1、1高等数学下期末考试2010-7-6一、填空题（4 分5=20 分）1. 若函数 在 处取得极值，则常数 .fx,yaxy22,1a_2. 曲线 ， 在点 处的一个切向量与 轴正向成钝角，则它与 轴正t23zt, ozox向夹角的余弦 .cos_3. 交换二次积分的积分次序（其中 连续）fx,y.xf,y_212010dd4. 设 为圆周 ，则 .L4Ls2A5. 若 ， 都是微分方程 的解，其,132xe3 ypxqyfx中 ， 和 都是已知的连续函数，则此方程的通解为 .pxqfx _二、单选题（4 分5=20 分）1. 二阶常系数非齐次微分方程 的特解 的形式为 （ ）.xy5cos2*
2、A B. C. D. xaecos2xaesin2xabinxaecos22. 设曲面 的外法线的方向余弦为 ， ， ，则yzR: （ ）ScodA B. C. D. 33R3R343. 设 是连续函数，平面区域 ，则 （ ）fuDx,yx201Dfxy2dA B. xfy2120ddyfC. D. 120d4. 过曲面 上点 的切平面在各坐标轴上的截距之和为 （ ）xyz5Mx,yz0A B. C. D. 00 xyz0015. 若函数 在点 处可微，则 在点 处下列结论不一定成立的是（ ）fx,y,0fx,y,A连续. B. 偏导数存在. C. 偏导数连续. D. 曲面 的切平面存在.zf
3、,三、计算题（9 分6=54 分）1. 设 ，其中 具有连续二阶偏导数，求 ， .zf,xy2f xy22. 在圆锥面 与平面 所围的锥体内作一个底面平行于 平面的长hR2zhR,0xoy方体，求此长方体体积的最大值.3. 设力场 ，其中 具有一阶连续的导数， ，Fyx,yxcossin yA,2为力场中的两点，弧 是力场中位于直线段 下方的一条光滑曲线段，B,34AmB3B且曲线弧 与线段 所围成的平面区域 的面积为 2，质点 在力场 的作用下由点 沿曲线AmDMF弧 移动至点 ，求力场 所做的功。F24. 计算曲面积分 ，其中 为曲面Ixyzyzxydddzxy2的下侧。z015. 设函数
4、 具有二阶连续的导数，且满足 ，其中 为 平面f xLeffx0ALo上任意一条分段光滑的封闭曲线，求 。f6. 求微分方程 的通解。xye2四、 （6 分）就以下四个积分，讨论第一型线积分和第二型线积分在使用对称性时的区别和理由，其中是圆 的一周，方向为逆时针。Lx21（1） （2） （3） （4）sdALydLs2dLxy2d2009-7-8一 填空题（4 分4=16 分）1. 设 ，则 .arctn0xz,yz_y2. 微分方程 的通解为 .85y3. 曲面 在点 处的法线方程为 .24ze21, _4. 设积分区域 ，则二重积分 .Dxa3sin1dDxyx_二 单项选择题（4 分4=
5、16 分）1. 函数 在点 处沿 的方向导数 为 .223uyz01M,2l,0MulA B. C. D. 13,4,352. 设 ，则 （ ）122lnuxyz1,uxA B. C. D. 4443. 微分方程 的特解 的一般形式为（ ）cosy*yA B. C. D. ecs2inxabx2sinaxbcos2axcsin2axb4. 设 是从点 沿折线 到点 的折线段，则曲线积分 （ ）L0,10A, dLyA B. C. D. 三解答下列各题（7 分9=63 分1. 求曲线 在点 处的切线方程.2sinxtyzt2. 求曲面 在点 处的切平面方程.249x6125,3. 设立体 是由上
6、半球面 和抛物面 所围成，设立体的体密度为4xyz23xyz，求立体 的质量.x,yz34. 计算二重积分11224ddyyxxIee5. 求微分方程 的通解.3y6.设 ，其中 具有二阶连续偏导数，求 ， .2ecosxzf,f zxy27. 在变力 的作用下，质点由 沿曲线inecos0xF,ya 0Aa,运动到点 ，求变力 所做的功？并问参数 为何值时， 所做的功最大？2yax0OF F8. 计算第一型曲面积分 ，其中4d3zS10234xyz,z,xy,z 9. 设 在 上有连续导数，试证曲线积分 与fu, 21d1dLffy路径无关，其中 是上半平面内的分段光滑曲线，并计算此积分当
