1、第3章 随机过程,3.1 随机过程的基本概念和统计特性 3.2 平稳随机过程 3.3 平稳随机过程的相关函数与功率谱密度 3.4 高斯过程 3.5 窄带随机过程 3.6 正弦波加窄带高斯过程 3.7 随机过程通过线性系统 3.8 平稳随机过程通过乘法器,3.1 随机过程的基本概念和统计特性,通信系统中遇到的信号，通常总带有某种随机性。 从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。 信号和噪声通过通信系统的过程是随机过程。,图3-1 n部接收机噪声记录,随机过程举例,1. 随机过程 通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数t的随机过程。 这种过程的基本特征是，它是时间t的函数，但
2、在任一时刻观察到的值却是不确定的，是一个随机变量。,1. 随机过程,定义：随机过程是依赖于时间参量t变化的随机变量的总体或集合；也可以叫做样本函数的总体或集合。习惯用(t)表示。,2. 随机过程的统计特性,(t)表示一个随机过程，(t1)是一个随机变量。 随机变量的统计特性，可以用分布函数或概率密度函数去描述。 随机过程的统计特征是通过它的概率分布或数字特征加以表述的。,（1）随机过程的一维概率分布函数,随机过程(t)的一维概率分布函数随机过程(t)的一维概率密度函数如果存在 则称f1(x1,t1)为(t)的一维概率密度函数。,(3-1),(3-2),（2）随机过程的n维概率分布函数,随机过程
3、(t)的n维概率分布函数随机过程(t)的n维概率密度函数,(3-3),(3-4),（3）随机过程的二维概率分布函数,随机过程(t)的二维概率分布函数随机过程(t)的二维概率密度函数,(3-5),(3-6),（4）随机过程的数字特征,数学期望(均值) 随机过程的数学期望被认为是时间t的函数。它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。 数学期望的物理意义：信号或噪声的直流功率。,(3-7a),(3-7b),方差,随机过程的方差定义为 方差的物理意义：信号或噪声交流功率。,(3-8),协方差函数与相关函数,衡量随机过程任意两个时刻上获得得随机变量的统计相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。自
4、协方差函数定义 式中t1与t2是任意的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2得到的数学期望；f2(x1,x2; t1,t2)为二维概率密度函数。 用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。,(3-9),自相关函数定义,用途：a.用来判断广义平稳； b.用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。,(3-10),自协方差与自相关函数之间的关系,(3-11),若a(t1)=0或a(t2)=0，则B(t1, t2)=R(t1, t2)。 若t2t1，并令t2=t1+，则R(t1, t2)=R(t1, t1+)。 说明：相关函数依赖于起始时刻t1及t2与t1之间的时间间隔,即相关函数是t
5、1和的函数。,互协方差与互相关函数,设(t)与(t)分别表示两个随机过程，则 互协方差函数定义为,互相关函数定义为,(3-12),(3-13),随机过程的统计特性，原则上都与时刻t1，t2有关。 就相关函数而言，它的相关程度与选择时刻t1，t2有关。 如果t2 t1，并令t2= t1+，即是t2与t1之间的时间间隔，则相关函数R（t1，t2）可表示为R（t1，t1+）。说明：相关函数依赖于起始时刻（或时间起点）t1及时间间隔，即相关函数是t1和的函数。,小结,3.2 平稳随机过程,1. 平稳随机过程狭义平稳：它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。也就是说，如果对于任意的n和，随机过
6、程(t)的n维概率密度函数满足 则称(t)是平稳随机过程。该平稳称为严格平稳，狭义平稳或严平稳。,(3-14),一维分布： f1(x1, t1)=f1(x1) 二维分布： f2(x1, x2; t1, t2)=f2(x1, x2; ),(3-15),平稳随机过程(t)的均值,为常数，这表示平稳随机过程的各样本函数围绕着一水平线起伏。,(3-16),(3-17),同样，可以证明平稳随机过程的方差2(t)=2=常数，表示它的起伏偏离数学期望的程度也是常数。而平稳随机过程(t)的自相关函数 ,R(t1, t2)=E(t1)(t1+)=,仅是时间间隔=t2-t1的函数，而不再是t1和t2的二维函数。,
