点、直线和圆的位置关系教案.doc

1、1点、直线和圆的位置关系适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级适用区域 通用 课时时长（分钟） 120知识点1、点和圆的位置关系2、直线和圆的位置关系3、切线的判定、切线长定理 教学目标1、掌握点和圆及直线和圆的位置关系并能解决相关的数学问题2、培养学习数学的兴趣，提升解题能力教学重点 掌握点和圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系教学难点 直线和圆的位置关系综合题的解答.教学过程一、课堂导入问题：观察上面太阳升起的图片，思考直线和圆有怎样的位置关系？2二、 复习预习1、圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半2、圆周角定理的推论： （1）同圆或

2、等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.（2）半圆（或直径）所对圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径3、其它推论：圆周角度数定理，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等.圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.三、知识讲解考点 1点与圆的位置三种位置关系3如图 1 所示，设O 的半径为 r，A 点在圆内，OArB 点在圆上，OB = rC 点在圆外，OCr反之，在同一平面上，已知的半径为 rO，和 A，B ，C 三点：若 OAr，则 A 点在圆内 若 OB

3、= r，则 B 点在圆上 若 OCr，则 C 点在圆外考点 2直线和圆的位置关系（设圆心到直线的距离为 d,圆的半径为 r.）1、当 dr 时，直线与圆相离(如图所示）2、当 dr 时，直线与圆相交（如图所示）3、当 d=r 时，直线与圆相切（如图所示） ，此时直线即为圆的切线.图 1 4考点 3切线的判定和性质1、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径2、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线考点 4 切线长定理 1、切线长定义：从圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做

4、这点到圆的切线长(如图 AB 长度即为切线长）.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，这两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.如图所示，PA,PB 为圆的两条切线，则 PA=PB,APO=BPO.5考点 5三角形的内心外心经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心这个三角形叫做这个圆的内接三角形三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心

5、就是三角形三条内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。四、例题精析例 1 【题干】若圆的半径为 4cm，如果一个点和圆心的距离为 6cm，则这个点和这个圆的位置关系是（ ）A点在圆上 B点在圆外C点在圆内 D点在圆内或点在圆外【答案】B【解析】圆的半径为 4cm，点和圆心的距离为 6cm，4 6，这个点和这个圆的位置关系是点在圆外故选 B例 2 【题干】如图所示，正方形 ABCD 的边长为 2，AC 和 BD 相交于点 O，过 O 作 EFAB，交 BC 于 E，交AD 于 F，则以点 B 为圆心， 长为半径的圆与直线 AC，EF 的位置关系分别是多少？6【答案】由题中已知条件，得BOAC

6、，BO= BD= = ，即点 B 到 AC 的距离为 ，与B 的半径相等；直线 AC 与B 相切EFAB，ABC=90 ，BEEF，垂足为 E且 BE= BC= 2=1 ，直线 EF 与B 相交【解析】此题重点是根据题意和正方形的性质，分别找到圆心到直线的距离，再根据数量关系判断其位置关系若 dr，则直线与圆相交；若 d=r，则直线于圆相切；若 dr，则直线与圆相离例 3 【题干】如图，在直角坐标系 XOY 中，已知两点 O1（3 ，0） 、B（-3，0 ） ，O 1与 X 轴交于原点 0 和点A，E 是 Y 轴上的一个动点，设点 E 的坐标为（0，m） （1）当点 O1到直线 BE 的距离等

7、于 3 时，问直线 BE 与圆的位置关系如何？求此时点 E 的坐标及直线 BE的解析式；（2）当点 E 在 Y 轴上移动时，直线 BE 与O 1有哪几种位置关系？直接写出每种位置关系时的 m 的取值范围78【答案】 （1）当 m0 时，如图所示：由已知得 BE 是O 1的切线，设切点为 M，连接 O1M，则 O1MBM，O1M=3，O1（3，0 ） 、B（-3，0） ，BO1=6，BM= = =3 ，又OEBO，RtBOERtBMO1， = ，即 = ，OE= ，m= ，E（0 ， ）设此时直线 BE 的解析式是 y=kx+m，将 B（-3，0）及 E（0， ）代入上式，解得 ，直线 BE 的

