1、1数 学 考点 52010 年高考数学试题分类解析【考点 5】导数及其应用1、 （18） （重庆理） （本小题满分 13 分， （I）小问 5 分， （II ）小问 8 分）已知函数 1ln,xfa其中实数 .1a（）若 a=-2，求曲线 yf在点 0f处的切线方程；（）若 fx在 x=1 处取得极值，试讨论 x的单调性。解：（I） .1)(1)() 22 aaxf当 a=2 时， ，0,470)()02ff 而因此曲线 在点 处的切线方程为 ，xfy,f )0(47)21(xy即 .0247x（II）因 由（I）知,1a .211)()12aaf又因 处取得极值，所以)(xf在 0f即 .3
2、,021aa解 得此时 ),1ln()(xxf其定义域为 ，且,)1(71)3(2) 2xxxf由 .,0f得当 时， 时，71x或 7,0)( xxf且当 .0)(xf由以上讨论知， 在区间 上是增函数，在区间（1，3）上是减函数)(f)2数 学 考点 52、 （22） （浙江)（本题满分 14 分）已知 a 是给定的实常数，设函数是 的一个极大值点.,)(2Rbexaxf x)(xf（I）求 b 的取值范围;（II）设 是 的 3 个极值点，问是否存在实数 b，可找到 ，使得 的某321,)(f Rx4 4321,x种排列 （其中 ）依次成等差数列？若存在，示所有的 b 及4,iix4,3
3、21,4321ii相应的 若不存在，说明理由.;4（）解： 22()()fxcaxbxa令 3gb则 2 2()4()(1)80.于是可设 是 0gx的两实根，且12, 2,x（1）当 时，则 不是 的极值点，此时不合题意xa或 a()f（2）当 时，由于 是 的极大值点，12且 x故 .x即 ()0ga即 23)20ba所以 所以 的取值范围是（-， ）（）解：由（）可知，假设存了 及 满足题意，则bx（1）当 时，则21xax4241aa或于是 13.即 3.b此时 242(1)826xabaa或 1 .（2）当 时，则21xx2122()()()xxa或3数 学 考点 5若 2212()
4、,axxax则于是2123)(1)83bb即 ()8()aba于是 9132此时 2()(3)13.42axababa若 1122(),x则于是2213)()83ababax即 ()8()b于是 913.2a此时 12()(3)13.42xababa综上所述，存在 满足题意当 43,26bx时当 47113,aa时当 43,.22b时3、 （21） （天津） （本小题满分 14 分）已知函数 ()()xfcR（）求函数 的单调区间和极值；4数 学 考点 5（）已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，证明当 时，()ygx()yfx1x1x()fx（）如果 ，且 ，证明1212()fxf1
5、2x（）解：f ()xe令 f（x）=0, 解得 x=1当 x 变化时，f（x） ，f（ x）的变化情况如下表X （ ）,11 （ ）1,f（x） + 0 -f（x） A极大值 A所以 f（x）在（ ）内是增函数，在（ ）内是减函数。,11,函数 f（x）在 x=1 处取得极大值 f（1）且 f（1）= e（）证明：由题意可知 g（x）=f（2-x）,得 g（x） =（2-x） 2x令 F（x）=f （x）-g （x）,即 2()()Fe于是 2()1(xe当 x1 时，2x-20,从而 （x）0,从而函数 F（x）在1,+）是增函数。-0,Fxe又 所 以又 F（1）= F（x）F（1）=0
6、,即 f（x）g（x） -1e， 所 以 时 ， 有（）证明：（1）若 2 1212()0,),.x12由 （ ） 及 f(f则 与 矛 盾 。（2）若 1() )xx由 （ ） 及 x(得 与 矛 盾 。根据（1） （2）得 1212()0,.x不 妨 设由（）可知， ,则 = ，所以 ,从而 )fg2()f-)2f()2f-)1f(因为 ，所以 ，又由（）可知函数 f（x）在区间（- ，1）内事增函数，)2f(-2xx所以 ,即 2115数 学 考点 54、 （22） （四川） （本小题满分 14 分）设 （ 且 ） ， 是 的反函数1xaf()01ag(x)f（）设关于 的方程 在区间
7、上有实数解，求 的取值范围；x27atlo()()26,t（）当 （ 为自然对数的底数）时，证明： ；ae 221nkng()()（）当 时，试比较 与 4 的大小，并说明理由1201nkf()解：（）由题意，得 ,0yan故 ).,1(),(,1log)( xxa由 得log)7(l2taa ).5(1351836,2,)(2 xxtx则列表如下：2 （2，5） 5 （5，6） 6t 0 5 极大值 25所以 32,最 大 值最 小 值 tt所以 t 的取值范围为5，32（5 分）（） 1143)(2 nnkgn 2)1()5n6数 学 考点 5.),0()0)1(12,2)(上 是 增 函