7、是从点 到 的线段L A,B,时的值.四 （5 分）计算曲面积分 ，其中 为曲面 的322ddxyzxzyI 2231xyz外侧.2008-7-18一、解答下列各题（6 分10=60 分）1 设 ，求yxezycos,xz.y2 求曲线 在 处的切线和法平面方程.232tzyt13 求曲面 在点 处的法线方程.xe0,24 求微分方程 的通解.xey365 设 连续,交换积分次序 .yf 102102 ,xdyfdyfd6 设有一物体,它是由曲面 和 所围成,已知它在任意点 处的密z8zzyx,度 ,求此物体的质量.z7 设 是由点 到点 的直线段,求第一型曲线积分L01A2B.syxL8 计
8、算第一型曲面积分 其中 是平面 在第一卦限的部分.14yxdS164z9 设 在椭球面 点 处沿外法线方向的方向导数.22zyxu22czba00,yxM10函数 由方程 所确定,其中 有连续导数, 为不全为零的常数,计z, zuba算 .ybxa4二、 （7 分）求函数 的偏导数 ，其中 具有二阶连续偏导数。xyfz,22,xzf三、 （7 分）计算第二型曲面积分 其中 是曲面,2dyxzdxdyI 在 面上方部分，方向取上侧。2yxzo四、 （7 分）若曲线积分 ，其中 为圆周 ，方向取正向，xdyIL33L022R求 为何值时， 有最大值。R五、 （7 分已知 是方程,21xe,exxe
9、y3的特解，求 以及该方程的通解。xyay21 21a六、 （7 分）设 具有二阶连续的导数，试求 使得曲线积分f f与积分路径无关 。dxfykfkeIABx 七、 （5 分）设 为 所围成的区域， 是一元函数，且D4,4,xy F，其中 为正的连续函数，计算 ，其中vfuvFu f DdyxFyx为 的边界曲线，方向为正向。2007-7-8一、解答下列各题（每小题 6 分，共 60 分）1.设 ，求cos()yzx,.zy2.求曲线 在 处的切线和法平面方程231tzt3.求椭球面 在点 处的切平面方程.22xyz1,24.求微分方程 的通解.xe5.设 连续，交换积分次序 .,f 40d
10、,dyfx6.计算三重积分 ，其中 为 与 所围成的区域.22yzV2zy2zxy7.计算第一型曲线积分 ，其中 为右半圆周：LxsL2,0x8.计算第一型曲面积分 ，其中 是曲面 的部分.41dzS21zyz上9.求由方程 确定的隐函数 的全微分，其中 具有连续的偏导数，,0Fxayb,xF为常数.,ab10.设函数 ，求 .220,d,xyteFx二、 （7 分）求函数 的二阶偏导数 ，其中 具有二阶连续偏导数.,zf2zxyf5三、 （7 分）设 且 ，(1),0fC2221dxytfyft x求 .ft四、 （7 分）计算第二型曲面积分， 2 2cosdsin4dIxzzyzy其中 是
11、下半球面 的上侧.21zy五、 （7 分）计算 ，其中 为正常数， 为曲线sindsx xLeybeya ,abL上从 到点 的弧段.2ya,0Aa,O六、 （7 分）设 ，其中函数 具有二阶连续的导数，d,uxfxfxfx求 及 .01,.ff ,uy七、 （5 分）设二元函数 在平面区域 上具有二阶连续偏导数，在 的边,f:01,DyD界上取零值，且在 上有 ，试证： .D2Mxyd4Mfx2006-6-21一求解下列各题：（6 分*10=60 分）1设 求,3ln22zxyu.u2求曲面 在点 处的切平面方程.1,0P3.计算曲线积分 , 其中 为 的逆时针方向.Ld22Lxy224.
