1、2010-9-20 1第二章 随机信号 分析随机信号分析、确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析的主要内容： 随机过程的一般表述 平稳随机过程 高斯过程 窄带随机过程 正弦波加窄带高斯过程 平稳随机过程通过线性系统2010-9-20 2引言 信号：一般是时间的函数 确定信号：可以用确定的时间函数表示的信号 周期信号和非周期信号 能量信号和功率信号 基带信号和频带信号 模拟信号和数字信号 随机信号：具有随机性，可用统计规律来描述 通信过程中要发送的信号是不可预知的，因此具有随机性，是随机信号，但信号的统计特性具有规律性。 噪声和干扰是随机的信号； 无线信道特性（可理解为系统传递函数）也是随机变
2、化的。2010-9-20 3 随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的取值不确定 (随机变量 ) 随机过程可以看成对应不同随机试验的时间过程的集合。如 n(或无数）台性能完全的接收机输出的噪声波形，每个波形都是一个确定函数，为一个样本函数，各波形又各不相同。也可看成一个接收机，不同实验输出不同的样本函数。 随机过程是所有样本函数的集合。2010-9-20 41 随机过程的一般表述 (1) 样本函数：随机过程的具体实现 样本空间：所有实现构成的全体 所有样本函数及其统计特性构成了随机过程()ix t 1 ( ), , ( ),iSxt xt= KK()t2010-9-20 5 随机过程是随机变量
3、概念的延伸，即随机变量引入时间变量，成为随机过程。 每一个时刻，对应个样本函数的取值xi(t),i=1,2,n是一个随机变量。 固定时刻 t1的随机变量计为 (t1)。 随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。2010-9-20 61 随机过程的一般表述 (2) 分布函数与概率密度 随机过程 (t)在任意时刻 t1是一个随机变量 (t1)，其统计特性可以用分布函数与概率密度函数来表示 一维分布函数( ) ( ) 111 1 1,F xt P t x=()( )1111111,F xtfxtx= 一维概率密度2010-9-20 7()() () ()12 121122, ;,nn
4、nnnFxx xtt tP txtx tx = KKK n 维分布概率函数 n 维概率密度函数()12 1212 1212, ;, ;,nnnnnnnnfxx xtt tF xx xtt txx x= KKKKK 一 维分布函数或概率密度函数仅描述了随机过程在任一瞬间的统计特性，进而可以对任意固定的 n个时刻进行概率分布与概率密度的描述。显然 n 越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。当然实际上是根据需要来确定维数的。2010-9-20 8 随机过程的 n维分布函数或概率密度函数往往不容易或不需要得到，常常用数字特征部分地表述随机过程的主要特征。 对于通信系统而言，随机过程的数字特征就可以满
5、足需要，也会有明确定的物理含义，还可以测量。 如通信信号的方差就是交流功率。2010-9-20 91 随机过程的一般表述 (3) 随机过程 (t)的数字特征 ()1() , ()E txfxtdxat= (t)的 均值或数学期望 2222() () ()() () ()Dt E tEtE tat t=t的引入说明随机变量、均值是时间的函数注意： (t)的均值是时间的确定函数，它表示随机过程的 n个（也可是无数个）样本函数曲线的摆动中心。 方差注：均值和方差只与一维概率密度函数有关，它们反映了随机过程各时刻的特征。2010-9-20 10() ( )12 1 1 2 2 12 1 2, ()()
6、()() , ()()Bt t E t at t at Rt t at at= = 自协方差函数() ( )12 1 2 122 1 212 1 2,()() ,;,R tt E t t xxf x x t t dx dx = 相关函数表征随机过程的内在联系，即随机过程任意两个时刻上的随机变量之间的关联程度。 自相关函数注：若随机过程的均值为 0，则自相关函数和自协方差函数完全相同；即使均值不为 0，二者描述的随机过程的特征也是一样的。常用自相关函数。2010-9-20 111 随机过程的一般表述 (4) 两随机过程的数字特征() ( )12 1 2 122 11 22 1 2,()() ;R
7、 t t E t t x y f x t y t dx dy = 互相关函数() ()12 1 1 2 212 1 2,()()()(),()()Btt E t at t atRtt atat = = 互协方差函数()1212, ,0ttBtt=若有( ) ( )ttnull 和不相关2010-9-20 122 平稳随机过程 (1) 狭义平稳 (严平稳 )()12 1212 1 2, ;, ; , , ,nnnnn nfxx xtt tfxx xt t t n =+KKKK， 一维分布与时间无关，二维分布只与时间间隔 ( t1 - t2 ) 有关( ) ( )()111 111 11;fxt
