1、1期末总复习题一、填空题1、已知向量 ， ，则 = -1 。2aijkbijkab2、曲线 绕 z 轴旋转所得曲面方程为 z=x2 + y2 。2x3、级数 的敛散性为 发散 。13n4、设 L 是上半圆周 （ ） ，则曲线积分 = 22ayx021Ldsxya5交换二重积分的积分次序： 012),(ydxf ),(f0x-16级数 的和为 1 。1)(n二、选择题1、平面 和平面 的关系 （ B 0)(3)(zyx 02)1(zyx）A、重合 B、平行但不重合 C、一般斜交 D、垂直2. 下列曲面中为母线平行于 z 轴的柱面的是 （ C ）A、 B、 C、 D、21xz21yz21xy221
2、xy3. 设 ,则 （ A ）)0(4:2D32ln()DdA、 B、0 C、1 D、 44、设 ，则 （ A ）)(4:2yxDdxyA、 B、 C、 D、16825、函数 在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ）20zA、 B、 C、 D、ij6ij216ij16ij6、微分方程 的阶数为 （ 22()0yyB ）A、1 B、2 C、4 D、627下列表达式中，微分方程 的通解为 430y（ D ）A、 B、 3xyeC3xyeCC、 D、 128 为无穷级数 收敛的 lim0nu1nu（ B ） A、充要条件 B、 必要条件 C、充分条件 D、什么也不是三、已知 ， ， ，
3、求 与 的夹角.P71a3bbaba4、一平面垂直于平面 且过0154zyx原点和点 ，求该平面方程.（参考3,72课本 P7 例题）5、设 求,2xyvxuezv. P19yxd,O210b-a)(cos3)( -2)0(0b ）（ 解 ： 0zy13x4705B4-A5-nC32DD故 有 ： ， 又 ， 依 题 可 得解 ： 设 平 面 方 程 为)2()2( )()()(zduz332332222 xyeyzxexz dxdyyeyxevxyy xyv ，进 而 可 得 变 性 ， 得解 ： 由 全 微 分 方 程 的 不36、求由 所确定的函数 的偏导数zxysinyxz,yzx,x
4、yzyzxxyzzycos0cso0sini解 得 ： 求 偏 导 数 得 ：两 边 对解 得 ： 求 偏 导 数 得 ：两 边 对 得解 ： 由7、求旋转抛物面 在点 处的切平面和法线方程. 22,10M2411034)2(1)( 1,4,4)(,),(,00zyxzzyxnnyxfyxfMy即 ：法 线 方 程 式 为 ：即 ： 处 的 切 面 方 程 式 为 ：故 曲 面 在 点所 以 ： 则 ：解 ： 令48、求函数 在点 处沿从点 到点 的方向的)2sin(,yxyxf0,P0,P2,1Q方向导数。 5251)0,()0,(),( )2cos(),()2cos(51PQQ)0,(0
5、故又 ，上 单 位 向 量易 知 的 方 向 ，即 向 量解 ： 这 里 的 方 向 xxyx yfff yxff9、计算二重积分 ，其中 D 是由 轴， 轴与单位圆 在第一象Dxydxy12yx限所围的区域.169)(212,DYYX312 dydxydsyx yx故 可 用 不 等 式 组 表 示 ：此 时 积 分 ，积 分 ， 后 对型 区 域 ， 则 先 对看 成把 型 区 域 ，型 区 域 也 是既 是的 草 图 可 判 断 的 草 图 ， 如 图 所 示 ， 从解 ： 画 出 微 积 分 区 域510、计算 ，其中 L 是顶点为 ， 和 的三角形边界. （参考LydsA0,1A,B0,OP79 例 2） 12)()()()( ,2110,)()(2)1()(,10,1L 0102102 OBOAABOBAAB dsyxdsyxdsyxdsyxxxsyxddsxyyxOB故 得 ： 则 ： ， 的 方 程 分 别 为 ：解 ：11、求微分方程 满足初始条件 的特解.P167incoin40xxCydyydxcos,lnllnsisi,cosi简 化 得 ：得 ：两 边 积 分 ： ：解 ： 将 方 程 分 离 变 量 得 )cos2ar(,cos2s,20 xyxCyx或故 所 求 方 程 的 特 解 为 ：得 ： 带 入 ，将 条 件