12、求微分方程 的通解.63y5. 设 连续,交换积分 的次序.yxf 102d,yxf6.计算三重积分 ,其中 为 和 所围成的区域.Vzd24yz231yxz7. 计算第一型曲线积分 ,其中 为圆周 在第一象限部分的弧段.Lsy4x8. 求曲面积分 ,其中 是球面 在 上方的球冠.Sz1 22azyahz09 求曲线 在 对应的点处的法平面方程.tzytx2310.设 , 求 .2eyx2yxzx6二. (7 分 ) 设 其中 具有二阶连续偏导数,求 .,sin2yxefzxf yxz2三.(7 分 ) 一质点在平面场力 的作用下,沿曲线jyixF23 3sin21cos从点 运动到点 , 求
13、场力 所作的功 .2:yxL0,O1AFW四.(7 分 )计算 ,其中 是曲面 在zxzyxz dd2d42 2yxz的部分的外侧.0z五.(7 分 ) 设函数 的全微分 , 其中 在 内具有二阶连uyxfyfeuxf,续的导数,且 ,求 及 .30,ff六. (7 分)已知上半平面内的一条曲线 通过原点，且曲线上任意一点0处切线斜率数值上等于该点横坐标减去此曲线与 轴以及 点作 垂线所围成yxM, oMox的面积, 求此曲线的方程. 七. (5 分) 设在上半平面 内函数 具有连续偏导数, 且对任意的0,yxDyxf都有 证明: 对 内任意分段光滑的有向简单闭曲线 , 都有0t.,2yfty
14、txf L0d,yfL2005-6-23一、解答下列各题（每小题 6 分，共 60 分）1设 .cos(),xyuuexy求 和2求曲线 在对应于 处的切线和法平面方程。,sin,tttez4t3计算 ， 为圆周 的正向。22(1)(1)LxydAL22xyR4求函数 在点（1，1）处的最大方向导数。z5求微分方程 的通解。xye6求曲面 在点（2，1，4）处的切平面方程。27设函数 由方程 所确定，求 。(,)zxzyzy8交换二重积分的次序 。2200(,)(,.)xdfydfdy9计算曲面积分 其中 是曲面 zxzyzx2 面上方，方向取上侧2zxyo在10求 ，其中 为 沿曲线(sin
15、)(cos),(0)xxLedeadyL(2,0)Aa到点 。2ya0,O7二 （9 分）设曲面 是上半球面 ，其面密度为 ，求曲面224xyz(,)xyz的质量。三 （9 分）计算三重积分 其中 所围成的区域,zdv22xyz为 和四 （9 分）(学工科数学分分析的同学作第 1 题，其余同学作第 2 题)(1)求齐次线性微分方程组 的通解35d64xxt(2)已知函数 是二阶常系数非齐次微分方程， 的一个2(1)xxye xyabce特解，试确定常数 及该方程的通解。,abc五、 （9 分）设半径为 的球面 ，其球心位于定球面 上，试求 的r122:xzr值，使该球面 位于定球面 内部的那一
16、部分面积取得最大值。1六 （4 分）设 满足 ，计算 其中 为(,)uxy22()uyxyLsnud，而 为 沿 的沿外法线方向的方向导数2xynL(2004.6.9)一、 求解下列各题（每题 6 分，共 60 分）1设 求2ln(),xyzez2设 ，其中 具有连续的一阶偏导数，求 。3,zuff du3设 ，求 在点 沿 方向的方向导数。01()(2,0)P23uxyz0P14求微分方程 的通解。y5设 连续，交换累次积分 的积分次序。,fx120d(,)dxfy6计算三重积分 其中积分域 是由 所围成的空间区域。Vz22zxy与7求 ，其中 为 沿曲线(sin)(cos),(0)xxLe