8、fxt fx=+=()( ) ( )21 212 21 21 2 21 21 2,;, ,; , ,;f xxtt f xxt t f xxt t+= 数字特征222()() ()Et aDt E t a =( ) ( )()()11211,Rt t RB tt R a+=+ = 广义平稳 (宽平稳 )(1) ( )E ta =( ) ( )11(2) ,Rt t R +=2010-9-20 132 平稳随机过程 (2) 各态历经性 (遍历性 )：随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可能状态 随机过程的数字特征，可以由其 任一实现 (样本函数 )的数字特征来代表遍历过程必定是平稳过程，反之
9、不然。遍历过程必定是平稳过程，反之不然。()22221lim ( )1() ( ) lim () ( )TTTTTTxt xtdtTx txt xtxt dtT +=+= +()() ()( )axtRxtxt = +遍历遍历时间平均代替统计平均时间平均代替统计平均 思考：为什么要研究随机平稳随机过程2010-9-20 142 平稳随机过程 (3) 实平稳随机过程的自相关函数( )2(0)EtR=() ( )RR = () (0)RR 偶函数： 有界性： 周期性： ( ) ( ),()().ttT RRT =+ =+若则 统计平均功率：( )2()EtR= 直流功率：2(0) ( )RR =
10、交流功率：() ( )( ) limREtt = + Q( ) ( )EtEt =+ ( )2E t = 2010-9-20 152 平稳随机过程 (4) 平稳随机过程的功率谱密度 (统计平均 )()2() () limTxTEFPEPT =( ) ( )TTtF注：f( )0P ( ) ( )RP 维纳 辛钦定理： () ()102R Pd = 单边功率谱密度 (实平稳随机过程 )2(), 0()0, 0PG=ax()fx2010-9-20 233 高斯过程 (4) 概率积分函数 :xa=21() exp22xzxd= 标准化正态分布 :21() exp22xfx= 概率分布函数 :()22
11、21()2zaxF xedz=2010-9-20 24 误差函数与互补误差函数分别表示高斯密度函数曲线尾部下的面积202()xzerf xed=() 1 ()erfcx erf x= ( )221x= 误差函数 :21() exp22auQa du=122aerfc= Q函数 :22zxedz= 互补误差函数 : Q函数也是一种表示高斯曲线尾部下的面积的函数。2010-9-20 254 窄带随机过程 (1)1. 窄带随机过程定义 :随机过程通过以 fc为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度 ffc，且 fc远离零频率的系统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通
12、过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。如用示波器观察一个实现的波形，则如图 2 - 4所示，它是一个频率近似为 fc，包络和相位随机缓变的正弦波。 2010-9-20 264 窄带随机过程 (2)fcS( f )f ffc(a)S( f )缓慢变化的包络 a(t)频率近似为 fc(b)2010-9-20 27因此，窄带随机过程 (t)可用下式表示 : (t)=a(t) cosct+(t) , a(t) 0等价式为 (t)=c(t) cosct-s(t)sinct 其中 c(t)=a(t)cos(t) s(t)=a(t) sin(t)式中 ,
13、a(t)及(t)分别是 (t)的 随机包络 和 随机相位 ，c(t)及s(t)分别称为 (t)的同相分量和正交分量。4 窄带随机过程 (3)2010-9-20 28同相分量和正交分量也是随机过程， 显然它们的变化相对于载波 cosct的变化要缓慢得多。由前 4 式看出， (t) 的统计特性可由 a(t) ，(t) 或c(t),s(t)的统计特性确定。反之，如果已知 (t)的统计特性则可确定 a(t),(t)以及c(t)，s(t)的统计特性。4 窄带随机过程 (4)2010-9-20 292. 同相和正交分量的统计特性 设窄带过程 (t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零， 方差为 。下面将证明它的
14、同相分量c(t)和正交分量s(t)也是零均值的平稳高斯过程，而且与 (t)具有相同的方差。 1) 数学期望 求数学期望 :E (t) =Ec(t) cosct-Es(t) sinct 可得4 窄带随机过程 (5)22010-9-20 30Ec(t) =0; Es(t) =0 2)自相关函数R(t, t+ )=E (t) (t+ ) =Ec(t)cosct-s(t) sinct c(t+ )cosc(t+ )-s(t+ ) sinc(t+ ) =Rc(t, t+ ) cosctcosc(t+ )-Rcs(t, t+ ) cosctsinc(t+ ) -Rsc(t, t+ ) sinctcosc(t+ )+Rs(t, t+ ) sinctsinc(t+ ) 4 窄带随机过程 (6)
