1、1漫 谈 数 学 竞 赛1数学竞赛的产生与发展1.1 溯源解难题竞赛的来龙去脉1.2 数学竞赛的先导匈牙利数学竞赛1.3 前苏联数学竞赛1.4 美国数学竞赛1.5 国际数学奥林匹克（IMO）2. 数学竞赛在中国2.1 全国高中数学联赛2.2 全国初中数学联赛2.3 全国华罗庚金杯少年数学邀请赛2.4 全国中学生数学冬令营（CMO）2.5 女子数学奥林匹克3. 从数学竞赛与到竞赛数学4. 数学竞赛的教育价值1 数学竞赛的产生与发展古代不朽之神，美丽，伟大而正直的圣洁 之父。祈求降临尘世以彰显自己，让受人瞩目的英雄，在这大地苍穹中，做为你荣耀的见证。 请照亮跑道、角力与投掷项目，这些全力以赴的崇高
2、竞赛，颁赠优胜者长青树编成的花冠，塑造出钢铁般的躯干。有如一白色斑斓的岩石造成这巨大的神殿，世界各地都赶来这神殿，膜拜你，啊！永不朽古代之神。2这，就是举世瞩目的国际奥林匹克运动会会歌。在四年一届的奥运会开幕、闭幕式中，在升、降奥运会会旗的一刻，你都能听到这支优美庄严、激越飞扬的歌曲！ 在世界体育史上，奥林匹克运动起源于古希腊的波罗奔尼撒半岛西北部(如今雅典西南 360Km 处)的一座神庙奥林匹亚, 它是关于体能的竞赛。数学奥林匹克与体育奥林匹克相类似，指的就是数学竞赛活动。数学竞赛是一项传统的智能竞赛项目，智能和体能都是创造人类文明的必要条件，所以前苏联人首创了“数学奥林匹克”这个名词。1.
3、1 溯源解难题竞赛的来龙去脉数学是锻炼思维的体操，而其核心则是问题解数学难题的竞赛和体育奥林匹克一样，有着悠久的历史。古希腊时就有解几何难题的比赛，在我国战国时期则有齐威王与大将田忌赛马的对策故事。在 16 世纪初期的意大利，不少数学家喜欢提出问题，向其他数学家挑战，以比高低，其中解三次方程比赛的有声有色的叙述，使人记忆犹新大约在 1515 年，波罗尼亚大学数学教授费罗（Scipiouedal Ferro）用代数方法解出了形如 类型的三次方程，并把方法秘密传给了他的的得意门生菲奥3xmn（AM Fior） 。意大利数学家丰坦那（Niccolo Fontana） ，出身贫寒，自学成才，由于童年受
4、伤影响了说话能力，人称“塔塔利亚” （Tartaglia 意为口吃者） ，后以教书为生，他大约在 1535 年宣布：他发现了三次方程的代数解法。菲奥认为此声明纯系欺骗，向塔塔利亚提出挑战，要求举行一次解三次方程的公开比赛1935 年 2 月 22 日，米兰大教堂里挤满了人，他们不是来做祈祷的,而是来看热闹的，因为塔塔里亚与菲奥的竞赛在此举行。双方各给对方出 30 道题，为迎接这场挑战，塔塔利亚作了充分准备，他冥思苦想，终于在比赛前十天掌握了三次方程的解法，因而大获全胜。从此，塔塔利亚在米兰名声大振。有“天才怪人”之称的既教数学又行医的数学家卡丹(Cardano)闻知此事后,屡次拜访塔塔里亚,目
5、的是想从他那儿得到求解三次方程的公式卡丹的虔诚与承诺(发誓保守秘密)使塔塔利亚放松了警惕,终于将公式给了卡丹。1545 年,卡丹的大法（Ars magna）一书在德国纽伦堡出版,书中刊载了塔塔里亚的三次方程求根公式。卡丹食言, 塔塔里亚蒙受欺骗。此后,人们将塔塔里亚发明的公式称作卡丹公式. 下面是一元三次方程卡丹公式3方程 的三个根分别为30xpq331 ,2q332,x33,qq其中， 2()1,.2pi一般地，一元三次方程 均可通过变换转化为30axbcdpq的形式. 意大利数学家发现的三次方程的代数解法被认为是 16 世纪最壮观的数学成就之一顺便指出，一元四次方程的求根公式是由卡丹的学生
6、斐拉里给出的. 应强调的是，一般一元五次方程及五次以上的方程没有求根公式，这一点已由阿贝尔和伽罗华证得.公开的解题竞赛无疑会引起数学家的注意和激发更多人的兴趣，随着学校教育的发展，教育工作者开始考虑在中学生中间举办解数学难题的竞赛，以激发中学生的数学才能和引起对数学的兴趣 1.2 数学竞赛的先导匈牙利数学竞赛世界上真正意义上的数学竞赛源于匈牙利.1894 年，匈牙利数学界为了纪念著名数学家、匈牙利数学会主席埃特沃斯（LEtvos）荣任匈牙利教育部长而组织了第一届中学生数学竞赛，这是真正意义上的数学竞赛的开端.本来是叫做 Etvs 竞赛，后来命名为 JszefKrschak 竞赛。这一活动除两次
