1、- 1 -数学：2.2.1综合法和分析法教案教学目标：（一）知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。（二）过程与方法: 培养学生的辨析能力 和分析问题和解决问题的能力；（三）情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. 教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过
2、程：一、复习准备：1. 已知 “若 12,aR，且 12a，则 124a”，试请此结论推广猜想.（答案：若 .n，且 .n，则 121.naa 2）2. 已知 ,bc， bc，求证： 9bc.先完成证明 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题： 出示例 1：已知 a, b, c 是不全相等的正数，求证：a(b 2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc.分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） 板演证明过程（注意等号的处理） 讨论：证明形式的特点 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结
3、论成立.框图表示： 要点：顺推证法；由因导果. 练习：已知 a，b，c 是全不相等的正实数，求证 3bcabac. 出示例 2：在ABC 中，三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 A、B、C 成等差数列，a、b、c 成等比数列. 求证：为ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ 板演证明过程 讨论：证明过程的特点. 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角 和）- 2 -2. 练习： ,AB为锐角，且 tant3tan3ABA，求证： 60AB. （提示：算tan()） 已知 ,bc 求证： 14.bc3.
4、 小结：综合法是从已知的 P 出发，得到一系列的 结论 12,Q，直到最后的结论是 Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习 ：1. 求证：对于任意角 ， 44cosincos2. （教材 P100 练习 1 题） （两人板演 订正 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC的三个内角 ,ABC成等差数列，求 证： 13abcab.3. 作业：教材 P102 A 组 2、3 题.第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点
5、：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？ 2. 讨论：如何证明基本不等式 (0,)2abab.（讨论 板演 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题： 出示例 1：求证 3526. 讨论：能用综合法证明吗？ 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ 板演证明过程 （注意格式） 再讨论：能用综合法证明吗？ 比较：两种证法 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、
6、定义、公理等）为止.框图表示： 要点：逆推证法；执 果索因. 练习：设 x 0，y 0，证明不等式：1123()()xyxy.先讨论方法 分别运用分析法、综合法证明. 出示例 2：见教材 P97. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） 出示例 3：见教材 P99. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与 已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，- 3 -那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为 l，则周长为 l 的圆的半径为 2l，截面积为 2()l，周长为l 的正方形边长为 4，截面积为 2()4，
7、问题只需证： () 24l.3. 小结：分析法由要证明的结论 Q 思考，一步步探求得到 Q 所需要的已知 12,P，直到所有的已知 P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析) ，从 “已知”推“可知” （综合） ，双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 设 a, b, c 是的ABC 三边，S 是三角形的面积，求证： 2243cabS.略证：正弦、余弦定理代入得： 2cos43sinabCC，即证： 2os3inC，即： 3in，
8、即证： i()16（成立）.2. 作业：教材 P100 练习 2、3 题.第三课时 2.2.2 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转 2 枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样 一个命题：“过在同一直线上的三点 A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？3. 给出证法：先假设可以作一个O 过 A、B、C 三点，则 O 在
9、 AB 的中垂线 l 上，O 又在 BC 的中垂线 m 上，即 O 是 l 与 m 的交点。但 A、B、C 共线，l m(矛盾) 过在同一直线上的三点 A、B、C 不能作圆.二、讲授新课：1. 教学反证法概念及步骤： 练习：仿照以上方法，证明：如果 ab0，那么 ba 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 从假设出发，经推理论证得到矛盾 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成 立应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公OABCDP- 4 -理、定理
10、、事实矛盾等）.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 注：结合准备题分析以上知识.2. 教学例题： 出示 例 1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 分析：如何否定结论？ 如何从假设出发进行推理？ 得到怎样的矛盾？与教材不同的证法：反设 AB、CD 被 P 平分，P 不是圆心，连 结 OP，则由垂径定 理：OP AB，OP CD，则过 P 有两条直线与 OP 垂直（矛盾） ，不被 P平分. 出示例 2：求证 3是无理数. （ 同上分析 板演证明，提示：有理数可表示为/mn）证：
11、假设 是有理数，则不妨设 3/mn（m ,n 为互质正整数） ，从而： 2(/)n， 2，可见 m 是 3 的倍数.设 m=3p（p 是正整数） ，则 29p，可见 n 也是 3 的倍数.这样，m, n 就不是互质的正整 数（矛盾）. /不可能， 是无理数. 练习：如果 1a为无理数，求证 a是无理数.提示：假设 为有理数，则 可表示为 /q（ ,为整数） ，即 /apq.由 ()/pq，则 也是有理数，这与已知矛盾. 是无理数.3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多” 、 “至少” 、 “均是” 、 “不都” 、 “任何” 、 “唯一”等特征的问题）三、巩固练习： 1. 练习：教材 P102 1、2 题 2. 作业：教材 P102 A 组 4 题.