17、yeya L(,0)Aa到点2ya0,O8计算锥面 包含在 内的部分的面积。2z2x9计算曲面积分 ，其中 是半球面 zdS21zxy10高数作(1) 高数作(2)（1）叙述一个集合导集的定义，并求集合 的导集。(,)AmnN8（2）求函数 的极值。22zxyxy二 （9 分）设 的全微分 其中 有二阶连续导数(,)ud()d(),xuefyxf()fx试求(0)4,3ff(f三、 （9 分）计算 其中 为圆柱面 被222Sxyzz S22(0)ya平面 截下部分，其法向量正向在 点与 轴同向。1z与 (,0)Pax四、 （9 分）证明:变换 yxvu3,622yzz能 把 方 程有二阶连续偏
18、导数.),(,02yxfzvuz其 中简 化 成五、 （9 分）在曲面 上作切平面使切平面与三坐标面221,(0,)zabcabc围成立体体积最小，求切点坐标。六、 （4 分）设 上二次连续可微，且满足 试求2(,)fxy在 22(),xyfex21()dxyfy(2003.6.9)一、解答下列各题(每小题 5 分，共 25 分)1设 ，求全微分 . zyeuxcosindu2求曲线 ， ， 在对应于 的点处的切线和法平面t2tcsintz2os4t方程.3计算曲线积分 ，式中 是曲线 上从 到 的一段.Lxdyey )3( Lxey)1,0(,e4求函数 的极值.206922xz5求微分方程
19、 的一个特解.xey3二、解答下列各题(每小题 6 分，共 24 分)1 在 轴上求一点，使它到点 的距离等于它到平面 的距离.x2,10(M9236zyx2 函数 由方程 所确定，求 .),(yz0)ln2xyzxz z,3改变二次积分 的积分次序，其中 连续.dfdyfd2 0 101 ,(),( ),(yxf94 计算曲面积分 ,其中 是 yxzyxzyxzyxz d)(d)(d)( 由 所确定的立体的表面外侧.1|,|,1|yx三、 （9 分）计算三重积分 ，其中 由 所确定.VzI2 zyx22四、 （9 分）求半径为 的质量分布均匀的半球面的重心坐标.R五、 （9 分）求微分方程
20、的积分曲线方程，使其在点 与直线034y ),0(相切.02yx六、 （9 分）设曲面方程为 （ 为正常数）. 具有一阶连续的偏),(byzaxFa, ),(vuF导数，且 ，试证明此曲面上任一点处法线恒垂直于一常向量.2vu七、 （9 分）求微分方程 满足 的特解.)ln1(lxyx ey)1( ,2)(八、 （6 分）设 是光滑的正向简单闭曲线，所围的区域记为 ， 是 的单位外法线向量，L DnL是具有二阶连续偏导数的二元函数，试证：),(yxu.DLdxyudsnu)(2(2002.6.17)一、解答下列各题(每小题 6 分，共 60 分)1设点 为从原点到一平面的垂足，求该平面的方程.
21、)2,3(p2求过点 的平面，使它与平面 垂直，且与直线1M03:zyx平行.zyxL:3设 ，求 . 2d4在曲面 上求一切平面，使该切平面垂直于直线 .23 123zyx5求曲线 上，对应 点处的切线方程.)ln(si,tztytx2t6改变二次积分 的积分次序，其中 连续.xx dyfdyfd40202 ),( ),(yxf7计算 ，其中积分域 是： .zVI z8计算曲线积分 ，其中 是椭圆周 正向.Lyx2L212xyx9计算曲面积分 ，其中 为锥面 被圆柱面 截下的dS| z xy2部分曲面.1010. 求微分方程 的通解.21xyx二、 （7 分）求函数 极值.0692yz三、 （7 分）函数 由方程 所确定，其中 具有),( ),(zF),(vuF连续的一阶偏导数，且 ，求 .vux四、 （7 分）设 为上半球面 的外侧，计算曲面积分。21yz. xzyd)(dd333五、 （7 分）计算曲线积分 ，其中 为以 为直径的从ABLxdyee)4cos(sinABL到 上半圆周.)0,(A),2(a0六、 （7 分）求微分方程 的通解.2y七、 （5 分）已知连续可微函数 满足)(tF)0( 0 ,(1)(22 tyxdyxtFtyx试求函数 .