7、世界大战和 1956 年匈牙利事件中断七年外，每年十月举行一次，每次竞赛出三道题，限四小时做完，允许使用任何参考书这些试题难度适中，别具风格，虽然用中学生学过的初等数学知识就可以解答，但是又涉及许多高等数学的课题中学生通过做这些试题，不但可以检查自己对初等数学掌握的程度，提高灵活运用这些知识以及逻辑思维的能力，还可以接触到一些高等数学的概念和方法，对于以4后学习高等数学有很大帮助匈牙利数学竞赛试题的上述特点，使得它的命题方向对世界各国数学竞赛，乃至国际数学奥林匹克（International Mathematics Olympiad，简称 IMO）的命题都产生了重大的影响例如，1974 年匈牙
8、利数学竞赛中有一个题目：【题 1.1】 在任意 6 个人中，总有 3 个人相互认识或相互不认识。此题是组合数学中 Ramsey 问题的最简单情形，以后几十年中这个题目被许多国家反复改造、变形、推广后用作竞赛试题。匈牙利数学竞赛已有一百多年的历史，数学奥林匹克为匈牙利造就了一大批世界著名学者.美国航天之父冯卡门（1898 年匈牙利数学竞赛优胜者）在航空航天时代的科学奇才一书中指出：“根据我所知，目前在国外的匈牙利著名科学家当中，有一半以上都是数学竞赛的优胜者，在美国的匈牙利科学家，如爱德华、泰勒、列夫西拉得、G波利亚、冯诺伊曼等几乎都是数学竞赛的优胜者.我衷心希望美国和其他国家都能倡导这种数学竞
9、赛.”时值世界各国数学竞赛和 IMO 蓬勃发展的今天，我们深刻地认识到匈牙利数学竞赛在国际数学竞赛史册中占有引人注目的一页。18941974 的试题与解答见匈牙利奥林匹克数学竞赛题解 （匈牙利 N库尔沙克等著，胡湘陵译 . 北京：科学普及出版社，1979） 。英文版的匈牙利数学竞赛试题与解答有：（1）Kurschak, J., Hungarian Problem Book, Volumes I, New Mathematical Library, Vols. 11, Mathematical Association of America, 1967. （2） Kurschak, J., Hun
10、garian Problem Book, Volumes II, New Mathematical Library, Vols. 12, Mathematical Association of America, 1967.（3） Andy Liu ,Hungarian Problem Book , Volumes42，Mathematical Association of 5America, 2001.下面是 1894 年匈牙利数学竞赛试题。1. 证明：若 为整数，则表达式 或同时能被 17 整除或同时不xy、 23,95xy能被 17 整除.2给定一圆和圆内点 求作圆内接直角三角形，使它的一
11、直角边过点 ，PQ、 ， P另一直角边过点 .点 在什么位置时，本题无解？、3三角形的三边构成公差为 的等差数列，又其面积为 .求三角形的三边长和dS三内角大小，并对 的特殊情形求解.16dS，自 1894 年匈牙利举办数学竞赛之后，罗马尼亚紧步匈牙利的后尘，于 1902 年开始举办全国性的数学竞赛，在以后的 30 年中没有其他国家举办过类似的活动前苏联自 1934 年列宁格勒（今圣彼德堡）举办数学竞赛开始美国于 1938 年举办了大学低年级学生参加的普特南数学竞赛（PutnamMC） ，吸引了美国、加拿大各大学成千上万的大学生参加到 40 年代以后，其他一些国家如保加利亚（1949 年） 、
12、波兰（1949 年） 、捷克斯洛伐克（1951 年） 、中国（1956 年）也举行了数学竞赛1.3 前苏联数学竞赛前苏联自 1934 年列宁格勒（今圣彼德堡）举办数学竞赛开始，1935 年莫斯科、第比利斯、基辅等也举办了数学竞赛并把数学竞赛与体育竞赛相提并论，而且与数学科学的发源地古希腊联系在一起，称数学竞赛为数学奥林匹克，它形象地揭示了数学竞赛是选手间智力的角逐由于有许多著名数学家，如狄隆涅、柯尔莫哥洛夫、亚历山大洛夫等参与命题工作，所以前苏联的竞赛题质量很高，很多问题具有深刻的数学背景而又以通俗有趣、生动活泼的形式表现出来1946 年我国著名数学家华罗庚教授访问前苏联莫斯科期间,狄龙涅与华
