1、 奇偶趣谈 有一天，天色很暗，又停电了，我们班的同学进教室时，都下意识地 摁了一下灯的开关，前一天离校时开关处于关的状态，第一小组 6 个人，都摁了一下开关后，开关处于打开还是关闭的状态？前三个大组 40 人都摁了一下开关后，开关处于打开还是关闭的状态？全班 53 个同学都摁了一下开关后，开关处于打开还是关闭的状态？一、你的猜想是什么？请你试着想一想用什么方法解决这个问题。 二、请你试着把自己解决问题的过程和结果写下来：三、跟大家交流你的方法：汶川大地震发生后，船工要利用小船跨过一条河，从南岸往北岸给 受灾的群众送寄教学内容说明：本课的教学重点在于通过观察、分析、猜想、讨论 、和 归纳的研究方
2、法， 结合生活实际体会和研究出加、减、乘运算中数的奇偶变化规律，并能应用。教材分析和教学建议：奇偶变化规律的问题是一种让学生感到很有趣、很乐于去研究的数学问题，由于它常见于我们的生活之中，因此本课的设计亦从生活出发设计了停电后开启若干次后开关的状态问题，有效地调动 了学生学习的积极性。教学时，教师可以引导学生先进行猜想，当然这里的猜想是要有方法的，可让学生用文字形式或列表形式进行，循序渐进地发现并总结出规律，同时对猜想 进行了验证。文字形式：1- 开 2-关 3-开 4-关 5-开 6-关发现规律：奇数次为开，偶数次为关。列表形式：1 2 3 4 我的发现：开 关 开 关 奇数次为开，偶数次为
3、关根据上面的规律，情境中的问题便可迎问题情境问题探究问题解决刃而解。 （6 个人摁过开关之后状态为关， 40个人摁过开关之后状态为关，53 个人摁过开关之后状态为开。 ）养，并从北岸往南岸送灾民到安全地带安置，每天不断往返于南北两岸。如果小船最初在南岸，那么：（1）小船摆渡 11 次后，小船在南岸还是北岸？为什么？用自己的方法表示出来。（2）小明说摆渡 100 次后，小船在北岸，他的说法对吗？为什么？2、一个杯子杯口朝上放在桌上，翻动 1 次，杯口朝下，翻动 2 次杯口朝上。翻动 10 次后，杯口朝 ，翻动 19 次后杯口朝 。想一想：翻动的次数与杯口的朝向有什么关系？翻动奇数次后，杯口朝 。
4、翻 动偶数次后，杯口朝 。3、火车 在东 西两站往返，最初在东站，第 91次后火车在（ ）站，200 次后在（ ）站。观察圆内和方框内的两组数：圆内的数： 12、8、20、34、6、80、16、52 方框内的数：11、49、25、21、3、37、101、87说一说圆内的数和方框内的数各有什么特点？问题解决：第 1 题：先安排学生进行独立思考并找出规律，必要时教师可以给 予适当的引导。最初在南岸，那么摆渡一次后在北岸，两次后回到南岸，三次后在北岸，四次后又回到南岸，由此可以找出规 律：奇数次在北岸，偶数次在南岸。题目中摆渡 11 次，小船应该在北岸。摆渡 100 次小船应该 在南岸。第 2 题：
5、引导学生独立解决。翻动 1 次，杯口朝下，翻动 2 次杯口朝上，依此推理可以得出翻动奇数次后杯口朝下，翻动偶数次后杯口朝上，因此翻动 10 次后，杯口朝上，19 次后杯口朝下。如果起初杯口是朝下放在桌上，那么得出的结论就将是翻动奇数次杯口朝上，翻动偶数次杯口朝下。第 3 题：放手让学生自己解决之后再汇报。最初火车在东站，运行 1 次后火车停在西站，运行 2 次后火车停在东站，第 3 次到西站，第四次有回到东站即奇数次在西站，偶问题拓展数次在东站。因此第 91 次后火车在西站，200 次后在东站。问题拓展：一个自然数不是奇数就是偶数。是 2 的倍数的数叫做偶数，判断方法是：个位是0,2、4、6、
6、8 的数；不是 2 的倍数的数叫做奇数，判断方法是：个位是 1、3、5、7、9 的数。因此圆内的数都是偶数，方框内的数都是奇数。试一试：分小组探究两数相加与和的奇偶变化规律，独立思考基础 上，小 组内交流成果，互相判断。1、从圆中任意取出两个数相加，和是什么数？ 得出结论：-从方框中任意取出两个数相加，和是什么数？得出结论：-分别从圆和正方形中各取一个数相加，和是什么数？得出结论：- 2、仿照以上方法探究，两数相减与差的奇偶性变化规律是：偶数-偶数 = 奇数-奇数 = 偶数-奇数 = 奇数-偶数 = 3、两数相乘与积的奇偶性变化规律是：偶数偶数 = 偶数奇数 = 奇数奇数 = 通过本节课的学习
