1、http:/第 1 页 共 5 页全国高中数学联赛模拟试题（三）（命题人：吴伟朝）第一试一、选择题：（每小题 6 分，共 36 分）1、若集合 Sn|n 是整数，且 22n2 整除 2003n2004，则 S 为（A）空集 （B）单元集 （C）二元集 （D ）无穷集2、若多项式 x2x 1 能除尽另一个多项式 x3x 2ax b（a、b 皆为常数）则 ab 等于（A）0 （B）1 （C）1 （D ）23、设 a 是整数，关于 x 的方程 x2(a3)xa 20 的两个实根为 x1、x 2，且 tan(arctan x1arctan x 2)也是整数则这样的 a 的个数是（A）0 （B）1 （C
2、）2 （D ）44、设一个四面体的体积为 V1，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其体积为 V2则 为1（A） （B） 32（C）常数，但不等于 和2（D）不确定，其值与四面体的具体形状有关5、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数所有这样的递降正整数的个数为（A）1001 （B）1010 （C）1011 （D ）10136、在正方体的 8 个顶点中，能构成一个直角三角形的 3 个顶点的直角三点组的个数是（A）36 （B）37 （C）48 （D ）49二、填空题：（每小题 9 分，共 54 分）1、若直线 xcosy
3、sincos 2sin 2（0 ）与圆 x2y 2 有公共点，41则 的取值范围是 2、在平面直角坐标系 xOy 中，一个圆经过(0,2)、(3,1)，且与 x 轴相切则此圆的半径等于 3、若常数 a 使得关于 x 的方程lg(x220x)lg(8x 6a3)0有惟一解则 a 的取值范围是 4、f(x) xcosxcos(2x )(xR)的最小值是 82http:/第 2 页 共 5 页5、若 k 是一个正整数，且 2k整除 20346240614060 C33C i则 k 的最大值为 6、设 ABCD 为凸四边形，AB7，BC4，CD 5，DA6，其面积 S 的取值范围是(a,b 则 ab
4、三、 （20 分）设椭圆的左右焦点分别为 F1、F 2，左准线为 l，点 P 在椭圆上作PQl， Q 为垂足试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点 P，使得PQF1F2 为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率 e 的等式或不等式来表示） 四、 （20 分）设 a01，a 12，a n+12a n-1n，n1,2,3,试求出 an的表达式（答案用有限个关于 n 的式子相加的形式表示，且项数与 n 无关） 五、 （20 分）试求出所有的有序整数对(a,b)，使得关于 x 的方程 x4(2ba 2)x22axb 210 的各个根均是整数参考答案第一试一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6答案 C
5、 C B A D C二、填空题：1、 ； 2、 ；65,32,65613、 ； 4、1；1,5、2004； 6、 20三、 1,2e四、a 2n2 n+22n3；a 2n+132 n+12n4http:/第 3 页 共 5 页五、(a ,b)(2l1,l 2l1)( lZ )第二试一、 （50 分）点 P 在ABC 内，且BAP CAP，连结 BP 并延长交 AC 于点Q设BAC60，且 PQCB1求证：P 是ABC 的内心二、 （50 分）设正数 a、b 满足 且使得关于 x 的不等式2b1xbahttp:/第 4 页 共 5 页总有实数解试求 f(a,b)a 23abb 2 的取值范围三、
6、 （50 分）试求出正整数 k 的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的 k 个整数 a1,a2,ak（允许相等） ，必定存在相应的 k 的整数 x1,x2,xk（也允许相等） ，且|x i| 2(i1,2,k)，| x1| x2| xk|0，使得 2003 整除x1a1x 2a2x kak参考答案第一试一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6答案 C C B A D C二、填空题：1、 ； 2、 ；65,32,65613、 ； 4、1；1,5、2004； 6、 20http:/第 5 页 共 5 页三、 1,2e四、a 2n2 n+22n3；a 2n+132 n+12n4五、(a ,b)(2l1,l 2l1)( lZ )第二试一、证略（提示：将条件变形为 ，然后应用正弦定理，进行三PQCBA1角变换，得BPC120，利用同一法即证） ；二、( ，1) 三、k min7