13、罗庚提到了莫斯科数学竞赛会的事,当时已举办 39 次,题目很难.“1945 年的一道题将好些教授都给难倒了”( 狄龙涅语) 。下面的前苏联一次数学竞赛活动纪实是 3 月 21 日所记日记的片段( 原文见华罗庚著.煦峰,文菂编华罗庚:下棋找高手 (中科院院士笔谈录)解放出版社:10-11.)6二月二十七日 讲演(一) 讲员 教育科学研究院通讯研究员马尔库塞维奇教授(A.I.Markushevich)讲题 级数听讲者 第七第八级学生(二) 讲员 斯大林奖金获得者刘斯透尔尼克教授讲题 多角形及多面体听讲者 第九第十级学生三月二十四日 讲演(一) 讲员 斯大林奖金获得者(科学院研究员)柯尔莫哥洛夫(A
14、.N.Kolmogoroff)讲题 对称性听讲者 第七第八级学生(二) 讲员 斯大林奖金获得者(科学院通讯研究员)亚历山大罗夫(P.S.Alexandroff)讲题 复虚数听讲者 第九第十级学生三月三十一日 讲演(一) 讲员 雅诺夫斯基教授(Prof.S.A.Yanovsky)讲题 算数与代数听讲者 第七第八级学生(二) 讲员 杜勃诺夫教授(Prof.Y.S.Dubnoff)讲题 长度 面积 体积听讲者 第九第十级学生四月七日 第一次竞赛四月十四日 第一次竞赛的结果与问题解答四月二十一日 第二次竞赛四月二十八日 竞赛会给奖式及莫斯科大学力学数学系教授和优秀学生招待会1.4 美国数学竞赛美国是个
15、数学强国,不乏关心数学竞赛和数学教育的数学家.无论是普及的程度还是提高的程度,它的数学竞赛水平均属上乘.在历届国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad,简称 IMO)中美国成绩辉煌 ,最为辉煌的是 1994 年在香港举办的第 35 届 IMO,美国队夺得团体冠军,6 名队员全部以满分夺取金牌,创下了 IMO 的纪录.第 42 届 IMO 于 2001 年 7 月在美国华盛顿举行.1950 年美国数学会举办首届高中数学竞赛,美国的中学数学竞赛有:美国高中数学竞赛(AHSME)、美国数学奥林匹克(USAMO)、美国数学邀请赛(AIME)及美国初中数学
16、竞赛(AJHSME). 美国数学竞赛是一个多层次的、呈宝塔型的比较完整的体系.高中数学竞赛（2 月） 数学邀请赛（3 月） 数学奥林匹克（5 月） 国家7集训队 参加 IMO(7 月).在 1938 年,美国就开始举行大学低年级的数学竞赛普特南(William Lowell Putnam)数学竞赛,远远先于其他国家.这一竞赛的首创者是曾任哈佛大学校长的WL Putuam，早在 1921 年，他就撰文论述仿照奥林匹克运动会举办大学生学习竞赛的优点，并在二十年代末，举行过几次校际竞赛作为实验他逝世后留下一笔基金，两个儿子就与全家的挚友、著名美国数学家 GD 伯克霍夫商量，举办了普特南数学竞赛伯克霍
17、夫强调说，再没有一个学科能比数学更易于通过考试来测定能力了首届普特南数学竞赛由美国数学会具体组织，考试分为 A、B 两试（上、下午分别举行） ，每试 67 题，各用 3 个小时为了保证竞赛的质量，试题由三位著名数学家组成的命题委员会拟定，三位委员是：波利亚（G Polya） ，拉多（TiberRaod） ，卡普兰斯基（Kaplansky） 该竞赛的试题形式活泼，背景深刻，极富创造性，因而受到国际数学界的瞩目值得注意的是这些试题虽然是提供给大学生的，但有相当一部分属于初等数学问题，完全不用高等数学知识，有一定思维能力和解题技巧的中学生都有可能解决美国普特南(Putnam)大学数学竞赛的优胜者，大
18、多数成为杰出的数学家、物理学家和工程师.例如：Richard Feynman 获得 1965 年诺贝尔物理奖；Kenneth Wilson 获得 1982 年诺贝尔物理奖；John Milnor 获得 1962 年菲尔兹奖；David Mumford 获得 1974 年菲尔兹奖；Dannid Quillen 获得 1978 年菲尔兹奖.1.5 国际数学奥林匹克（IMO）在上述背景下，1956 年罗马尼亚的罗曼（TRoman ）教授向东欧七国建议举办国际数学竞赛，并于 1959 年 7 月，在罗马尼亚的古都布拉索夫（Brasov）举行了第一届国际数学奥林匹克（IMO） ，参加的七个国家都是东欧国
