1、http:/第 1 页 共 4 页全国高中数学联赛模拟试题（八）（选题人：李潜）第一试一、选择题：（每小题 6 分，共 36 分）1、设 logab 是一个整数，且 ，给出下列四个结论2logl1logabaa ； log ab+logba=0；20ab1； ab1=0其中正确结论的个数是（A）1 （B）2 （C）3 （D ）42、若ABC 的三边长 a、b、c 满足 ，则它的最大内角02cba度数是（A）150 （B）120 （C）90 （D ）603、定长为 l（ ）的线段 AB 的两端点都在双曲线ab2（a0，b0） ，则 AB 中点 M 的横坐标的最小值为12yx（A） （B）2l2b
2、al（C） （D）2bal2l4、在复平面上，曲线 z4+z=1 与圆|z|=1 的交点个数为（A）0 （B）1 （C）2 （D ）35、设 E=(x,y)|0x 2,0y 2 、F=(x,y)|x10,y2,y x4是直角坐标平面上的两个点集，则集合 G=所组成的图形面积是E212121 ,（A）6 （B）2 （C）6.5 （D ）76、正方形纸片 ABCD，沿对角线 AC 对折，使 D 在面 ABC 外，这时 DB 与面 ABC 所成的角一定不等于（A）30 （B）45 （C）60 （D ）90http:/第 2 页 共 4 页二、填空题：（每小题 9 分，共 54 分）1、已知 ，则 的
3、值24 cosin2cosi3cosincosin等于 2、 = 2041313、在 RtABC 中，ABAC，以 C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在 AB 内，且椭圆过 A、B 点，则这个椭圆的离心率等于 4、从1,2,3, ,20中选出三个数，使得没有两个数相邻，有 种不同的选法5、设 a、b 均为正数，且存在复数 z 满足 ，则 ab 的最大值1ibaz等于 6、使不等式 对惟一的一个整数 k 成立的最大正整数 n 为 13758kn三、 （20 分）已知实数 x、 y 满足 x2+y25求 f(x,y)=3|x+y|+|4y+9|+|7y3x18|的最大值与最小值四、
4、（20 分）经过点 M(2,1)作抛物线 y2=x 的四条弦 PiQi(i=1,2,3,4)，且P1、P 2、P 3、 P4 四点的纵坐标依次成等差数列求证： 4321MQ五、 （20 分）n 为正整数，r0 为实数证明：方程 xn+1+rxnrn+1=0 没有模为 r的复数根http:/第 3 页 共 4 页第二试一、 （50 分）设 C(I)是以 ABC 的内心 I 为圆心的一个圆，点 D、E 、F 分别是从I 出发垂直于边 BC、CA 和 AB 的直线 C(I)的交点求证：AD 、BE 和 CF 三线共点二、 （50 分）非负实数 x、 y、z 满足 x2+y2+z2=1求证：1 1三、
5、 （50 分）对由 n 个 A，n 个 B 和 n 个 C 排成的行，在其下面重新定义一行（比上面一行少一个字母） ，若其头上的两个字母不同，则在该位置写上第三个字母；若相同，则写上该字母对新得到的行重复上面的操作，直到变为一个字母为止下面给出了 n=2 的一个例子A C B C B AB A A A CC A A BB A CC BA求所有的正整数 n，使得对任意的初始排列，经上述操作后，所得的大三角形的三个顶点上的字母要么全相同，要么两两不同http:/第 4 页 共 4 页参考答案第一试一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6答案 A B D A D D二、填空题：1、 ； 2、 ；3 05483、 ； 4、816；65、 ； 6、1128三、最大值 ，最小值 562710327四、证略五、证略第二试一、证略；二、证略三、 n=1
