1、一、形如 的积分,二、形如 的积分,三、形如 的积分,第三节 留数在定积分计算上的应用,四、小结与思考,2,一、形如 的积分,思想方法 :,封闭路线的积分 .,两个重要工作:,1) 积分区域的转化,2) 被积函数的转化,把定积分化为一个复变函数沿某条,3,形如,4,z的有理函数 , 且在 单位圆周上分母不 为零 , 满足留数定 理的条件 .,包围在单位圆周 内的诸孤立奇点.,5,例3,解,故积分有意义.,6,7,8,因此,9,若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次,并且分母在实轴上无孤立奇点.,一般设,分析,可先讨论,最后令,即可 .,二、形如 的积分,10,2. 积分区域的转化:,取一条
2、连接区间两端的按段光滑曲线, 使与区间,一起构成一条封闭曲线, 并使R(z)在其内部除有,限孤立奇点外处处解析.,(此法常称为“围道积分法”),1. 被积函数的转化:,(当z在实轴上的区间内变动时 , R(z)=R(x),可取 f(z)=R(z) .,11,这里可补线,(以原点为中心 , R为半径,的在上半平面的半圆周),内部(除去有限孤立奇点）处处解析.,取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点,都包在这积分路线内.,12,根据留数定理得 :,当 充分大时, 总可使,13,14,例4 计算积分,解,15,16,积分存在要求: R(x)是x的有理函数而分母的次,数至少比分子的次数高一次
3、, 并且R(z)在实轴上,无孤立奇点.,与,曲线C ,使R(z)所有的在上半平面内的极点,包在这积分路线内 .,同前一型: 补线,一起构成封闭,都,三、形如 的积分,17,对于充分大的 , 且 时, 有,18,从而,19,由留数定理:,20,例5 计算积分,解,在上半平面只有二级极点,又,21,22,例6 计算积分,分析,因,在实轴上有极点,应使封闭路,线不经过奇点, 所以可取图示路线:,23,解,封闭曲线C:,由柯西-古萨定理得:,由,24,25,当 充分小时, 总有,26,即,27,例7,证,如图路径，,28,29,令两端实部与虚部分别相等，得,菲涅耳(fresnel)积分,30,四、小结与思考,本课我们应用“围道积分法”计算了三类实 积分, 熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难 点.,31,思考题,32,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,