7、(3-18),以上表明，平稳随机过程(t)具有“平稳”的数字特征：它的均值与时间无关；它的自相关函数只与时间间隔有关，即R(t1, t1+)=R() 由一个随机过程的均值是常数， 自相关函数是的函数还不能充分说明它符合严平稳条件。,广义平稳概念：若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，而其相关函数仅与有关，则称这个随机过程为广义平稳随机过程。 一个严平稳随机过程只要它的均方值 有界，则它必定是广义平稳随机过程。 通信系统中的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有很大的实际意义。,2. 各态历经性,假设x(t)是平稳随机过程(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关
8、函数分别为,(3-19),(3-20),如果平稳随机过程依概率1使下式成立：,则称该平稳随机过程具有各态历经性。“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的。,例3-1：随机相位正弦波(t)sin(ot+)，其中是 在(02)内均匀分布的随机变量。问：（1）(t)是否广义平稳？ （2）(t)是否各态历经？解： (1)由判定广义平稳的条件可知,如果a(t)为常数, 而R(t,t+)仅与有关,则(t)广义平稳。,可见，满
9、足广义平稳条件，所以该随机过程为广义平稳随机过程。 (2)若统计平均时间平均，则(t)是各态历经的平稳随机过程。,所以，随机相位的正弦波是一个各态历经的随机过程。,3.3 平稳随机过程的相关函数与功率谱密度,1.自相关函数 设(t)为实平稳随机过程， 则它的自相关函数 R()=E(t)(t+)具有下列主要性质：,（1）R(0)=E2(t)=S -(t)的平均功率 （2）R()=E2(t)-(t)的直流功率这里利用了当时， (t)与(t+)没有依赖关系， 即统计独立， 且认为(t)中不含周期分量。,(3) R()=R(-)-为的偶函数 (4) |R()|R(0)-R()的上界，即当0时,自相关函
10、数取最大值,性质(3)证明：,性质(4)证明：,(5) R(0)-R()=2-方差，(t)的交流功率, 当均值为0时，有R(0)=2。 性质（5）可由式（3-8）得到。,2.功率谱密度,付氏变换沟通了确定信号时域和频域的关系，那么为什么随机过程在频率域中要讨论功率谱密度，而不讨论付氏变换呢？主要原因有二。 1)对于随机过程来说，它由许许多多个样本函数来构成, 所以我们无法求其付氏变换，可以说,随机过程不存在付氏变换。2)随机过程属于功率信号而不属于能量信号，所以我们讨论功率谱密度.,对于任意的功率信号f(t)的功率谱为 而对于一个随机过程来说，(t)有许许多多次实现(即许许多多个样本函数)，其
11、中某一次实现也是功率信号，其功率谱密度可以用上式表示。 但它不能作为随机过程的功率谱密度。随机过程的功率谱密度可以看作是每一个样本函数的功率谱密度的统计平均（即数学期望）。,(3-21),图 3-2 功率信号f(t)及其截短函数,2.功率谱密度,设(t)一次实现的截断函数为T(t)，T(t)的付氏变换为FT()，则该样本函数的功率谱为 这样，整个随机过程的平均功率谱为 该随机过程的平均功率为,(3-22),(3-23),2.功率谱密度,我们知道，确知的非周期功率信号的自相关函数与其谱密度是一对傅氏变换关系。对于平稳随机过程，也有类似的关系，即 ,其傅里叶反变换为,（3-24a）,（3-24b）
12、,那么,因为R(0)表示随机过程的平均功率，它应等于功率谱密度曲线下的面积。因此，P()必然是平稳随机过程的功率谱密度函数。所以，平稳随机过程的功率谱密度P()与其自相关函数R()是一对傅里叶变换关系。,简记为： R() P(),2.功率谱密度,根据上述关系式及自相关函数R()的性质，不难推演功率谱密度P()有如下性质： （1） P()0，非负性； （2） P(-)=P()，偶函数。 因此， 可定义单边谱密度P()为,例 3-2某随机相位余弦波(t)=Acos(ct+)，其中A和c均为常数，是在(0，2)内均匀分布的随机变量。 （1） 求(t)的自相关函数与功率谱密度； （2） 讨论(t)是否
13、具有各态历经性。,解 (1) 先考察(t)是否广义平稳。(t)的数学期望为,(t)的自相关函数为,可见(t)的数学期望为常数， 而自相关函数只与时间间隔有关， 所以(t)为广义平稳随机过程。 根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即R() P()，则因为,cosc (-c)+(+c) 所以，功率谱密度为 P()= (-c)+(+c) 平均功率为 S=R(0)=,(2) 现在来求(t)的时间平均。 根据式（2-19）可得,比较统计平均与时间平均，得a= , R()= ， 因此，随机相位余弦波是各态历经的。,3.4 高斯随机过程,1.定义若随机过程(t)的任意n维（n=1, 2,