19、家在以后的几年中，参赛的国家未增多，在 1963 年和 1964 年，南斯拉夫和蒙古先后开始加盟，1965 年波兰参加，1967 年法国、英国、意大利和瑞典等西方国家也参加了从此，参赛的国家逐渐增多，1974 年美国姗姗来迟，共有 18 个队，1977 年共有 21 个队，1981 年共有 27 队，1984 年有 34 个队，1986 年中国正式派队参加，1990 年在北京举行的第31 届 IMO 有 54 个队，而 2001 年在美国举办的第 42 届 IMO 已有 82 个队、457 名选手参加，基本包括了世界上中学数学教育水准较高的国家IMO 的目的是：激发青年人的数学才能；引起青年对
20、数学的兴趣；发现科技人才的后备军；促进各国数学教育的交流与发展。IMO 每年举办一届，时间定于月由参赛国轮流主办，经费由东道国提供。8参赛选手为中学生，每支代表队有学生 6 人，另派 2 名数学家为领队。每年由各参赛国领队组成主试委员会（Jury Metting） ，由东道国任主试委员会主席，各项工作都贯穿着协商、信任的精神IMO 的命题工作是由参赛国提出候选题，每个参赛国可提出三至五题（东道国不提供试题） ，由东道国汇总后遴选出至少 20 个题目，其中包括两份试卷（每份 6 题）及 8 个备用题，最后由主试委员会敲定 6 道赛题（竞赛题除第2 届及第 4 届为 7 个题目之外，每届都是 6
21、个题目） 试题确定之后，写成英、法、德、俄文等工作语言，由领队译成本国文字竞赛分两个上午进行，每次 3 个题目，用 4.5 小时答完自第 24 届（1983 年）以来记分方法采用每题 7 分、每人 42 分的计分方法答卷由本国领队、副领队评判，然后与组织者指定的协调员协商，如有分歧，再请主试委员会仲裁奥林匹克一样，IMO 的表彰仪式上也并不排出国家的名次顺序，但是各国和好事的记者，总是喜欢按总分排出各国的名次顺序来第 48 届 IMO 于 2007 年 7 月 19 日31 日在越南首都河内举行，来自 95 个国家与地区的 520 名选手参加了本届 IMO经过两天的角逐,共产生金牌 39 枚，
22、银牌83 枚，铜牌 131 枚中国代表队表现依旧突出，中国队 6 名队员中 4 名选手获得金牌，2 名选手获得银牌,团体总分第二名，与第一名俄罗斯队仅相差 3 分。本届 IMO金牌分数线 29 分，银牌分数线 21 分，铜牌分数线 14 分本届 IMO 受到越南政府的高度重视，越南总理阮芯勇(NGUYEN TAN DUNG)参加盛大开幕式并发表了热情洋溢的欢迎词，越南国家主席阮明浙（NGUYEN MINH TRIET）参加了闭幕式并给金牌选手颁奖。下面第 48 届 IMO 试题。第一天（2007 年 7 月 25 日） 越南河内问题 1给定实数 对每个 ,定义：12,na(1)in,mx:ij
23、 jda且令 a:1in(a) 对于任意实数 ,有2xx(*)ma|:i di(b) 证明:存在实数 使得(*) 中的等号成立12nxx9问题 2设 A，B，C，D，E 五点中,ABCD 是一个平行四边形，BCDE 是一个圆内接四边形设是通过 A 的一条直线， 与线段 DC 交于点 F (F 是线段 DC 的内点) ，且与直线 BC 交于点G若 EF=EG=EC，求证： 是DAB 的角平分线问题 3在一次数学竞赛活动中，有一些参赛选手是朋友朋友关系是相互的如果一群参赛选手中的任何两人都是朋友，我们就称这群选手为一个“团”(特别地,人数少于 2 的一群也是一个团)已知在这次竞赛中,最大的团(人数
24、最多的团)的人数是个偶数,证明:我们总能把参赛选手分配到两个教室,使得一个教室中的最大团的人数等于另一个教室中的最大团的人数.第二天（2007 年 7 月 26 日） 越南河内问题 4在ABC 中, BCA 的角平分线与ABC 的外接圆交于点 R，与边 BC 的垂直平分线交于点 P，与边 AC 的垂直平分线交于点 Q.设 K 与 L 分别是边 BC 和 AC 的中点证明： RPK 和RQL 的面积相等问题 5设 a 与 b 为正整数，已知 整除 ,证明: 41ab2()ab问题 6设 n 是一个正整数考虑 (,):,0,0Sxyznxyz这样一个三维空间中具有 个点的集合，问：最少要多少个平面
