1、排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用捆绑法：当要求某几个元素必须相邻（挨着）时，先将这几个元素看做一个整体， （比如：原来 3 个元素，整体考虑之后看成 1 个元素）然后将这个整体和其它元素进行考虑。这时要注意：一般整体内部各元素如果在前后顺序上有区别的还需进行一定的顺序考虑。插空法：当要求某几个元素必须不相邻（挨着）时，可先将其它元素排好，然后再将要求不相邻的元素根据题目要求插入到已排好的元素的空隙或两端位置。插隔板法：指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比分组数目少 1 的隔板插入到元素中的一种解题策略。题目特点：“若干相同元素分组” 、 “ 每组至少一个元素”
2、 。例 1：一张节目表上原有 3 个节目，如果保持这 3 个节目的相对顺序不变，再添进去 2 个新节目，有多少种安排方法？ A.20 B.12 C.6 D.4分两种情况考虑1、这两个新节目挨着，那么三个节目有 4 个空，又考虑到这两个节目的先后顺序共有 2 =8 种14C2、这两个节目不挨着，那么三个节目有 4 个空，这就相当于考虑两个数在 4 个位置的排列，由 =12 种2P综上得，共 8+12=20 种 此题中使用了捆绑法和插空法。例 2：A、B、C、D、E 五个人排成一排，其中 A、B 两人不站一起，共有（ ）种站法。A.120 B.72 C.48 D.24插空法:我们来这样考虑，因 A
3、、B 两人不站一起，故可考虑的位置 C、D、E，C、D、E 三个人站在那有一共留出 4 个空，将 A、B 分别放入这 4 个空的不同的空中，那就是 4 个空中取 2 个空的全排列，即=12。这样考虑了之后，还有一点就是 C、D、E 三个人也存在一个排列问题，即 =6，综上，共有2P 3P6*12=72 种例 3：A、B、C、D、E 五个人排成一排，其中 A、B 两人必须站一起，共有（ ）种站法。A.120 B.72 C.48 D.24捆绑法：此题和上一题实质是一样的，我们来这样考虑，A、B 两人既然必须站在一起，那么索性我们就把他们看成一个人，那么我们就要考虑其和 C、D、E 共 4 个人的全
4、排列，即 =24，又因为 A、B 两人虽然是4P站在一起了，但还要考虑一个谁在前谁在后的问题，这有两种情况，也就是 =2，综上，共有 48 种。2例 4：将 8 个完全相同的球放到 3 个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？A. 20 B.21 C.23 D.24插隔板法：解决这道题只需将 8 个球分成三组，然后依次将每一个组分别放到一个盒子中即可。8 个球分成3 个组可以这样，用 2 个隔板插到这 8 个球中，这样就分成了 3 个组。这时我们考虑的问题就转化成了我们在 8 个球的空隙中放 2 个隔板有多少种放法的问题。8 个球有 7 个空隙，7 个空隙要放 2 个隔板，
5、就有种放法，即 21 种.27C例 5：有 9 颗相同的糖，每天至少吃 1 颗，要 4 天吃完，有多少种吃法？A. 20 B.36 C.45 D.56插隔板法：原理同上，只需用 3 个隔板放到 9 颗糖形成的 8 个空隙中，即可分成 4 天要吃的。就有 =5638C种。不邻问题插板法解题要点“不邻问题”插板法先排列，再插空“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。例 1：若有 A、B、C、D、E 五个人排队，要求 A 和 B 两个人必须不站在一起，则有多少排队方法?【解析】题目要求
6、A 和 B 两个人必须隔开。首先将 C、D、E 三个人排列，有种排法;若排成 DCE，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：DCE，此时可将 A、B 两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。由乘法原理，共有排队方法：。例 2：在一张节目单中原有 6 个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去 3 个节目，则所有不同的添加方法共有多少种?【解析】直接解答较为麻烦，可利用插空法去解题，故可先用一个节目去插 7 个空位(原来的 6 个节目排好后，中间和两端共有 7 个空位)，有种方法;再用另 一个节目去插 8 个空位，有种方法;用最后一个节目去插 9 个空位，有种方法，由乘
7、法原理得：所有不同的添加方法为=504 种。例 3：一条马路上有编号为 1、2、9 的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种?【解析】若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插 7 个空位，共有种方法(请您想想为什么不是)，因此所有不同的关灯方法有种。【提示】运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。计数之插板法总结：插板法就是插板法就是在 n 个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b）个板，可以把 n
8、 个元素分成（b+1）组的方法。应用插板法必须满足三个条件：（1）这 n 个元素必须互不相异 （2）所分成的每一组至少分得一个元素 (3)分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明：把 10 个相同的小球放入 3 个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？问题的题干满足条件（1）（2），适用插板法，C 92=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用:a 凑元素插板法 （有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法）1 ：把 10 个相同的小球放入 3 个不同的箱子，问有几种情况？2： 把 10 个相同小球放入 3 个不同箱子，第一个箱子至少 1 个，第二个箱子至少 3 个，第三个
9、箱子可以放空球，有几种情况？b 添板插板法3：把 10 个相同小球放入 3 个不同的箱子，问有几种情况？4：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如 257，1459 等等，这类数共有几个？5：有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不能再写为止，如 2349，1427 等等，这类数共有几个？答案：1、3 个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在 3 个箱子种各预先放入 1 个小球，则问题就等价于把 13 个相同小球放入 3 个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？ 显然就是 c12 2=662、我们可
10、以在第二个箱子先放入 10 个小球中的 2 个，小球剩 8 个放 3 个箱子，然后在第三个箱子放入 8 个小球之外的 1 个小球，则问题转化为 把 9 个相同小球放 3 不同箱子，每箱至少 1 个，几种方法？ c8 2=283、 -o - o - o - o - o - o - o - o - o - o - o 表示 10 个小球，-表示空位, 11 个空位中取 2 个加入 2 块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第 2 组始终不能取空, 此时 若在 第 11 个空位后加入第 12 块板，设取到该板时，第二组取球为空, 则每一组都可能取球为空 c12 2=664、因为前 2 位数字唯一对应
11、了符合要求的一个数，只要求出前 2 位有几种情况即可，设前两位为 ab显然 a+b=9 ,且 a 不为 0 1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - 。 1 代表 9 个 1，-代表 10 个空位我们可以在这 9 个空位中插入 2 个板，分成 3 组，第一组取到 a 个 1，第二组取到 b 个 1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第 10 个空时，设取到该板时第二组取空，即 b=0，所以一共有 =4520C5、类似的，某数的前三位为 abc，a+b+c=9,a 不为 01 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - -在 9 个空位种插如 3 板，分成 4 组，第一组取 a 个 1，第二组取 b 个 1，第三组取 c 个 1，由于第二，第三组都不能取到空，所以添加 2 块板设取到第 10 个板时，第二组取空，即 b=0；取到第 11 个板时，第三组取空，即 c=0。所以一共有=16531C