7、，你有什么收获？第 1 题：教 师可以让学生先 进行初步的猜想，例如：圆内的数均为偶数，因此可能是偶数+偶数 =偶数，之后 让学生多次从圆内任意取出两个数相加，结果都会得出和仍为偶数，从而验证得出：偶数+偶数= 偶数。鼓励学生仿照运用知识 迁移的方法通过猜想、验证、 归纳得出结论：奇数+ 奇数=偶数。先引导学生 进行猜想，再让学生从圆和方框内任意地各取一个数相加，看和是什么数，从而验证出自己的结论，得出：偶数+奇数=奇数。第 2 题：教师可以引导学生任意找出不同的的奇数和偶数进行题目中的运算，通过猜想、验证和归纳的方法找出两数相减与差的奇偶性变化规律。得出：偶数-偶数 = 偶数 奇数- 奇数=
8、偶数 偶数-奇数 =奇数 奇数- 偶数=奇数第 3 题：教师可引导学生应用上一题的方法本课回顾让其独立完成。得出结论：偶数偶数 =偶数 偶数奇数=偶数 奇数奇数 =奇数引导学生总结规律：1）相同奇偶性的两个数相加减，结果都是偶数；不同奇偶性的两个数相加减，结果都是奇数。2）有偶数的乘法，结果一定是偶数；只有奇数的乘法， 结果还是奇数。（连乘也符合此 规律）1、不计算，迅速判断下面的结果是奇数还是偶数？987-354 （ ） 786-238（ ）998+248 （ ） 6237+345（ ）132136（ ） 789183（ ）107134（ ） 15271358（ ）2、试一试：1+2+3+4
9、+99+100 的和是奇数还是偶数？3、4 个同样的小球，分别标上数字 1,2,3,4.每次任意摸出两个球，球上的数字之和为偶数算小红赢，两数之和为奇数算小明赢。 这样的游戏公平吗？切 割 问 题一个长方体木块，长 2.7 米， 宽 1.8 分米，高 1.5 分米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？第 1 题：解决此类题只需要根据前面一题得出的结论判断个位上的数加减乘运算之后的奇偶性即可。教师完全可以放手让学生独立完成后在交流汇报。987-354 （ 奇数 ） 786-238（ 偶数 ）998+248 （ 偶数 ） 6237+345（ 偶数 ）132136
10、（ 偶数 ） 789183（ 奇数 ）107134（ 偶数 ） 15271358（ 偶数 ）第 2 题：从 1 到 100 中共有 50 个奇数和 50个偶数，50 个奇数相加和是偶数，50 个偶数相加还是偶数，因此和仍然是偶数。第 3 题：不公平，任意摸出数的和会出现1+2=3，1+3=4,1+4=5,2+3=5,2+4=6,3+4=7 这六种情况，由此可见出现数字之和为偶数的几率是三分之一，和为奇数的几率是三分之二。 同样是上面的游戏，两数之和大于 5 算练一练问题情境小红赢，两数之和小于 5 算小明赢。 这样就公平了。教学内容说明：本课的教学重点在于让学生在熟练掌握最大公因数计算方法的基
11、础上利用其意义来解决生活中的实际问题。一、请你试着想一想解决这个问题需要考虑哪些因素？你的思路是什么？ 信息：问题：思路：二、请你试着自己解决这个问题，并把解决问题的过程和结果写下来：三、跟大家交流你的方法：1、有 3 根钢管，它们的长度分别是 240 厘米，200 厘米和 480 厘米，如果把它们截成同样长的小段，且不许有剩余。每小段最长可以是多少厘米？2、有 50 个梨，75 个橘子和 100 个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？教材分析与教学建议：切割问题实际上就是最大公因数问题。对于学生来说，判断是最大公因数问题还是最小公