25、，它们的并集才能包含31nS，但不含(0,0,0) 2. 数学竞赛在中国我国是一个有着悠久数学传统的国家,历史上我国先人曾在数学研究上作出过巨大的贡献(诸如九章算术的成书,祖冲之的圆周率计算、孙子的著名定理、求一次剩余问题的大衍求一术、 数书九章的形成)，中华民族是擅长数学的民族.我国的数学竞赛始于 1956 年，1956 年在著名数学家华罗庚教授的倡导下，首次在北京、天津、上海、武汉等四大城市举办了高中数学竞赛由于“左”的冲击，至1965 年，只零零星星地举行过 6 届比赛前后，华罗庚等著名数学家直接给中学生作报告（当时称为“数学通俗讲演会” ） ，在这些报告的基础上，出版了一批优秀的课外读
26、物数学小丛书，共计 13 册，如从杨辉三角谈起 ，华罗庚著从祖冲之的圆周率谈起 ，华罗庚著从孙子的“神奇妙算”谈起 ，华罗庚著对称 ，段学复著平均 ，史济怀著格点和面积 ，闵嗣鹤著一笔画及邮递线路问题 ，姜伯驹著10等周问题 ，蔡宗熹著复数与几何 ，常庚哲、伍润生著数学家、教育家与优秀的大、中学校教师一起切磋交流，拟定了质量很高的试题下面是 1964 年北京市中学生数学竞赛试题。赛后数学家们又为同学们进行了居高临下、深入浅出的试题分析与讲解这段时间，我国数学竞赛活动的势头很好，对我国的中等教育与人才培养起了很好的作用，引起各界的关注竞赛的方式、试题的难度、选手的水平等都与 IMO 相同或相近，
27、我们完全可以走向世界，参加国际的角逐但是，1966 年开始的“史无前例”的文化大革命，使数学竞赛在中国完全绝迹1978 年是科学的春天，我国的数学竞赛活动又重新开始，华罗庚教授亲自主持了规模空前的全国八省市数学竞赛，与此同时，许多省、市都恢复了数学竞赛1979年从八省市的竞赛发展为除台湾以外的全国 29 个省、市、自治区的竞赛由华罗庚教授任竞赛委员会主任，并主持命题工作竞赛分初赛和决赛两试进行1980 年全国竞赛暂停一年2.1 全国高中数学联赛1980 年，在大连召开了第一届全国数学普及工作会议，代表们着重研究了数学竞赛工作，把全国数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作
28、，并正式定名为“全国各省、市、自治区高中联合数学竞赛” 。确定每年 10 月在中国数学会的支持下，由一个省作为东道主举办联赛。1981 年首届联赛由北京主办，以后依次由各省市承办。每年试题的产生，采用了与 IMO 类似的方式：先由各省、市、自治区提供一批候选题，寄给东道主，然后由东道主数学会组织命题组进行初选，对提供的试题从内容、难度、方法与技巧等各方面进行分类研究，提出试卷的粗坯，最后召集命题会议确定试题。参加命题会议的有中国数学会普及工作委员会的负责同志，上一届和下一届东道主数学会的负责同志和本届命题组成员，还邀请一些数学竞赛的专家。全国高中数学联赛的命题贯彻在普及基础上提高的原则，要有利
29、于促进中学数学教学改革、提高教学质量，有利于提高学生学习数学的兴趣，有利于发现人才、培养人才，有利于参加 IMO 队员的选拔工作试题的命题范围以高中数学竞赛大纲为准，在方法的要求上稍有提高 2.2 全国初中数学联赛1985 年，全国初中数学联合竞赛开始举行（时间是每年四月份第一个星期天） ，竞赛的组织方式与全国高中数学联赛类似。2.4 全国华罗庚金杯少年数学邀请赛“华罗庚金杯 ”少年数学邀请赛（简称 “华杯赛”）是为了纪念和学习我国杰出的数学家华罗庚教授，于 1986 年始创的全国性大型少年数学竞赛活动，由中国少年报社（现为中国少年儿童新闻出版总社） 、中国优选法统筹法与经济数学研究会、中央电
30、视台青少中心等单位联合发起并主办的。11“华杯赛 ”是以教育广大青少年从小学习和弘扬华罗庚教授的爱国主义思想、刻苦学习的品质、热爱科学的精神；激发广大中小学生学习数学的兴趣、开发智力、普及数学科学为宗旨的活动。日本、韩国、马来西亚、新加坡等国家和香港、澳门、台湾地区也派队参加。“华杯赛”一贯坚持“普及性、趣味性、新颖性”相结合的命题原则。 “华杯赛”赛制为每年一届，设初赛、决赛和总决赛。每两年举办一次总决赛。举办总决赛当年的初赛是采取由中央电视台播放试题、全国各地少年儿童都可以坐在电视机前收看并同时答题形式。总决赛口试暨颁奖典礼是由中央电视台将现场制成专题片在中央电视台少儿频道节目黄金时间多次