8、解析式为：y= x+ ，当 m0 时，E（0，- ）由圆的对称性可得：k=- ，m=- 时，直线 BE 也与O1 相切，同理可得：y=- x- （2）当 m 或 m- 时，直线与圆相离，9当 m= 或 m=- 时，直线与圆相切，当- m 时，直线与圆相交10【解析】 （1）根据题意得出O1 的半径，判断出直线 BE 与O 1的关系，根据题意画出直线 BE，连接O1M，由利用勾股定理求出 BM 的长，由相似三角形的判定定理得出 RtBMO1RtBOE，求出 BE 的长，进而得出 E 点坐标，用带定系数法即可求出直线 BE 的解析式，根据对称的性质可知当 m0 时的直线解析式；（2）根据（1 ）所

9、求出的 m 的值，分三种情况进行讨论，即可得出直线 BE 与O 1的位置关系例 4 【题干】已知O 的半径为 5cm，P 为圆外一点， A 为线段 OP 的中点，当 OP=12 时，点 A 和O 的位置关系是（ ）A点 A 在O 内B点 A 在O 外C点 A 在O 上D无法确定【答案】B【解析】A 为线段 OP 的中点， OP=12，OA=6，OA 5，点 A 在O 外，故选 B例 5 【题干】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以点 A（3，0 ）为圆心的圆与 x 轴交于原点 O 和点 B，直线 l与 x 轴、y 轴分别交于点 C（-2，0） 、D （0，3） （1）求出直线 l 的解析式；

10、（2）若直线 l 绕点 C 顺时针旋转，设旋转后的直线与 y 轴交于点 E（0，b） ，且 0b3，在旋转的过程11中，直线 CE 与A 有几种位置关系？试求出每种位置关系时，b 的取值范围【答案】 （1）设直线 l 的解析式为： y=kx+b，将点 C（-2，0） 、D（0， 3）的坐标代入有： ，解得：k= ，b=3 直线 l 的解析式为：y= （2）由题意得：旋转得到的直线 l 的解析式为： y= ，当直线与圆相切时，有 =3，解得：b= ，当 0 b 时，直线与圆相离；当 b= 时，直线与圆相切；当 b3 时，直线与圆相交【解析】 （1）设直线 l 的解析式为： y=kx+b，将点 C

11、（-2，0） 、D （0，3 ）的坐标代入求出 k，b 的值即可；（2）直线 CE 与A 有相交、相切和相离 3 种位置关系，然后分别求出对应情况下的 b 的取值范围即可12例 6 【题干】如图，A 与B 外切于点 D，PC ，PD，PE 分别是圆的切线，C ，D ，E 是切点，若CED x，ECD y，B 的半径为 R，则 E的长度是（ ）A 90x B 90RyC 18R D 18【答案】B【解析】：由切线长定理，知：PEPD PC ，设 PECz所以，PEDPDE （xz ） ，PCEPECz，PDCPCD（yz），DPE（180 2x2z ） ，DPC（180 2y2z ），在PEC

12、中，2z（180 2x2z）（180 2y2z ）180，化简，得：z（90xy） ，在四边形 PEBD 中，EBD（180DPE）180（1802x2z ）（2x2z）（2x180 2x 2y）（1802y） ，所以，弧 DE 的长为： (1802)yR 90y1314例 7 【题干】如图 1，圆 O1与圆 O2都经过 A、B 两点，经过点 A 的直线 CD 与圆 O1交于点 C，与圆 O2交于点 D经过点 B 的直线 EF 与圆 O1交于点 E，与圆 O2交于点 F（1）求证：CEDF；（2）在图 1 中，若 CD 和 EF 可以分别绕点 A 和点 B 转动，当点 C 与点 E 重合时（如