12、倍数问题是一个难点。因此本节课的教学应注重帮助学生正确辨析并解决有关最大公因数的实际问题。教材设计了将长方体木块切割成正方体求正方体最大棱长的环节，教学时，教 师可先引导学生根据数学信息提出思路，让学生独立思考，尝试解决。在这个过程中，很多学生会出现利用最小公倍数来解决，这时教师不用急于纠正，可以启发学生通过画图来验证用最小公倍数来解决是错误的。解决此题时，要先将已知信息单位换算，即：2.7 米=270 厘米，1.8 分米=18 厘米，1.5分米=15 厘米，要把它切成大小相等的正方体木块，不 许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公 约数。 现要求正方体的棱长最问题探究问题解决大，所以棱长
13、应该是长、宽、高的最大公因数。（270,18,15）=3，3 厘米=0.3 分米，正方体的棱长最大是 0.3 分米。问题解决：第 1 题：要求出每小段最长是多少就是要求3 根钢管长度的最大公因数，教师可以放手让学生独立解决。（240,200,480）=40，即每小段最长是 40 厘米。第 2 题：可以让学生根据前面两题的解题思路独立解决，得出：（50,75,100）=25，因此可以分给 25 个组。3、有一张长 240 厘米，宽 140 厘米的薄铁，截成相等的最大正方形，每边长多少厘米？至少能裁成多少块？1、一个自然数除 1186 余 1，除 1161 余 2，除 2209 少 3，问这个自然
14、数是几？2、38 本日记本，41 支钢笔，平均 奖给评出的优秀学生，结果日记本多 2 本， 钢笔差 1 支，问评出的优秀学生最多有几人？3、将 22 块橡皮和 33 支铅笔平均分给参加打扫教室卫生的同学，结果橡皮多 1 块， 铅笔少 2 支，参加打扫卫生的同学有多少名？通过本节课的学习，你有什么收获？第 3 题：由于此题是求出所截的最大正方形，因此要求出长和宽的最大公因数，即：（240,140）=20，那么就至少能截（24020）（14020）=127=84 块， 问题得解。学生依据前面的思路能够求出边长，至少能截多少块可以让学生通过画图来帮助理解。问题拓展：第 1 题：教师可以让学生先读懂题
15、意，正确理解已知条件，得出：这个自然数能整除1185（1186-1），也能整除 1659（1661-2），还能整除 2212（2209+3），所以所求的自然数就是 1185、1659、2212 的最大公因数，即：（1185,1659,2212）=79.第 2 题：教学时可以让学生先结合第 1 题的做法试着解决，必要时个别学生可以给予适当引导。根据题意，如果日记本少 2 本，钢笔多 1 只，就可以平均讲给这几个学生，所以本题可以归结为：36 本日记本和 42 支钢笔问题拓展本课回顾平均奖给优秀学生，最多有几人？因为（36,42）=6，所以优秀的学生最多有 6 人。第 3 题：教师可以让学生自己解
16、决这个问题，有困难的学生给予帮助。实际上是将 21 块橡皮和 35 支铅笔平均奖给同学，（21,35）=7，因此打扫卫生的同学有 7 人。本课回顾：引导学生回顾本节课的学习内容，并自主提出还想解决的有关最大公因数的问题或者还可以将不明白的地方提出来进行集体探讨。1、用 96 朵红花和 72 朵白花扎花束，如果每束花里红花朵数相同，白花朵数也相同，每束花里至少有几朵花？2、如果把 110 块糖平均分给五（一）班的同学，则多 5 块，如果把 210 块糖平均分给这个班的同学正好分完；如果把 240 块糖平均分给这个班，还少 5 块。五（一）班最多有多少学生？3、有三根铁丝，分别长 300 厘米，