14、 ）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。 其n维正态概率密度函数表示如下： fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn),式中, ak=E(tk)，k2=E 2 (tk)-ak，|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即,（3-25）,b12 b1n b21 1 b2nbn1 bn2 1,|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子，bjk为归一化协方差函数，且,2.重要性质（1）由式(3-25)可以看出, 高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。 （2）如果高斯过程是广义平稳的，则它
15、的均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关。由性质（1）知，它的n维分布与时间起点无关。 所以，广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。 （3）如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的， 即对所有jk有bjk=0，这时式(3-25)变为,fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)= 也就是说，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的， 那么它们也是统计独立的。 以后分析问题时会经常用到高斯过程中的一维分布。例如，高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量，其一维概率密度函数可表示为,=f(x1, t1)f(x2, t2)f(xn, tn),（3-26）,式中，
16、a为高斯随机变量的数学期望，2为方差。f(x)曲线如图 3 - 3所示。由式（3-27）和图3 - 3可知f(x)具有如下特性： (1) f(x)对称于x=a这条直线。 (2) ,且有,（3-27）,图3-3 正态分布的概率,3）曲线在a处有拐点,即图形的宽度与成比例。 a表示分布中心，表示集中程度，f(x)图形将随着的减小而变高和变窄。当a=0，=1时，称f(x)为标准正态分布的密度函数。 当我们需要求高斯随机变量小于或等于任意取值x的概率P(x)时，还要用到正态分布函数。正态分布函数是概率密度函数的积分，即,（3-28）,（1） 误差函数和互补误差函数。 误差函数的定义式为,它是自变量的递
17、增函数，erf(0)=0，erf()=1，且erf(-x)=-erf(x)。我们称1-erf(x)为互补误差函数，记为erfc(x), 即,erfc(x)=1-erf(x)=,它是自变量的递减函数，erfc(0)=1，erfc()=0，且 erfc(-x)=2-erfc(x)。当x 1时(实际应用中只要x2即可)近似有,（3-29）,（3-30）,（2） 概率积分函数和Q函数。 概率积分函数定义为 (x)= ,这是另一个在数学手册上有数值和曲线的特殊函数， 有()=1。 Q函数是一种经常用于表示高斯尾部曲线下的面积的函数，其定义为 ,比较式(3-31)与式(3-32)和式(3-33)， 可得,
18、（3-31）,（3-32）,（3-33）,现在让我们把以上特殊函数与式(2-27)进行联系，以表示正态分布函数F(x)。 若对式(3-28)进行变量代换，令新积分变量t=(z-a)/， 就有dz=dt，再与式(3-32)联系，则有F(x)= 若对式(2-27)进行变量代换， 令新积分变量t=(z-a)/ ，就有dz= dt，再利用式(3-29)，则不难得到,（3-34a）,（3-34b）,用误差函数或互补误差函数表示F(x)的好处是，它简明的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。 ,F(X)=,（3-35）,3.高斯白噪声信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声， 它的功率谱密度均匀分布在整