13、图 2） ，过点 E 作直线 MNDF，试判断直线 MN 与圆 O1的位置关系，并证明你的结论15【答案】 （1）证明：连接 AB；四边形 ABEC 是O 1的内接四边形，BAD=E又 四边形 ADFB 是O 2的内接四边形，BAD+F=180E+F=180CEDF（2） 【 解析】MN 与O 1相切， 过 E 作O 1的直径 EH，连接 AH 和 AB；MNDF，MEA=D又D=ABE，ABE=AHE，MEA=AHEEH 为O 1的直径，16EAH=90AHE+AEH=90MEA+AEH=90又EH 为O 1的直径，MN 为O 1的切线17【解析】 （1）只需连接 AB，利用“圆的内接四边形

14、的外角等于内对角”证明E+F=180，从而证明CEDF；（2）作辅助线：构造直径所对的圆周角是 90利用平行线的性质求出ABE=AHE，根据“圆的内接四边形的外角等于内对角”得出D=ABE，所以得到MEA=AHE，MEA+AEH=90，利用切线的判定定理，可知 MN 为O 1的切线例 8 【题干】如图，以点 O（1，1）为圆心，OO为半径画圆，判断点 P（-1，1） ，点 Q（1，0 ） ，点R（2， 2）和 O的位置关系【答案】OO=r= = ，OP= =2同理可得：OQ=1 ，OR= ， OPr，点 P 在O 外；OQr，点 Q 在O内；OR=r，点 R 在O 上【解析】点与圆的位置关系由

15、三种：设点到圆心的距离为 d，则当 d=r 时，点在圆上；当 dr 时，点在圆外；当 dr 时，点在圆内1819例 9 【题干】已知：如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD，求证：DC 是O 的切线【答案】证明：连接 OD OA=OD， 1=2 ADOC， 1=3，2=4因此 3=4又 OB=OD，OC=OC， OBCODCOBC=ODCBC 是O 的切线， OBC=90，ODC=90 DC 是O 的切线【解析】因为 AB 是直径， BC 切O 于 B，所以 BCAB要证明 DC 是O 的切线，而 DC 和O 有公共点 D，所以可连接 OD，只要证明 D

16、COD也就是只要证明ODC=OBC.而这两个角分别是ODC 和OBC 的内角，所以只要证ODCOBC 这是不难证明的20例 10【题干】如图，将直角梯形 ABCD 置于直角坐标系中，点 A 和点 C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，点 D 和坐标原点 O 重合已知： BCAD，BC=2 ，AD=AB=5 ，M （7 ，1） ，点 P 从点 M 出发，以每秒 2 个单位长度的速度水平向左平移，同时点 Q 从点 A 沿 AB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 移动，设移动时间为t 秒（1）直接写出点 Q 和点 P 的坐标（用 t 的代数式表示） （2）以点 P 为圆心，t 个单位长度为半径

17、画圆当P 与直线 AB 第一次相切时，求出点 P 坐标，并判断此时 P 与 x 轴的位置关系，并说明理由设P 与直线 MP 交于 E、F（E 左 F 右）两点，当QEF 为直角三角形时，求 t 的值【答案】 （1）点 P（7-2t ，1 ） ，Q（5- t， t） ；（2） 当P 与直线 AB 第一次相切时，则点 P 到直线 AB 的距离 （7-2t-5+ t）=t，解得 t= ，则点 P（ ，1 ） ，此时P 与 x 轴相离；21根据题意，得 E（7-3t，1） ，F（7-t，1 ） 要使QEF 为直角三角形，若 EF 是斜边：根据勾股定理，得（2- t） 2+2（1- t） 2+（2- t

18、） 2=4t2，解得 t= 若 QE 是斜边：（ -4） 2+4t2=（ t-4） 2，解得 t= ；若 QF 是斜边：4t 2+（ -4） 2=（ -4） 2，解得 t=5【解析】 （1）点 P 的纵坐标是 1，横坐标即为点 M 的横坐标减去运动的路程；点 Q 的坐标运用解直角三角形的知识求解；（2） 根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于半径可以求得 t 的值，再进一步判断此时P 与 x 轴的位置关系；分别表示点 E 和点 F 的坐标，根据勾股定理的逆定理求解即可22课程小结1、本节课我们学习了点、直线与圆的位置关系，当我们判断直线与圆的位置关系时，应该用数量关系（圆心到直线的距离）来体现，即上面讲解的圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小，从而断定是哪种关系。2、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心连线平分两条切线的夹角。