1、第三节 函数的极限,第一章,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,自变量变化过程的六种形式:,二、自变量趋于有限值时函数的极限,本节内容 :,由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数,所以,可望将数列的极限理论推广到函数中, 并用极限理论研究函数的变化情形.,的图形可以看出:,如何描述它？,定义1 . 设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,直线 y = A 为曲线,的水平渐近线.,A 为函数,直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .,两种特殊情况 :,当,时, 有,当,时, 有,几何意义:,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,
2、注:,二. 自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时函数极限的定义,引例. 测量正方形面积.,面积为A ),边长为,(真值:,边长,面积,直接观测值,间接观测值,任给精度 ,要求,确定直接观测值精度 :,定义1 . 设函数,在点,的某去心邻域内有定义 ,当,时, 有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,即,当,时, 有,若,记作,几何解释:,极限存在,函数局部有界,(P36定理2),这表明:,例1. 证明,证:,故,对任意的,当,时 ,因此,总有,例2. 证明,证:,故,取,当,时 , 必有,因此,例4. 证明: 当,证:,欲使,且,而,可用,因此,只要,时,故取,则当,时,保证 .,必有,
3、2. 左极限与右极限,左极限 :,当,时, 有,右极限 :,当,时, 有,定理 3,( P38 题8 ),例5. 设函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解: 利用定理 3 .,因为,显然,所以,不存在 .,三. 函数极限的性质,定理1（唯一性） 如果函数f(x)在某个极限过程中,极限存在，那么这极限唯一。,定理2 （局部有界性）如果,那么存在,常数,M 0,和,使得当,时，有,1、唯一性和有界性,2. 保号性定理,定理1 . 若,且 A 0 ,证: 已知,即,当,时, 有,当 A 0 时,取正数,则在对应的邻域,上,( 0),则存在,( A 0 ),(P37定理3),若取,则在对应的邻域,上,
4、若,则存在,使当,时, 有,推论:,(P37 推论),分析:,定理 2 . 若在,的某去心邻域内, 且,则,证: 用反证法.,则由定理 1,的某去心邻域 ,使在该邻域内,与已知,所以假设不真,(同样可证,的情形),思考: 若定理 2 中的条件改为,是否必有,不能!,存在,如,假设 A 0 ,条件矛盾,故,四. 函数极限与数列极限的关系,1. 函数极限与数列极限的关系,定理3.,有定义,为确定起见 , 仅讨论,的情形.,有,定理3.,有定义,且,设,即,当,有,有定义 , 且,对上述 ,时, 有,于是当,时,故,可用反证法证明. (略),有,证：,当,定理3.,有定义,且,有,说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .,法1 找一个数列,不存在 .,法2 找两个趋于,的不同数列,及,使,例1. 证明,不存在 .,证: 取两个趋于 0 的数列,及,有,由定理 1 知,不存在 .,内容小结,1. 函数极限的,或,定义及应用,2. 函数极限的性质:,保号性定理,与左右极限等价定理,思考与练习,1. 若极限,存在,2. 设函数,且,存在, 则,例3,Th1,Th3,Th2,是否一定有,？,