31、向全国播放。下面是 2007 第十二届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛试题。2.4 全国中学生数学冬令营（CMO）1985 年，我国派出两名选手参加第 26 届 IMO 以了解情况，投石问路，结果只获得一枚铜牌，与各国选手相比成绩处于中下，为了改变这一落后状况，提高我国在IMO 中的成绩，加速培养数学人才，中国数学会决定：自 1986 年起，每年一月份由中国数学会和南开大学、北京大学、复旦大学、中国科技大学中的一所大学联合举办一次全国中学生数学冬令营冬令营邀请各省、市自治区头一年全国高中联赛的优胜者（每省、市、自治区至少一名）参加冬令营通常安排五天，第一天是开幕式，第二、三两天上午考试，第四天听学
32、术报告、交流学习数学的体会或旅游，第五天宣布考试结果并发奖自 1991 年起，冬令营定名为“中国数学奥林匹克” （简称 CMO） CMO 的考试方法类似于 IMO，两天共考 6 题，每天 3 题，要求在 45 小时内完成，试题的难度接近于 IMO，从中选拔出 20 余名队员组成国家集训队，然后经过集训，最后选出 6 名选手参加当年 7 月举行的 IMO从 1986 年到 2007 年这 23 年中，我国 IMO 代表队共参加 22 次，128 人参赛，共取得 96 枚金牌、25 枚银牌、5 枚铜牌，取得 13 次团体总分第一。我国 IMO 代表队已登上国际数学奥林匹克的顶峰，它充分显示了我国中
33、学生数学教育的优秀成绩和华夏子孙卓越的数学才智正如 1989 年第 30 届 IMO 组委会主席恩格尔教授所说：“中国人希望在 2000 年实现现代化，他们的学生今年就实现了这个目标，取得了IMO 的世界第一” IMO 常务委员会主席、前苏联数学家雅克夫列夫教授称赞道：“中国古代数学的卓越成就，和如今在 IMO 中的辉煌成果，都给人留下了深刻的印12象 ”2.5 女子数学奥林匹克在国外众多数学奥林匹克中，参赛中一向男多女少。传统上不少人认为在数学上男生一般比女生强。尽管这种说法缺乏实际研究数据的支持，但数学奥林匹克参赛者男女失衡的事实促使了“女子奥林匹克” （CGMO ）的诞生。2002 年
34、8 月中国数学奥林匹克委员会在珠海举办了首届女子数学奥林匹克，参加对象是在读高中女生，此项活动的宗旨是为女同学展示数学才华与才能搭设舞台，增加女同学学习数学的兴趣，提高女同学的数学学习水平，促进不同地区女同学相互学习，增进友情。著名数学家王元院士题赠女子数学奥林匹克：“索菲、热尔曼、索菲娅、柯瓦列夫斯卡娅、埃米、诺特，这些伟大女数学家的名字与她们的突出成就足以证明女子是有很高数学天才的，当然是很适宜于研究数学的”。CGMO 每年举行一届，已经举办四届，比赛时间在每年 8 月中旬，每次比赛有30 多个队参加，每队派 4 名选手，美国、俄罗斯、菲律宾、中国香港和澳门也都曾派队参加过 CGMO。CG
35、MO 分数学竞赛和健美操比赛。数学竞赛分为第一天、第二天，每天 4 个题目，考试时间为 8：0012：00，试题难度低于 IMO。竞赛评出团体总分第 1 名和个人金、银、铜牌。个人总分前两名的同学直接进入 IMO 中国国家集训队。为了丰富参赛选手的生活，培养她们的创造能力和团队合作精神，CGMO 特安排女子健美操比赛，以检测各参赛队的综合素质和精神面貌。健美操比赛评出团体一等奖、二等奖、三等奖、最佳表演奖和最佳创意奖。第 6 届女子数学奥林匹克（CGMO）于 2007 年 8 月 11 日至 16 日在湖北省武汉市华中师大一附中举行。来自内地、香港、澳门以及美国、俄罗斯、菲律宾的共 45支代表
36、队参加了这次活动，每支代表队包括一名领队，四名高中的女学生。经过两场比赛（每次 4 个小时、做 4 道题），上海中学队取得团体总分第一名，16 名同学取得个人一等奖，30 名同学取得个人二等奖，46 名同学取得个人三等奖。总分前两名的同学直接进入了 2008 年 IMO 中国国家集训队。中国数学会奥林匹克委员会主席王杰教授担任组织委员会主任，主试委员会主任：朱华伟（广州大学计算机教育软件所所长、研究员） 委员： 李胜宏（浙江大学数学系教授） 李伟固（北京大学数学学院教授）冯祖鸣（ IMO 美国队领队,博士）王建伟（中国科技大学数学系） 叶中豪（上海教育出版社副编审） 边红平（武钢三中特级教师