8、 数在所 以则令 zuzznnz)9()1(2)(,0)(21)(21 )1(2(,2 分即却 所 以又 因 为 nkgnn nn（） 1)(21)(),*,2.42)(, 321, kkppfNknf nfp则时设 时当 时当 则设 nPCPC24242nnfkf nkkCkf122411)( .11)()(1所 以从 而所 以综上，总有 （14 分）.4)(1n5、 （陕西 21 ） （本小题满分 14 分）已知函数 f（x） = ，g（x）=alnx ，a R.（I）若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求 a 的值及该切线的方程；（II）设函数 h(x)
9、=f(x) g(x),当 h(x)存在最小值时，求其最小值 （a）的解析式；7数 学 考点 5（III ）对（ 2）中的 （a ） ，证明：当 ).2()()2( baaba 解:（I） ),0(),1)( xgxf由已知得 =alnx，= ， 解得 a= ,x=e2,12e两条曲线交点的坐标为（e 2，e） 切线的斜率为efk21)(切线的方程为 ye= (x e2).1（II）由条件知 .21)(,0ln)( xaxhaxh （i）当 a.0 时，令 h ( x)=0,解得 x= , 24所以当 0 时，h ( x)0，h(x) 在（0， ）上递增。2 2x 是 h(x)在（0， + ）上
10、的唯一极致点，且是极小值点，从而也是 h(x)的 最小值点.a最小值 （a）=h( )= 2a a ln =2424（ii）当 a 0 时， 递增，无最小值.),0(),)( 在xhxh故 h(x) 的最小值 （a）的解析式为 2a(1ln2a) (a0)（III ）由（ II）知 （a）=2ln2 a.对任意的 ,0b， ba4ln2lln2)(,)l()l 2aabbba 4lnlln()(8数 学 考点 5故由，得 ).2()()2( baaba 6、 （7） （山东 5 分）由曲线 围成的封闭图形面积为3,xy（A） （B） （C） （D）12411127答案：7、 （山东 22） （
11、本小题满分 14 分）已知函数 .)(1)( Raxanxf （）当 时，讨论 的单调性；21a)(f（）设 时，若对任意 ，存在 ，使 ，4.)(bxg当 )2,0(1x2,1x)(21xgf求实数 的取值范围.解：（）因为 1()lnafx所以21() (0,)afx x令 2,(0,)hx（1）当 0)1(,)ahx时所以，当 ，函数 单调递减；(,1(,)xxf时 此 时 (fx当 时， ，此时 单调递,)(0,x函 数 )（2）当 0a时 由 f(=即 ，解得1x12,1xa当 时， 恒成立，22,()0xh此时 ，函数 在（0，+）上单调递减；()0ff当 1,a时时， 单调递减；
12、(,)x()(),()hxfxfx此 时 函 数时， 单调递增；1a0,0此 时 函 数9数 学 考点 5，此时 ()0fx，函数 ()fx单调递减；1(,),(0xhxa时当 时，由于01a时， ，此时 ，函数 单调递减；(,)x()x()fx()fx时， ，此时 ，函数 单调递增。10h0综上所述：当 时，函数 在（，）上单调递减；0a()fx函数 在（，）上单调递增；()fx当 时，函数 在（0，+）上单调递减；12()fx当 时，函数 在（0，1）上单调递减；0a函数 在 上单调递增；()fx1,)函数 上单调递减，a在（）因为 ，由（）知，(0,)2，当 ，1,3x(,1)x时 f(
13、x0函数 单调递减；当 时，()f 2函数 单调递增，所以 在（0，2）上的最小值为x()fx1()2f由于“对任意 ，存在 ，使 ”等价于1(,1,1()fxg“ 在1，2上的最小值不大于 在（0，2）上的最小值 ” （*）()gx()f又 ，所以22)4,bx当 时，因为 ，此时与（*）矛盾；1min(1)5gb当 时，因为 ，同样与（*）矛盾；,22i40,x当 时，因为()bmin()()84g10数 学 考点 5解不等式 ，可得1842b7.8b综上， 的取值范围是 ,)8、 （全国 I，20） （本小题满分 12 分） 已知函数 .1ln)(xxf（）若 ，求 的取值范围；1)(2axfx（）证明： .0)(f解：（） ,lnl)( xxxf 1ln题设 等价于)(2axfx .la令 .1)(,lgg则当 时， ；10x0x当 时， ，)(的最大值点，xg是.1)(gx综上， 的取值范围是a.,1（）由（）知， 即)(x.0lnx当 时，10x .0)1(l1l)( xf当 时；)1ln(l)(xfnx)(ll.0所以 .0)(1xf9、 （全国 2，22） （本小题满分 12 分）设函数 xfe
