1、7/5/2019 10:25 PM,微积分讲义,设计制作,王新心,7/5/2019 10:25 PM,1.3 函数关系,（五）多值函数,（四）函数定义域,（二）函数关系,（一）关系,（三）函数记号,（六）隐函数,7/5/2019 10:25 PM,数学是一门研究数量关系与空间形式的科,数学上，抽象地将关系作为集合的笛卡尔,第一章 函数,（一）关系,关系”，,“关系”一词是大家常用的。,系”等等。,学，,乘积的子集来讨论。,例如，“同学,因此，,“关系”是数学中一个重要的概念。,“师生关系”，,“父子关系”，,“上下级关,7/5/2019 10:25 PM,例1 设集合 和 均为全体实数集，,在
2、平面直角坐标系中，,图形为,第一章 函数,集合 中的每一个实数 与集合 中的所有小,于它的实数 相对应，,的关系。,这个关系就是实数集上,集,满足关系 的点,7/5/2019 10:25 PM,例2 设集合 和 均为全体实数集，,图形为,第一章 函数,集合 中的每一个实数 与集合 中的 相,对应，,满足这个关系的点集,这个关系就是实数集上 的关系。,7/5/2019 10:25 PM,例1中的关系：,第一章 函数,多个 与之对应。,有无穷,一个 与之对应。,有且只有,例2中的关系：,这种关系称为函数关系。,微积分研究的对象主要是函数关系,对每一个,对每一个,7/5/2019 10:25 PM,
3、(二) 函数关系,记作,称为自变量，称为因变量。,集合 称为函数,第一章 函数,设有一个对应规则 ，,【定义1.9】 若 是一个非空实数集合，,使每一个 ，,个确定的实数 与之对应，,都有一,为定义在 上的一个函数关系，,是变量 的函数，,则称这个对应规则,的定义域，,或称变量,也可记作 。,7/5/2019 10:25 PM,全体函数值的集合,第一章 函数,对于 所对应的 值，,或 ，,记作 或,的函数值。,称为当 时函数,称为函数 的值域，记作 或 。,7/5/2019 10:25 PM,即为定义在 上的函数 的图形。,一般地，它是平面上的曲线。,如图所示,第一章 函数,的变化，,在平面直
4、角坐标系中取自变量在横轴上,因变量在纵轴上的变化，,则平面点集,7/5/2019 10:25 PM,函数的三种表示法,例3,定义域为,这是用公式表示的 是 的函数关系。,第一章 函数,等运算表示的算式。,利用加、减、乘、除、乘方、开方和复合,1.解析法（公式法）,7/5/2019 10:25 PM,这是用表格表示的股票 与价格 的函数,定义域,四川路桥，新五丰， ，中恒集团,第一章 函数,2.表格法,前5名的股票及其价格。,例4 2008年05月16日沪市涨幅和跌幅,关系。,7/5/2019 10:25 PM,例5 2008年05月16日上证指数分时图,这是用图形表示的时间 与上证指数,定义域
5、,第一章 函数,3.图形法,之间的函数关系。,7/5/2019 10:25 PM,函数关系的两个重要要素,定义域和对应规则,两函数相等,定义域相同，对应规则相同。,例6 讨论 是否为函数关系？,解 对任意的实数 ，有,此时， 没有意义，,与之对应，,则此例不是函数关系。,即 没有实数,第一章 函数,7/5/2019 10:25 PM,例7 讨论 是否为函数关系？,解 每给一个 ，,例8 讨论 与 是否为相同的,解 函数 的定义域为全体实数；,而函数 的定义域为不为0的实数，,由于定义域不同，,第一章 函数,此规则不符合函数定义，,有无穷多个 与之对应,函数关系？,所以不是相同的函数关系。,7/
6、5/2019 10:25 PM,如图所示,第一章 函数,7/5/2019 10:25 PM,解 两函数的定义域都是全体实数，,函数,如图所示,第一章 函数,数关系？,但对应关系却不同。,例9 讨论 与 是否为相同的函,7/5/2019 10:25 PM,(三) 函数记号,函数 中的“ ”表示函数关系中,例10 若,则,第一章 函数,的对应规则，,一个确定的 值与之对应。,即对每一个 ，,按规则 有,7/5/2019 10:25 PM,例11 若,解,第一章 函数,求,7/5/2019 10:25 PM,例12 若,解,第一章 函数,求,例13 若,求,解 设,则,由于变量用什么字母不影响函数关
7、系,故,是否还有更简便的方法？,7/5/2019 10:25 PM,例14 求函数 的定义域,解 只有当 且 时，,时，,才能取确定的实数,因此 的定义域为,第一章 函数,即,（四）函数的定义域,7/5/2019 10:25 PM,例15 求函数,的定义域。,解 当 且 时，,即,得,所以，定义域为,第一章 函数,函数才,能取确定的实数，,7/5/2019 10:25 PM,(五) 多值函数,在函数定义中，,但也常遇到另一种关系，,对非空集合 中的 值，,第一章 函数,一的一个确定的 值与之对应。,要求每一个 ，,有唯,对每一个 ，,数定义，,有两个 与之对应，,它不符合函,但为了方便，作如下
8、定义,对应的关系，,有多个 值与之,如,称为多值函数。,7/5/2019 10:25 PM,例,可表示成两个单值函数 和,如图所示,说明 如果没有特别要求，,第一章 函数,教材中的函数指单值函数。,7/5/2019 10:25 PM,利用公式法表示函数时，,因变量是用自变量的表达式表示出来的，,因变量和自变量的对应规则是用一个方程,第一章 函数,（六）隐函数,显函数和隐函数两种。,又可将函数分为,称此函数为显函数。,如,表示的，,如,称此函数为隐函数。,7/5/2019 10:25 PM,有些隐函数可通过解方程，,但有些隐函数化成显函数就比较困难，,教材中对隐函数的讨论，,第一章 函数,数，,
9、将其化成显函,称为隐函数的显化。,如,甚至普通的运算不能将其化成显函数。,如,化的。,一般是不需要显,7/5/2019 10:25 PM,内容小结,2.函数的定义域和值域,1.函数的概念,3.多值函数的概念,4. 隐函数,作业 P42 2528，34 41,第一章 函数,7/5/2019 10:25 PM,备用题,1.判断下列函数是否相同？,（1）,（2）,解 （1）不相同，,的定义域为 ，,（2）相同，,第一章 函数,的定义域为,因为定义域不同。,定义域和对应规则都相同。,7/5/2019 10:25 PM,2.已知 ，,解,第一章 函数,求,7/5/2019 10:25 PM,解,3.已知 ，,第一章 函数,求,
