1、线代框架之线性方程组1.线性方程组的形式： 线性方程组的矩阵式 ，其中Ax1211122212,nmmnnmaaxbx向量式 ，其中12nxx 2,jjmj 1212(,)nxx 2.齐次线性方程组 一定有零解， 有非零解0Ax0Ax()Arn的 列 向 量 线 性 相 关推论 1：当 m n（即方程的个数 未知数的个数）时，齐次线性方程组必有非零解。推论 2：当 m=n，齐次线性方程组有非零解的充要条件是 |0注：（其中 n 为未知数的个数）一个齐次线性方程组的基础解系不唯一3.非齐次线性方程组解的判定：注： （导出组有非零解=有 解）Ax有 无 穷 多 解 其 导 出 组 有 非 零 解有
2、 唯 一 解 其 导 出 组 只 有 零 解 非齐次有解 可 由 A的 列 向 量 线 性 表 出 注意：n 个未知数 n 个线性方程的线性方程组可用克拉默法则判断解的存在情况：系数行列式 D 0 则有解且解唯一。 （若无解或有两个不同解则 D=0）4.线性方程组解的性质：1212121212 12(),0,3,(4), 0,5, , 06k kAxAxAxAx 是 的 解 也 是 它 的 解是 的 解 对 任 意 也 是 它 的 解 齐 次 方 程 组 是 的 解 对 任 意 个 常 数 也 是 它 的 解 是 的 解 是 其 导 出 组 的 解 是 的 解是 的 两 个 解 是 其 导 出
3、 组 的 解 12122, 0(7) , ,k 是 的 解 则 也 是 它 的 解 是 其 导 出 组 的 解是 的 解 ， 是 的 基 础 解 系则 方 程 组 的 通 解 是 5线性方程组经初等变换化为阶梯形方程后，每个方程中的第一个未知量通常称为主变量，其余的未知量称为自有变量如何确定自有变量并赋值：（1）对系数举矩阵作初等行变换化为阶梯形（2）由 R（A）确定自有变量的个数 n-R（A）（3）找出一个秩为 R（A）的矩阵，则其余的 n-R（A）列对应的就是自由变量（4）每次给一个自由变量赋值为 1，其余的自由变量赋值为 0（注意：共需赋值 n-R（A）次）注：只有知道 R（A） ，才能
4、知道基础解系或通解的结构。非齐次线性方程组的求解方法：（1）对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形（2）求导出组的一个基础解系（3）求方程组的一个特解（为简捷，可令自由变量全为 0）（4）按解的结构写出通解注:当方程组中含有参数时，分情况讨论要严谨，不要丢情况，此时的特解往往比较繁琐。6.齐次方程组 与 同解（ 列向量个数相同） 矩阵 与 的行向量组等价 （左乘可逆矩阵 ） R(A)=R(B)0AxB,ABmnAlBPABP设 为 矩阵,若 , 一定有解，mn()rm()rx当 时,一定不是唯一解 ,则该向量组线性相关. 是 的上限.方 程 个 数 未 知 数 的 个 数向 量 维 数 向 量 个 数 ()r和