17、444 厘米，516 厘米，把它们截成同样长且尽可能长的整厘米小段（不许剩余），每小段折成一个小正方形，然后将这些小正方形放在一起拼成一个长方形，这样可能拼成的长方形有几种？韩 信 点 兵练一练：这部分内容对本节课知识的巩固，如果课堂上时间不够，可以让学生回家完成。第 1 题：首先引导学生理解题意：每束花里花要最少，也就是束数要最大，因此束数是 96和 72 的最大公因数，（96,72）=24，每束花里有红花 9624=4（朵），有白花 7224=3（朵），从而每束花里最少有花 4+3=7 朵。第 2 题：教师可以引导学生结合问题拓展中的讲解先独立思考并解决，实际上是求105（110-5）、2
18、10 和 245（240+5）的最大公因数，即：（105,210,245）=35，这个班最多有 35人。练一练问题情境第 3 题：引导学生分析：（300,444,516）=12每小段 12 厘米，可截成（300+444+516）12=105 段，共折成 105 个小正方形。因 为105=357=1105=335=521=715，所以能拼成 4 个不同的长方形。教学内容说明：本节课的学习要求学生在能够熟练计算最小公倍数的基础上，运用所学知识来解决汉高祖刘邦曾问大将 韩信：“你看我能带多少兵？”韩 信说：“ 顶多十万兵！ ”汉高祖不悦，说“ 那你呢？”韩信傲气地说：“当然是多多益善啰！” 刘邦很不
19、高兴 ，“将军如此大才，我很佩服。我有一个小小的问题向将军请教”，于是传令叫来一小队士兵隔墙站队，刘邦发令：“每三人站成一排。 ”最后一排只有二人。 “刘邦又传令：“每五人站成一排。 ” 最后一排只有三人。刘邦再传令：“每七人站成一排。 ”最后一排只有二人。刘邦问韩信：“ 敢问将军，这队士兵有多少人？”韩信脱口而出：“二十三人。 ”变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用 3 除余 2，用 5 除余 3，用 7 除余 2。求这个数。同学们，你们知道韩信是如何算出的吗？一、请你认真理解题意，从中找出重要的数学信息和所求的问题：信息：问题：二、请你试着自己解决这个问题，并把解决问题的过程和结果写下
20、来：三、跟大家交流你的方法：与之相关的实际问题。期间要特别关注学生能否正确理解题意，确定是求最大公因数还是求最小公倍数。教学时，教师可以引导学生先剖析题意，根据已知的数学信息搞清楚到底要解决什么样的数学问题，再思考解决。教材分析与教学建议：本节课以韩信点兵问题引入，能够充分调动学生的积极性，教师教学 时可以大胆让学生进行假设试算，利用试验 加分析的办法一步一步地增加条件推出答案，在必要的地方给予指导。其实这个问题很简单：用 3 除余 2，用 7除也余 2，所以用 3 与 7 的最小公倍数 21 除也余 2，而用 21 除余 2 的数我们首先就会想问题探究到 23；而 23 恰好被 5 除余 3
21、，所以 23 就是本题的一个答案。这个问题之所以简单，是由于有被 3 除和被 7 除余数相同这个特殊性。如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，也更有趣得多。1、有一筐苹果，按每 4 个一袋装多一个，按每 5 个一袋装也多一个，按每 6 个一袋装还多一个。这筐苹果至少有多少个？2、学校六年 级 有若干个同学排队做操，如果3 人一行余 2 人，7 人一行余 2 人， 11 人一行余 2 人，六年级最少有多少人？3、有一袋糖，平均分给 15 个小朋友或 20 个小朋友后，最后都余下 5 块。 这块糖至少有多少块？1、有一些糖果在 300 粒到 400 粒之间，装成小袋后如果每袋 12 粒，剩下 1
22、1 粒；如果每袋 18 个，还缺一粒；如果每袋装 15 粒，就有7 袋各多 2 粒，这些糖果有多少粒？2、有一个数，在 700-800 之 间，用 15、18 和24 去除，都不能整除；如果在这个数上加问题解决：这部分内容是在理解掌握例题的前提下进行的强化训练，学生可以仿照例题的样子完成。对于又困难的学生教师可以给予指导。第 1 题：先引导学生读懂题并正确理解，由题意可以判断要想知道这筐苹果至少有多少个也就是求出每次分苹果的每份数的最小公倍数加 1 即可。4,5,6=60,60+1=61.第 2 题：根据题意可以得知要求六年级最少多少人，实际上就是求比 3、7、11 的最小公倍数还多 2 的数
