显然是 ，由程序 chua-2 的iB作图语句可以看出当 时，S(276.,452.)恒有 ，在蔡氏电路 Bi 仅和 有关和 Um 无iBS关，又由三维作图的语句可以看出，在上述的频率范围内，当 时

25、有无数组的 满m(0,3)US(,)足 ，可见原理在推广的意义上，基波ii0,G解显然存在。关于混沌在轨线遍历性的基础上，蔡氏电路又表现为多璇涡结构 6，其中 是 P 型焦1357,ff节点， 是 O 型焦节点， 7 点的排列为246,f，曲线图 8 显示共包含有 3 个P结构，, 即 ； ；123(,)f45(,)f。显然可以产生四璇涡结构的相图，这567()f个结论可用 MATLAB 的相图验证。以 3 个 O 型点 为座标原点，可以验证246,f基波平衡原理的正确性。座标平移时，式(26)惟一发生变化的是 ，因此只要求出 的NFm()gVNFm()gV变化量就可以了。平衡点 是平移前的座

26、标原点，4f等效基波电导 如式（23） ，当平衡点从 平移4f70 通 信 学 报 第 29 卷到 或 后， 的增加量参看程序 chua-3 最后2f6NFg一个语句为(28)NFF243mm(0.98.3140.586)10gincreasdU这说明坐标体系平移后，和平移前比较起来，在新的原点上作正弦振荡，在幅值较小时，新坐标贡献的基波电导，比原坐标贡献的基波电导，新增的是负值，即元件 在 或 贡现出较多Ng2f6的负电导。随电压的增大，新增加贡献的基波电导变成正值，即元件 在 或 贡现出的负电导减少了。相点进入另 2 个 O 型点时，也会产生和原点类似的双漩涡振荡，故 3 个 结构，P能形

27、成四璇涡的结构如相图 9 所示。如果图 8 的伏安特性采用分段线性化的折线，使折线和横轴的交点 f2， f6 的斜率，和交点 f4 的斜率相等，则。相同的正弦激励 uS 作用在 3 个NF0g246,f坐标原点，对 贡献的基波量是相同的。4 个漩涡Ni的大小形状会相同。由于 如式（28）所示，NFg说明在图 8 新的座标原点 f2， f6，曲线斜率的变化趋势，加剧了相轨线卷出时的收敛速度，故当中以 为中心的双璇涡卷较长较大，靠两边以4f为中心的双璇涡,由于相轨线卷出时的收敛速26度加快，故在靠尽头两边的涡卷较短较小，在边界处有被压缩的形状。5 结束语用基波平衡原理可以分析，随 的变化mU和 符

28、号值的变化情况，从而imS(,)GUimS(,)B可以进一步分析在 Um 范围内相图性状的变化规律。对 于 含 多 个 平 衡 点 的 非 线 性 电 路 ， 如 果 以 不 同的 平 衡 点 为 坐 标 体 系 的 原 点 ， 在 端 口 作 用 频 率 和 幅值 可 变 的 正 弦 源 uS， 求 在 uS 的 作 用 下 ， 非 线 性 元件 贡 献 的 基 波 电 流 和 等 效 基 波 电 导 ， 在 各 个 不 同 的平 衡 点 ， 这 个 贡 献 量 是 不 同 的 ， 因 而 对 于 不 同 的 平衡 点 ， Um 范 围 的 稳 定 性 和 振 荡 性 状 也 是 不 同 的

29、 。基 波 平 衡 原 理 的 应 用 ， 如 果 只 用 一 个 座 标 体 系 ， 将分 析 范 围 推 广 到 是 不 可 能 得 到 正 确 结 果 的 。必 须 以 各 平 衡 点 为 坐 标 原 点 ， 对 网 络 各 个 平 衡 点 都进 行 分 析 ， 然 后 综 合 各 平 衡 点 的 分 析 结 果 ， 才 能 得出 网 络 全 局 的 稳 定 性 和 振 荡 性 状 的 正 确 结 果 。图 9 四漩涡结构参考文献：1 黄炳华. 非线性电子网络的基波分析法J. 固体电子学研究和进展, 2003, 23(1): 35-41.HUANG B H .Fundamental wa

30、ve analysis for nonlinear electronic networsJ. Research & Progress of Solid State Electronics, 2003, 23(1): 35-41.2 黄炳华. 各类自激振荡的基波分析法J. 固体电子学研究和进展, 2005, 25(1): 102-107.HUANG B H. Fundamental wave analysis of various self-excited oscillationJ. Research & Progress of Solid State Electronics, 2005, 25

31、(1): 102-107.3 黄炳华. 用基波平衡原理分析非线性电子网络的稳定性J. 固体电子学研究和进展, 2006, 26(1): 43-48.HUANG B H. Analysing stability of nonlinear electronic networks using fundamental-wave balance princpleJ. Research & Progress of Solid State Electronics, 2006, 26(1): 43-48.4 CHUA L O. Linear and Nonlinear CircuitsM. New York:

32、 McGraw-Hill Company Inc, 1987.432.5 CHUA L O. Intermittency in a piecewise-linear circuitJ. IEEE Tran on CAS, 1991, 38(5): 510-520.6 禹思敏, 丘水生, 马在光. 多涡卷混沌与超混沌吸引子研究的新结果A. 2002 中国非线性电路与系统学术会议论文集C. 2002.YU S M, QIU S S, MA Z G. New resullts of study of generating multiple-scroll chaotic attractorsA. Pr

33、oceedings 2002 Nonlinear Circuits and SystemsC. 2002.7 黄炳华. 电子网络振荡与稳定的基波分析法J. 电子科技大学学报, 2006, 35(1): 47-50.HUANG B H. Fundamental wave analysis of oscillation and stability for electronic networks J. Journal of University of Electronic Science and Technology of China, 2006, 35(1): 47-50.8 黄炳华. 功率平衡基

34、础上的基波分析法J. 电子学报, 2007, 35(10): 1994-1998.HUANG B H. Fundamental wave analysis based on power balanceJ. Acta Electronica Sinica, 2007, 35(10): 1994-1998.第 1 期 黄炳华等：用基波平衡原理分析非线性振荡与混沌 71作者简介：黄炳华（1940-），男，福建厦门人，广西大学教授，主要研究方向为信号与系统、非线性电路与混沌、用基波平衡原理求非线性微分方程的定性解等。黄新民（1945-），男，广西贺州人，广西大学数学与信息科学学院教授，主要研究方向为复分析及数值计算。韦善革（1976-），男，壮族，广西东兰人，广西大学电气工程学院讲师，主要研究方向为数字信号处理。