1、从数学竞赛到竞赛数学（7）鸯蠹西穗中学文学教学参考2005 年第 8 期飘学摩曰渤曰固陕西师范大学罗增儒3.2 数学竞赛的解题3.2.1 解教学竞赛题的基本认识数学题(简称题) 是指数学上要求回答或解释的题目,需要研究或解决的矛盾.数学家把结论未知的题目才称为题,如“哥德巴赫猜想“, 而一旦解决了就称为“ 定理“( 公式),这更多地体现了“需要研究或解决的矛盾“, 更多地体现了问题的本质是现有水平与客观需要的矛盾.在数学教学中,则把结论已知的题目也称为题,因为它对学生而言,与数学家所面 l 临的问题,情景是相似的,性质是相同的.数学教学中的题又可以粗略地分成两类:(1)练习题(exercise
2、).学生通过对教材的模仿和操作性练习,基本上就能够完成,具有接受性,封闭性和确定性的特征.(2)问题(problem).这是指一个对人具有智力挑战特征的,没有现成的直接方法,程序或算法的未解决的情境.它需要人们综合地,创造性地运用各种数学知识才能解决,具有接受性,障碍性和探究性的特征.数学竞赛题总体上属于数学“问题“(被“练习题“的世俗观点看成“难题“,“非常规题“), 解数学竞赛题的过程是“问题解决 “的过程 ,是像数学家那样做数学 ,是进行“数学地思维 “.如果说数学家解题是一个创造和发现的过程的话,那么学生(也包括部分教师)解竞赛题就是一个再创造或再发现的过程.求解数学竞赛题的必要基础是
3、掌握竞赛数学的基本内容与基本方法,这是解题力量的基本构成,没有力量什么事情也做不成,缺少知识甚至会连题目都看不懂.在此基础上还应掌握解题的基本理论.3.2.2 解数学竞赛题的一般过程“练习题“ 可以通过记忆和模仿来解决,可以通过“题型十解法“ 来训练并提高成绩 .但解竞赛题是一种创造性活动,不可能有固定的万能模式,下面所提供的是一些原则性的建议和常可成功的经验.(1)数学解题的四阶段程序.波利亚在怎样解题(1945)一书中提出了一个风靡世界的“怎样解题表 “,将数学解题按照正常人解决问题时思维的自然过程分成四个阶段:弄清问题.主要弄清条件是什么,结论是什么?思考如何建立条件与结论之间的逻辑联系
4、.这是一个认识自己所面 l 临的问题并对问题进行表征的过程 .拟定计划.这是一个探索解题思路的发现过程.波利亚的建议是分两步走.第一步,努力在已知与未知之间找出直接的联系(模式识别等).第二步,如果找不出直接的联系,就对原来的问题做出某些必要的变更或修改,引进辅助问题.为此,他又进一步建议:看着未知数,回到定义,重新表述问题 ,考虑相关问题,分解或重新组合,特殊化,一般化,类比等,积极诱发念头,努力变化问题.这实际上是在阐述和应用解题策略,并进行资源的提取与分配,基础是“过去的经验和已有的知识“, 思维上是形象思维,逻辑思维,直觉思维的共同作用.这一步是波利亚解题表的关键环节和核心内容.实现计
5、划.把看清楚,想明白的思路按照严格的逻辑规则写下来.这当中可能会有某一步骤因忽视了关键细节而反复,也可能会因认真整理思想而深化理解或触发新的灵感.回顾.这包含着常规解题步骤的“检验“, 更包含着把“ 问题及其解法“ 作为对象的自觉反思 .这一步要求我们全面地,有分析地领会所得的解法.并作为解题工作的必要环节而确定下来.数学上存在证明的方法与发现的方法,波利亚在这里主要谈的是发现的方法(称为启发法或探索法),其怎样解题的基本思想可以归结为“知识+启发法“,这也应该是解数学竞赛题的基本思想.(2)数学解题的基本框架.图 9 表明,解题过程是在解题思想的指导下,运用合理的解题策略(或原则),制订科学
6、的解题程序,进行解题行动的思维过程;而解题行动主要指从题目初参见罗增儒,罗新兵.波利亚的怎样解题表,中学数学教学参考,2004,45?参见罗增儒.数学解题学引论 .西安:陕西师范大学出版社,2004中烹霪螽翥参考蘑丽一萋魍一一一.竺始状态到目标状态的转化,这种转化的基本力量是基础理论与基本方法的运用;作为完整的解题过程还包括解法研究,如解后的回顾,反思以及自始至终的调控等,这是一个最容易被忽视的环节.幽 9(3)数学解题的信息过程.从信息论的观点看来,解题是这样一个“三位一体“ 的工作 :有用捕捉.即通过观察,从理解题意中捕捉有用的信息,主要是弄清条件是什么,结论是什么?各有几个?如何建立条件