19、个频率范围内，即 P()= 这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。 式中n0为一常数，单位是瓦/赫(W/Hz)。显然，白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即,R()=,（3-36）,（3-37）,(1)限带白噪声,白噪声被限制在（f1,f2）之内，即在该频率区上功率谱密度Pn() n0/2，而在该区间之外Pn()0，则这样的白噪声被称为限带白噪声。 常见的限带白噪声有两种： a.理想低通型白噪声 b.理想带通型白噪声,(2)理想低通白噪声：就是白噪声经过理想低通滤波器。,式中H()为滤波器的系统函数。,（3-38）,限带白噪声的自相关函数为,由R()可见，若以1/2f0的时间间隔对
20、理想低通型白噪声n(t)进行抽样，则噪声的样值之间是不相关的。 这里所讨论的是白噪声经理想LPF的情况。,（3-39）,图3-4 理想白噪声和限带白噪声的相关函数与谱密度,(3)高斯白噪声,满足以下两个条件的噪声称为高斯白噪声： (1) Pn() n0/2 (2)服从高斯分布。,这说明，白噪声只有在=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。图 2 - 4 画出了理想白噪声和带限白噪声的功率谱和自相关函数的图形。 如果白噪声又是高斯分布的， 我们就称之为高斯白噪声。由式(3-37)可以看出，高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。应当指出
21、，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。,3.5 窄带随机过程,随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度ffc，且fc远离零频率的系统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。如用示波器观察一个实现的波形，则如图3-5所示，它是一个频率近似为fc，包络和相位随机缓变的正弦波。,图3-5 窄带过程的频谱和波形示意,1.窄带条件,功率谱的中心频率为fc，带宽为
22、f，当f fc 时，就可认为满足窄带条件。 若随机过程的功率谱满足上述条件则称为窄带随机过程。 若带通滤波器的传输函数满足上述条件则称为窄带滤波器。 随机过程通过窄带滤波器传输之后变成窄带随机过程。,因此，窄带随机过程(t)可用下式表示: (t)=a(t) cosct+(t), a(t)0 (3-40)等价式为 (t)=c(t)cosct-s(t)sinct (3-41) 其中 c(t)=a(t)cos(t) (3-42)s(t)=a(t) sin(t) (3-43) 式中, a(t)及(t)分别是(t)的随机包络和随机相位， c(t)及s(t)分别称为(t)的同相分量和正交分量， 它们也是随
23、机过程， 显然它们的变化相对于载波cosct的变化要缓慢得多。,2.同相和正交分量的统计特性设窄带过程(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零， 方差为2。下面将证明它的同相分量c(t)和正交分量s(t)也是零均值的平稳高斯过程，而且与(t)具有相同的方差。 (1) 数学期望对式（3-41）求数学期望: E(t)=Ec(t)cosct-Es(t)sinct,(3-44),(2)自相关函数 R(t, t+)=E(t)(t+) 因为(t)是平稳的，所以,(3-45),式中 Rc(t, t+)=Ec(t)c(t+)Rcs(t, t+)=Ec(t)s(t+)Rsc(t, t+)=Es(t)c(t+)Rs(
24、t, t+)=Es(t)s(t+) 因为(t)是平稳的，故有 R(t, t+)=R()这就要求式(3-45)的右边也应该与t无关， 而仅与时间间隔有关。 若取使sinct=0 的所有t值，则式(3-45)应变为,R()=Rc(t, t+) cosc-Rcs(t, t+)sinc (3-46) 这时，显然应有 Rc(t, t+)=Rc()Rcs(t, t+)=Rcs() 所以，式(3-46)变为R()=Rc()cosc-Rcs() sinc (3-47) 再取使cosct=0的所有t值，同理有R()=Rs()cosc+Rsc()sinc (3-48),其中应有 Rs(t, t+)=Rs()Rsc
25、(t, t+)=Rsc() 由以上的数学期望和自相关函数分析可知， 如果窄带过程(t)是平稳的，则c(t)与s(t)也必将是平稳的。 进一步分析， 式(3-47)和式(3-48)应同时成立， 故有 Rc()=Rs() (3-49)Rcs()=-Rsc() (3-50) 可见，同相分量c(t)和正交分量s(t)具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，应有,Rcs()=Rsc(-) 将上式代入式(3-50)，可得Rsc()=-Rsc(-) (3-51) 同理可推得 Rcs()=-Rcs(-) (3-52) 式(3-50) 、(3-51)说明，c(t)、s(t)的互相关函数Rsc()、Rcs