23、，即：3,7,11=231,231+2=233.第 3 题：此题极为简单，可以引导学生独立解决。实际就是求出比 15 和 20 的最小公倍数还多 5 的数。即：15,20=60,60+5=65.问题拓展问题解决问题拓展：教学时可以设计小组竞赛的形式进行，再让学生通过充分的交流来强化解决的技巧和方法，从而达到事半功倍的效果。第 1 题：此题可以这样分析：每袋 12 粒剩下11 粒，实际上就是差 1 粒又够一袋；每袋 15粒，有 7 袋各多 2 粒，共多出 27=14 粒，还是差 1 粒又够一袋。因此，这些糖果的粒数一定是 300 到 400 之间比 12、18、15 的公倍数少 1 的数。12,
24、15,18=180,它们的公倍数有 180、360、540符合条件的糖果数为360-1=359.第 2 题：这道题就是求 700-800 之间的比15、上 1，就能同时被 15、18 和 24 整除， 这个数是多少？3、小卖店里进来若干本练习本，如果每 20本打成一捆，就多出 19 本， ；每 15 本打成一捆，就少一本；每 25 本打成一捆就有 12 捆每多 2 本，已知总本数在 500-600 之间， 这批练习本共有多少本？通过本节课的学习，你有什么收获？还想解决什么问题？1、有一个音乐盒，每隔 18 分钟闪一次灯。每隔一小时响一次音乐。下午 7 点整音乐盒想起了音乐又亮起了灯，你能算出下
25、一次既亮灯又响音乐是几点钟吗？2、有一公共汽车有三条路线，分 别每隔 5 分18、24 的公倍数少 1 的数。15,18,24=360，它们的公倍数有 360、720因此符合题意的数为：720-1=719.第 3 题：此题可以放手让学生根据前面的学习总结方法之后独立解决。实际上是求在500-600 之间比 20、15、25 的公倍数少 1 的数，即：20,15,25=300, 公倍数有300、600、900符合条件的是 600，因此这些练习本有 600-1=599 本。本课回顾：最小公倍数问题，解题方法比较独特。当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时，我们可以通过“增加一部分”或“减少
26、一部分”的方法使 问题转换 成已知数的最小公倍数，从而求出结果。本课回顾顾练一练练一练：这部分内容对本节课知识的巩固，如果课堂上时间不够，可以让学生回家完成。第 1 题：根据题意，每隔一小时，即到整点 时就要响一次音乐，也就是 60 分钟响一次，又知道每隔 18 分钟闪一次灯，要求从下午 7 点起下次既响音乐又亮灯的时间就是 18 和 60的最小公倍数所表示的时间。18,60=180,18060=3 小时， 7+3=10 时。钟、6 分钟和 8 分钟发车一次，三条线路车在上午 10 点同时发车后，下次同时发车是在什么时间？3、从学校到少年宫的这段公路上，一共有 37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距 50 米，现在要改成每两根之间相距 60 米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不需移动？第 2 题： 根据题意，需要求出 5、6、8 的最小公倍数，5,6,8=120 分，12060=3 小时，10+3=13 时。第 3 题：可以分析得知从学校到少年宫的这段路长 50（37-1）=1800 米，从路的一端开始，是 50 和 60 的公倍数的那一根就不必移动。因为 50 和 60 的最小公倍数是 300，所以，从第一根开始，每隔 300 米就有一根不必移动，1800300=6，就是 6 根不必移动，去掉最后一根，中途共有 5 根不必移动。
