1、祺祺之缘 第 1 页 共 12 页 http:/ 第 25 章 解直角三角形复习一.教学内容第 25 章 解直角三角形复习二. 重点、难点：1. 重点：（1）探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系掌握三角函数定义式：sinA ，cosA ，tanA ，cotA （2）掌握 30、45、60等特殊角的三角函数值，并会进行有关特殊角的三角函数值的计算（3）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角2. 难点：（1）通过探索直角三角形边与边、角与角、边与角之间的关系，领悟事物之间互相联系的辩证关系（2）能够运用三角函数解决与直角形有关的简单的实际问题（3）能综合运
2、用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题，提高数学建模能力三. 知识梳理：1. 锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义我们规定：sinA ，cosA ，tanA ，cotA 锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题已知角求三角函数值；已知三角函数值求锐角2. 特殊角的三角函数值祺祺之缘 第 2 页 共 12 页 http:/ sin cos tan cot3045 1 160由表可知：直角三角形
3、中，30的锐角所对的直角边等于斜边的一半3. 锐角三角函数的性质（1）0sin1，0cos1（090）（2）tancot1 或 tan ；（3）tan ，cot （4）sincos（90），tancot（90）4. 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形解直角三角形的常见类型有：我们规定：RtABC，C90，A、B、C 的对边分别为 a、b、c已知两边，求另一边和两个锐角；已知一条边和一个角，求另一个角和其他两边5. 解直角三角形的应用（1）相关术语铅垂线：重力线方向的直线水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线仰角：向
4、上看时，视线与水平线的夹角俯角：向下看时，视线与水平线的夹角祺祺之缘 第 3 页 共 12 页 http:/ 坡角：坡面与水平面的夹角坡度：坡的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度（坡比）一般情况下，我们用 h 表示坡的铅直高度，用 l 表示水平宽度，用 i 表示坡度，即：i tan方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90的水平角叫做方向角如图：（2）应用解直角三角形来解决实际问题时，要注意：计算结果的精确度要求，一般说来中间量要多取一位有效数字在题目中求未知时，应尽量选用直接由已知求未知遇到非直角三角形时，常常要作辅助线才能应用解直角三角形知识来解答其方法可以归纳为：已知斜边用正弦或余
5、弦，已知直角边用正切和余切，能够使用乘法计算的要尽量选用乘法，尽量直接选用已知条件进行计算注：解直角三角形在现实生活中有广泛的应用，它经常涉及到测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些术语，一定要根据题意明白其术语的含义才能正确解题【典型例题】例 1. 已知 tan ，求 的值分析：利用数形结合思想，将已知条件 tan 用图形表示解：如图所示，在 RtABC 中，C90，A，设 BC3k，AC4k，则 AB 5ksin cos ，祺祺之缘 第 4 页 共 12 页 http:/ 原式 7例 2. 计算（1） sin45 cos60；（2）cos 245+tan60cos30；（3） ；（4）
6、分析：这里考查的是同学们对特殊角的三角函数值的识记情况和关于根式的计算能力处理办法是能够化简的要先化简后代入计算，不能化简的直接代入计算解：（1） sin45 cos60 ；（2）cos 245+tan60cos30（ ） 2+ 2（3） 32 ；（4） 1sin301 点拨：像上面第 3 题分子分母要分别处理，第 4题要特别注意先化简再代入计算例 3. 已知 tan ，求 的值分析：可将所求式子的分子、分母都除以 cos，转化为含有 的式子，再利用 tan进行转化求解解：将式子 的分子、分母都除以 cos，得祺祺之缘 第 5 页 共 12 页 http:/ 原式 7规律总结：因为 tan 所