37、） 。另外，著名数学家张景中院士亲自为本次比赛命题（见第二天第 7 题） 。下面是 2007 女子数学奥林匹克试题。第一天 2007 年 8 月 13 日 （ 上午 8：00 12：00 ）湖北武汉1设 m 为正整数，如果存在某个正整数 n，使得 m 可以表示为 n 和 n 的正约数个数（包括 1 和自身）的商，则 称 m 是好数求证：（1）1，2，17 都是好数；13（2）18 不是好数 （李胜宏提供）2设ABC 是 锐角三角形，点 D，E，F 分别在 BC，CA，AB 边上，线段AD，BE，CF 经过 ABC 的外心 O已知以下六个比值， ， ， ， ，BCABACD中至少有两个是整数，求
38、证：ABC 是等腰三角形 （冯祖鸣提供）3设整数 n3，非负实数 a1，a2，an满足a1a 2a n2求 的最小值 （朱华伟提供）12a231n4平面内 n （n3）个点组成集合 S，P 是此平面内 m 条直线组成的集合，满足 S关于 P 中的每一条直线对 称求证：m n，并问等号何时成立？ （边红平提供）第二天 2007 年 8 月 14 日 （ 上午 8：00 12：00 ）湖北武汉 5设 D 是ABC 内的一点，满足DACDCA30，DBA60 ，E 是 BC 边的中点，F 是 AC 边的三等分点， 满足 AF2FC 求 证：DE EF （叶中豪提供）6已知 a，b，c0， abc1求
39、证： （李伟固提供）24c37给定绝对值都不大于 10 的整数 a，b，c，三次多 项式满足条件32fxaxbc14230.1f问：2 是否一定是这个多项式的根？ （张景中提供）38n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比 赛一局规定胜者得 1 分，负者得 0 分，平局各得 0.5 分如果赛后发现任何 m 个棋手中都有一个棋手胜了其余 m1 个棋手，也有一个棋手输给了其余 m1 个棋手，就称此 赛况具有性质 P（m）对给定的 m（m4），求 n 的最小 值 f（m），使得对具有性质 P（m）的任何赛况，都有所有 n 名棋手的得分各不相同 （王建伟提供）152.6 西部数学奥林匹克西部数学奥林匹克由
40、中国数学会奥林匹克委员会发起，面向西部地区学生（也不局限于西部地区学生，也有其他地区和国家参赛）的一项高中数学赛事。举办西部竞赛的目的是鼓励更多的中西部的同学参加数学课外活动，促进西部数学教育事业的发展，为西部开发做点微薄的贡献，此项活动开展以来，一直受到西部各省、自治区数学学会及各级教育行政部门及教研机构的高度重视和欢迎，各省、自治区参赛踊跃。活动于每年 11 月份举行，参加活动的每支代表队包括领队一名、高三以下的学生四名。总分前两名的同学直接进入 IMO 中国国家集训队。下面是第六届中国西部数学16奥林匹克试题。4 数学竞赛与竞赛数学随着数学竞赛的发展，已逐渐形成了一门特殊的数学学科竞赛数
41、学，也可称为奥林匹克数学。王元纵观历届 IMO 参赛国数、选手人数的统计资料，可以看出，IMO 发展迅速，已成为当今数学教育中的一股潮流1980 年国际数学教育委员会成立了国际数学奥林匹克委员会作为其下属的一个专业委员会，这在组织机构上保证了 IMO 的正常进行，也使得关于 IMO 及数学竞赛的研究是数学教育研究中的一个重要课题历届 IMO 试题、IMO 备选题及各个国家（地区）不同层次的竞赛题和训练题，浩若烟海，内容丰厚由这些竞赛题所代表的是一种特殊的数学竞赛数学其主要研究对象是数学竞赛命题与解题的规律和艺术其知识范围大致为：代数（数列、不等式、多项式、函数方程） 、平面几何、数论、组合但是
42、有些试题往往同时涉及几个学科的知识，互相交叉，难以细分，因此只能给出一个比较粗糙的分类数学竞赛命题的内容，它已涉及到从传统数学到现代数学的各个领域IMO 命题呈现以下规律：（1）在 IMO 刚兴起阶段，所选试题都是各参赛国中学数学共有的内容，如代数、平面几何、立体几何等，但现在很难划定共有的部分，因为许多参赛国家进行了课程改革，内容发生了变动近年来 IMO 的内容的深度、广度和试题的难度都有了较大的提高，难度较小的有固定模式可循的常规题目，如恒等变形和代数方程消失了，繁难的立体几何问题消失了，属于大学数学课程的矩阵试题消失了，而数列、不等式、多项式、函数方程、平面几何、数论、组合等方面的问题，
