1、 BCA江苏无锡一中 20102011 学年度高二（下）期中考试数学（理）试题一、填空题：（共 15 小题，每小题 5 分，共 75 分）1 “因为四边形 ABCD是菱形，所以四边形 ABCD的对角线互相垂直” ，补充以上推理的大前提为 2已知复数 134zi和 2zi在复平面内所对应的向量分别为 12,OZ（其中 为坐标原点） ，记向量 1Z所对应的复数为 z，则 的共轭复数为_3某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买方案共有_种4 876除以 所得的余数为_5已知复数 053i的虚部为 m，则 3的值为_6用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于 60”时
2、，假设部分的内容应为_7在 72)1(x的展开式中， 2x项的系数为 （用数字作答）8已知在 ABC中， ,abc为内角 ,ABC所对的边长， r为内切圆的半径，则 ABC的面积 Sr，将此结论类比到空间，已知在四面体 D中，_，则_9已知复数 51()zi，复数 z满足 1i，则 1z的最大值为_10已知在二项式 32nx的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则第四项为_ （系数用数字作答）11从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师，派到 3 个班担任班主任（每班 1 位班主任）， 要求这 3 位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有_种（用数字作答）12已知 9239
3、01(2)xaxaxx ，则 204985)()a 的值为 13如右图，某地有南北街道 5 条，东西街道 7 条一邮递员从东北角的邮局 A出发，送信到西南角的 B地，且途经 C地，要求所走路程最短，则共有_种不同的走法 （用数字作答）14有两排座位，前排 9 个座位，后排 10 个座位，现安排 2 人就座，规定前排中间的 3 个座位不能坐，且这 2 人不能相邻，则不同排法的种数为_ （用数字作答）15已知实数 0x，从不等式 2214, 3xx，启发我们推广为 ()()nN，则“（ ） ”中应填写_二、解答题：（共 6 题，共 85 分）16 （本题共 2 小题，第一小题 4 分，第二小题 8
4、 分，共 12 分）在学习二项式定理时，我们知道杨辉三角中的数具有两个性质： 每一行中的二项式系数是“对称”的，即第 1 项与最后一项的二项式系数相等，第 2 项与倒数第 2 项的二项式系数相等， ； 图中每行两端都是 1，而且除 1 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和我们也知道，性质对应于组合数的一个性质： mnC（1）试写出性质所对应的组合数的另一个性质；（2）请利用组合数的计算公式对（1）中组合数的另一个性质作出证明17 （本题共 3 小题，第一小题 4 分，第二小题 4 分，第三小题 7 分，共 15 分）已知复数 22(6)()(zmmiR在复平面内所对应的点为 A（1）若复数 4
5、为纯虚数，求实数 的值；（2）若点 A在第二象限，求实数 的取值范围；（3）求 的最小值及此时实数 的值18 （本题共 3 小题，第一小题 6 分，第二小题 5 分，第三小题 5 分，共 16 分）用 5,421,0这六个数字组成无重复数字的正整数（1）共有多少个四位数？其中偶数有多少个？（2）比 4301 大的四位数有多少个？（3）能被 3 整除的四位数有多少个？注：以上结果均用数字作答19 （本题共 12 分）试问函数 ()sinfx是否为周期函数？请证明你的结论20 （本题共 3 小题，第一小题 6 分，第二小题 5 分，第三小题 5 分，共 16 分）在 2()nx的展开式中，已知第
6、5 项的系数与第 3 项的系数之比是 3:6（1）求展开式中所有项的系数之和及奇数项的二项式系数之和；（2）求展开式中的所有有理项；（3）求展开式中系数绝对值最大的项注：所涉及的系数均用数字作答21 （本题共 3 小题，第一小题 4 分，第二小题 6 分，第三小题 4 分，共 14 分）已知 )(121)( Nnnf 经计算得 57,(),8,(3,(2),2ffff ，通过观察，我们可以得到一个一般性的结论（1）试写出这个一般性的结论；（2）请证明这个一般性的结论；（3）对任一给定的正整数 a，试问是否存在正整数 m，使得 123am？若存在，请给出符合条件的正整数 的一个值；若不存在，请说
7、明理由参考答案一、填空题：（共 15 小题，每小题 5 分，共 75 分）1菱形的对角线互相垂直 2 13i 37 47 5 86三角形的三个内角都大于 60 7 48已知在四面体 ABCD中， 12,S分别为四个面的面积， r为内切球的半径，则四面体 的体积 34()VSr9 41 10 150x 11420 121 1390 14214 15 n二、解答题：（共 6 题，共 85 分）16 （本题共 2 小题，第一小题 4 分，第二小题 8 分，共 12 分）（1） 11mmnnC4 分（2）因为 ()!2 分1 !()(1)mn nnm2 分(1)!nm3 分所以 11mmnnC1 分1
8、7 （本题共 3 小题，第一小题 4 分，第二小题 4 分，第三小题 7 分，共 15 分）（1）由25602 分解得 2 分注：未舍解的扣 2 分（2）由260m2 分解得 3或 12 分（3） 222()()zm1 分令 9,4t，2 分则 2 216()8zt2 分所以当 t即 7时，1 分z有最小值 1 分18 （本题共 3 小题，第一小题 6 分，第二小题 5 分，第三小题 5 分，共 16 分）（1）四位数：300 个3 分四位偶数：156 个3 分（2）83 个5 分（3）96 个5 分19 （本题共 12 分）解：函数 ()sinfx不是周期函数2 分证明如下：（反证法）假设函
9、数 f的一个周期为 (0)T，则有 ()(fxTf成立，即 i()iTx对一切实数 x均成立3 分取 0x和 得， sin4 分此与 相矛盾1 分所以假设不成立1 分于是可知，函数 ()sinfx不是周期函数1 分20 （本题共 3 小题，第一小题 6 分，第二小题 5 分，第三小题 5 分，共 16 分）（1）由 42():()5:3nnC，解得 102 分所有项的系数之和为 102 分奇数项的二项式系数之和为 22 分（2）510 61 103()(rrrrrrTxCx2 分56应为整数， 可取 ,1 分于是有理项为 51x和 74T各 1 分（3）由 10012rrC2 分注：等号不写扣 1 分解得 39r，于是 r只能为 72 分所以系数绝对值最大的项为568130Tx1 分21 （本题共 3 小题，第一小题 4 分，第二小题 6 分，第三小题 4 分，共 14 分）（1） 1(2)nf（当且仅当 1n时取等号）4 分注：漏等号扣 1 分（2）证明：（数学归纳法） 当 时，显然成立假设当 nk时成立，即 11232k 2 分当 1时，左边 112kk 11kk22kk55共 项1k右边即当 nk时，也成立3 分由 12知， ()2nf成立1 分（3）存在1 分可取 am3 分