7、以 不等于 90，所以 cos0，因此分子分母可以同时除以cos实现转化的目的例 4. 等腰三角形的底边长为 6cm，周长为 14cm，试求底角的余切值分析：这是一个在非直角三角形中求锐角的三角函数值的题目，根据三角函数的定义，要先恰当的作辅助线（垂线）构成直角来解决这个题涉及到等腰三角形，作底边上的高是解决问题常见办法解：如图所示，作等腰三角形 ABC，BC 为底边，ADBC 于 DABC 的周长为 14，底边 BC6，腰长 ABAC4又ADBC，BDCD3在直角三角形 ABD 中，ADB90，AD cotB 答：等腰三角形底角的余切值是 点拨：计算一个锐角的三角函数值，应在直角三角形中来考
8、虑，如果题中没有直角三角形，那么就要通过作辅助线来构造直角三角形例 5. RtABC，C90，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，根据下列条件解直角三角形（1）a4，c10； （2）b2，A40； （3）c3，B58分析：（1）题是已知两边解直角三角形；（2）、（3）是已知一边和一角解直角三角形解：（1）b 2 ，由 sinA 0.4，A23.6，B90A9023.666.4祺祺之缘 第 6 页 共 12 页 http:/ （2）B90A904050，由 tanA ，得 abtanA2tan4020.83911.678，由 cosA ，得 c 2.611（3）A90B905832，由 sin
9、B ，得 bcsinB3sin5830.8482.544，由 cosB ，得 accosB3cos5830.52991.590点拨：在选择三角函数时，一般使用乘法进行计算，能够用三角函数求其中的未知边的问题，一般不使用勾股定理求边例 6. 如图，一艘轮船从离 A 观察站的正北 20 海里处的 B 港处向正西航行，观察站第一次测得该船在 A 地北偏西 30的 C 处，一个半小时后，又测得该船在 A地的北偏西 的 D 处，求此船的速度分析：根据速度等于路程除以时间，必须求到 DC 的长，观察图形，DCDBCB，而 BD 在 RtABD中可求，BC 在 RtABC 中可求解：在 RtABC 中，BC
10、ABtan3020 20（海里）在 RtABD 中，BDABtan6020 60（海里）所以 DCDBCB602040（海里）船的速度是：401.526 （海里）答：船的速度是 26 海里点拨：凡涉及方向角的问题，一定要确定中心，如上题中的方向角就是以 A为中心的例 7. 如图所示，河对岸有一座铁塔 AB，若在河这边 C、D处分别用测角仪器测得塔顶 A 的仰角为30，45，已知 CD30 米，求铁塔的高（结果保留根号）祺祺之缘 第 7 页 共 12 页 http:/ 分析：设塔高为 x 米，根据条件ADB45，可得 BDABx 米，在直角三角形 ABC 中，根据C30，即 tanC 可求解：设
11、 ABx，在 RtABD 中，ADB45，ABBDx在 RtABC 中，C30，且 BCCD+BD30+x，tanC所以 tan30 ，即 ，x（15 +15）（米）答：塔高 AB 为 15 +15 米例 8. 去年某省将地处 A、B 两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便 A、B 两地师生的交往，学校准备在相距 2 千米的 A、B两地之间修筑一条笔直的公路（即图中的线段 AB），经测量，在 A 地的北偏东 60方向，B 地的西偏北 45的 C 处有一个半径为 0.7 千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？分析：过 C 作 AB 的垂线段 CM，把 AM、BM 用含
12、x 的代数式 x，x 表示，利用 AM+MB2 列方程得，x+x2，解出 CM 的长与 0.7 千米进行比较，本题要体会设出 CM 的长，列方程解题的思想方法解：作 CMAB，垂足为 M，设 CM 为 x 千米，在 RtMCB 中，MCBMBC45，则 MBCMx 千米在 RtAMC 中，CAM30，ACM60tanACMAMCMtan60 x 千米AM+BM2 千米 x+x2祺祺之缘 第 8 页 共 12 页 http:/ x 11.73210.732CM 长约为 0.732 千米，大于 0.7 千米这条公路不会穿过公园例 9. 如图是一个大坝的横断面，它是一个梯形 ABCD，其中坝顶 AB