43、出现的频率较高，这说明命题一方面提高了 IMO 问题的难度，另一方面又尽力避免超出中学生的知识范围，而在试题的创造性、灵活性等方面做文章（2）代数是学好数学的重要基础，也是 IMO 考查的重点内容之一而且数论问题、组合问题、几何不等式和极值问题常常要综合运用代数方面的知识（如恒等变形、不等式等） ，因此，代数题是 IMO 中份量很重的一部分在近年 IMO 中，内容较浅的解方程、恒等变形消失了，而数列、不等式、函数方程、多项式的内容出现频率较高，这些领域正是目前中学中的薄弱环节，同时也是初等数学中技巧性最强、最能让17学生发挥创造性的领域，可以预料这一趋势将维持下去另外，代数与几何绝对分离的局面
44、早已被打破，代数与几何相联系（如第 32 届第 1 题） ，数与形相结合（如第29 届第 4 题） ，可能更明显地在今后 IMO 中出现，这也是数学的发展在 IMO 中的体现著名数学家拉格朗日曾指出：“代数与几何在它们各自的道路上前进的时候，它们的进展是缓慢的，应用也很有限但当这两门学科结合起来后，它们各自从对方吸取新鲜的活力从此，便以很快的速度向着完美的境地迅跑 ”（3）二十世纪五六十年代的新数运动，曾经有人喊“打倒欧几里得” ，世界各国纷纷减弱平面几何教材的内容，欧几里得在中学里的地盘越来越小，但平面几何在IMO 中的地位却一直没有被动摇近年来，每届 IMO 中至少有一道平面几何题，有时甚
45、至两道，独占鳌头这是因为，一方面几何图形给各种抽象的问题提供了生动直观的图象；另一方面，几何又有严谨的逻辑结构，可以提供一系列难易程度不同的问题，在培养学生逻辑推理能力方面，起重要作用爱因斯坦说过：“如果欧几里德未能激起你少年时代的热情，那么你就不是一个天生的科学家、思想家 ”每届 IMO 试题的难度可分为：A 级（最难题） 、B 级（中等） 、 C 级（较易） ，在只有一道平面几何题时，大多是 C 级题，在一届有两道平面几何题时，大多是一道为 C 级，一道为B 级，其中 C 级题基本上是常规平面几何题，比较容易，B 级题常常脱离常规而变为共点、共线、共圆、位似、几何不等式、极值、轨迹、存在性
46、等内容，强调运动、变化、变换等观点，难度也就随之提高了例如，第 26 届第 5 题，第 30 届第 2 题，第31 届第 5 题等但考察的也大都是基本功，估计这个命题方向在几年内不会有太大的变化（4）近年 IMO 中，每届至少有一道数论题，第 26、33、34、35、39、43、44届各有两道共计 26 道，IMO 中的数论题大多为 A 级、B 级，即难度较大1990 年在北京举行的第 31 届 IMO，6 道试题中，竟有 5 道与数论有关，以至有人戏称这一年为“数论年” IMO 中的数论题除了考查常见的数论知识以外，着重考查富于创造性、灵活性的方法、技巧，如排序、估计、极端、归纳、构造、递降
47、、反证、奇偶分析、特殊化、一般化等（5）组合是 IMO 中的又一热门专题近年 IMO 中，除第 26、34 届外，每届至少有一道组合题，第 27、28、32、35、40、41、42 届各有两道组合题，第30、31、38 届各有 3 道组合题，共计 30 道（其中组合几何 10 道） ，IMO 中的组合题大多较难这是因为组合问题的特点是涉及的知识较少而包含的技巧较强，理解和解18决这类问题往往不需要很多专门的数学知识，而发现解法却相当困难，没有固定的模式可套，它要求学生自己探索、尝试，通过观察、思考，利用归纳、类比、特殊化、一般化，发现规律，找到解决问题的门径，这恰是数学奥林匹克试题所应有的风格
48、对比 19862007CMO 中国数学奥林匹克可以看到，CMO 内容与 IMO 相似，难度与 IMO 相接近，技巧也可与 IMO 相媲美，体现了 IMO 的风格与热点.IMO 所涉及的内容，走过了一段从古典传统到现代化的路程IMO 以传统的初等数学内容为起点，逐步加深难度，不断淘汰一些较陈旧的传统内容，同时挖掘传统内容 精 华 并 加 以 改 造 ， 注 入 新 的 表 现 形 式 ， 用 新 的 数 学 思 想 和 方 法 重 新 处 理 ， 并 逐步 增 加近现代数学内容，渗透近现代数学的思想和观点目前，IMO 命题的内容已稳定在代数（数列、不等式、多项式、函数方程） 、几何、数论、组合等方面，但仅仅掌握试题所涉及的数学知识，学会一些解题技巧，对付 IMO 是远远不够的，而要求选手具有一定的创造能力、灵活分析问题的能力和一定的数学机智，赛题往往形式活泼、别具风格，虽然可以用中学数学的知识解答，但问题本身又