7、与结论 (已知与未知) 之间的逻辑联系?知识经验是有用捕捉的基础.这主要表现为解题的外部表征.有关提取.即在“有用捕捉 “的刺激下,通过联想从记忆网络中提取出有关的信息(扩散),主要是提取解题依据和解题方法.良好的认知结构和机智的策略选择是连续提取,不断捕捉的基础.这主要表现为解题的内容表征.有效组合.将上述两组信息资源,加工配置成一个和谐的逻辑结构逻辑思维能力是有效组合的基础,能说服自己,说服朋友,说服论敌是基本目标.其结果表现为解题行为的输出,具有符号结构化,逻辑程序化以及操作性,可读性,征服性的特征比如,证明等腰三角形的两个底角相等,其信息过程如图 10符号信彤蒙信彤敏价隧.医壶山ACI
8、I10*罗增儒学会学解题.中学数学教学参考,2004,911j 芝;:这个过程的心理表征是:将等腰ABC 拿起来,作一个空中的翻转,使 AB 与 AC 重合,AC 与 AB 重合,A 与 A 重合(或 BC 与 CB 重合),也即翻转三角形(AACB)与其原来的位置(AABC)重合(ABCcAACB),从而 B 与 C 重合(B=C)( 如图11).在这里 ,三角形的重合正是三角形全等的定义,角的重合正是角相等的定义.(注意,并非任意三角形作一个空中翻转之后,都能通过平面平移,旋转而与原来的位置重合)CCB图 l1(4)数学证明的心理机制.回忆我们的解题过程可以看到,数学证明的心理机制是这样一
9、个“激活 扩散“ 的递扩过程:在问题的条件及结论的启引下,激活记忆网络中的一些知识点,然后沿接线向外扩散,依次激活新的有关知识.同时,要对被激活的知识进行筛选,组织,评价,再认识和转换,使之协调起来,直到条件与结论之间的线索接通,建立起逻辑演绎关系.可见,良好的知识网络,灵活的信息转换和恰当的策略调控是不断激活,连续扩散的基础.3.2.3 怎样学会解题通常要经历四个阶段.(1)简单模仿.即模仿着教师或教科书的示范去解决一些识记性的问题.这是一个通过被模仿者的行为,获得相应的表象,从而产生类似的过程.这里已有体验性的初步理解了.(2)变式练习.即在简单模仿的基础上迈出主动实践的一步,主要表现为做
10、数量足够,形式变化(干扰性)的习题,本质上是进行操作性活动与初步应用.其作用首先是通过变换方式和添加次数来增强效果,巩固记忆,熟练技能(使之达到自动化反应的程度);其次是通过必要的实践来积累理解所需要的操作数量,活动强度和经验体会学习数学不能单靠模仿和练习,但缺少这两步又是不行的.没有亲身的体验,没有足够的过程,没有过薄爨蘑蟪中学数学教学参考2oo5.第嗍硬的“ 双基 “,数学理解就被架空了.模仿和变式练习应是学生获得本质领悟的基础或必要环节(“熟能生巧 “可以找到心理学解释).而对求解竞赛题来说,更重要的是跨越这两步而产生理解.(3)自发领悟.即在模仿与练习的基础上产生理解.指当事者在解题实
11、践中领悟到知识的深层结构,表现为豁然开朗,恍然大悟,但这种领悟常常是直觉的,“只可意会,不可言传“. 因而 ,这是一个潜意识与显意识交错,由“ 双基 “升华为能力的过程,也是各人自己去体会“解题思路的探求“,“解题能力的提高“,“解题策略的形成“,“ 解题模式的提炼“,从而获得能力的自身性增长与实质性提高的过程.在这一阶段中会存在高原现象.(4)自觉分析.这是一个理解从自发到自觉,从被动到主动,从感性到理性,从内隐到外显的飞跃阶段,表现为解题思路的主动设计,知识资源的理性配置,解题策略的自觉调控.尽快进入这个阶段的一个基本途径是对解题过程进行自觉的分析,弄清解题的知识基础,逻辑结构,信息流程,
12、弄清解题中用到哪些知识,哪些方法,这些知识和方法又是怎样组成一个和谐的逻辑结构的.这是一个通过已知学未知,通过分析“怎样解题“ 而领悟“怎样学会解题“的过程.其心理学基础是元认知理论 .以上关于怎样解题和怎样学会解题的建议,需要通过具体解题实践来亲自体验和获得理解.参考文献1 中国数学会普及工作委员会编.第 26 届国际数学奥林匹克.北京:中国青年出版社.19872 单撙.数学竞赛史话.南京:广西教育出版社,1990 年初版,1992 年再版3 思维.国际数学奥林匹克和中国的数学竞赛.数学的认识与实践,1990,24 孙冲之.国际数学奥林匹克记趣.参考消息,19905 罗增儒.数学竞赛导论.西
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