13、3 米，经测量背水坡 AD20 米，坝高 10 米，迎水坡 BC 的坡度 i1：0.6，求迎水坡 BC 的坡角C 和坝底宽 CD分析：分析这一个关于梯形的计算题，要用解直角三角形的知识来解决，一般过上底顶点作下底的垂线就能够利用直角三角形知识来解决解：过 A、B 作 AECD、BFCD，垂足是 E、F，根据题意有 AEBF10，四边形 ABFE 是矩形，EFAB3在 RtADE 中，DE 10 （米），在 RtBCF 中， ，CF0.6BF0.6106（米）所以 CDCF+EF+DE10 +3+6（9+10 ）（米）又在 RtBCF 中，cotC0.6，所以C59例 10. 如图，如果ABC
14、中C 是锐角，BC ，AC 证明：证明：过 A 作 ADBC 于 D，则ADC 是直角三角形， ， ，又 ， 祺祺之缘 第 9 页 共 12 页 http:/ 评注：本题的结论反映出三角形的两边及其夹角与这个三角形的面积之间的关系同理还可推出：（三角形面积公式）【模拟试题】（答题时间：40 分钟）1. 在ABC 中，C90，B50，AB10，则 BC 的长为（ ）A. 10tan50 B. 10cos50 C. 10sin50 D. 2. AE，CF 是锐角三角形 ABC 的两条高，如果 AE：CF3：2，则 sinA：sinC 等于（ ）A. 3：2 B. 2：3 C. 9：4 D. 4：9
15、3. 如图，为了确定一条小河的宽度 BC，可在点 C 左侧的岸边选择一点 A，使得 ACBC，若测得ACa，CAB，则 BC 的值为（ ）A. asin B. acos C. atan D. acot4. 在 RtABC 中，C90，下列各式中正确的是（ ）A. sinAsinB B. tanAtanBC. sinAcosB D. cosAcosB5. 已知等腰梯形 ABCD 中，ADBC，B60，AD2，BC8，则此等腰梯形的周长为（ ）A. 19 B. 20 C. 21 D. 226. 如图，秋千拉绳 OB 的长为 3m，静止时踏板到地面的距离 BE 长为 0.6m（踏板的厚度忽略不计）小
16、亮荡秋千时，当秋千拉绳从 OB 运动到 OA 时，拉绳 OA与铅垂线 OE 的夹角为 55，请你计算此时秋千踏板离地面的高度 AD 是多少米（精确到 0.1m）7. 如图，武当山风景管理区为提高游客到景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由 44减至 32，已知原台阶 AB 的长为 5m（BC所在地面为水平面）（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到 0.01m）祺祺之缘 第 10 页 共 12 页 http:/ （2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到 0.01m）8. 如图，沿 AC 方向开山修渠，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从 AC 上一点 B 取AB
17、D135，BD520m，D45如果要使 A，C，E 成一条直线，那么开挖点 E 离 D 的距离约为多少米?（精确到 1m）9. 如图，某校九年级（3）班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动，部分同学在山脚的点 A处测处山腰上一点 D 的仰角为 30，并测得 AD 的长度为 180m，另一部分同学在小山顶点 B 处测得山脚A 的俯角为 45，山腰点 D 处的俯角为 60，请你帮助他们计算小山的高度 BC（计算过程和结果都不取近似值）10. 如图，汪老师要装修自己带阁楼的新居，在搭建客厅到阁楼的楼梯 AC 时，为避免上升时墙角 F 碰头，设计墙角 F 到楼梯的竖直距离 FG 为 1.75m，他量得客厅高 AB2.8m，楼梯洞口宽 AF2m，阁楼阳台宽 EF3m，请你帮助汪老师解决下列问题，要使墙角 F 到楼梯的竖直距离 FG 为 1.75m，楼梯底端 C 到墙角 D 的距离 CD 是多少米？