26、()都是的奇函数，在=0时Rsc(0)=Rcs(0)=0 (3-53) 于是， 由式(3-47)及式(3-48) 得到,R(0)=Rc(0)=Rs(0) (3-54)即2=c2=s2 (3-55) 这表明(t)、c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差（因为均值为0）。 另外，因为(t)是平稳的，所以(t)在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随机变量， 故在式(3-41)中有取t=t1=0 时，(t1)=c(t1)取t=t2=/(2c)时，(t2)=-s(t2),所以c(t1)，s(t2)也是高斯随机变量，从而c(t)、 s(t)也是高斯随机过程。又根据式(3-53)可知，c(t)、 s(t)
27、在同一时刻的取值是互不相关的随机变量， 因而它们还是统计独立的。 综上所述，我们得到一个重要结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t)，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)也是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同。此外， 在同一时刻上得到的c和s是互不相关的或统计独立的。,3.包络和相位的统计特性由上面的分析可知，c和s的联合概率密度函数为f(c, s)=f(c)f(s)=,设a,的联合概率密度函数为f(a, )，则利用概率论知识， 有f(a, )=f(c, s),根据式(3-42)和式(3-43) ，在t时刻随机变量之间的关系：c=acos(t)s=asin(t),得到,于是,f(a
28、,) =af(c, s),注意，这里a0, 而在(0，2)内取值。 再利用概率论中边际分布知识将f(a,)对积分， 可求得包络a的一维概率密度函数为,(3-56),可见，a服从瑞利分布。 同理，f(a, )对a积分可求得相位的一维概率密度函数为,可见，服从均匀分布。,(3-57),(3-58),综上所述，我们又得到一个重要结论：一个均值为零， 方差为2的窄带平稳高斯过程(t)，其包络a(t)的一维分布是瑞利分布，相位(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，a(t)与(t)是统计独立的，即有下式成立：f(a,)=f(a)f() (3-59),Figure Empirical and th
29、eoretical Rayleigh probability distribution function,Figure Plot of normalized received signal envelope vs. time,结论：a服从瑞利分布。 瑞利分布的特点：最大值发生在a处。 a概率分布的用途：在数据通信系统中用来求解误码率。如2ASK的非相干接收，接收机结构如图2-6所示。,图3-6 2ASK非相干接收机结构,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是信
30、号与窄带噪声的混合波形。最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波，这是通信系统中常会遇到的一种情况，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。 设合成信号为 r(t)=A cos(ct+)+n(t) (3-60),式中, n(t)=nc(t) cosct-ns(t) sinct为窄带高斯噪声，其均值为零，方差为n2 ；正弦信号的A, c均为常数，是在(0, 2)上均匀分布的随机变量。 于是r(t)=Acos+nc(t)cosct-Asin+ns(t)sinct =zc(t)cosct-zs(t) sinct=z(t)cosct+(t) (3-61),式中 zc(t)=A cos+nc(t)
31、(3-62a)zs(t)=Asin+ns(t) (3-62b),合成信号r(t)的包络和相位为 z(t)=,利用上一节的结果， 如果值已给定，则zc、zs是相互独立的高斯随机变量，且有 Ezc=AcosEzs=Asin,所以，在给定相位的条件下的zc和zs的联合概率密度函数为,利用与上一节相似的方法， 根据式（3-56）、（3-57）可以求得在给定相位的条件下的z和的联合概率密度函数为,求条件边际分布，有,由于,故有,式中，I0(x)为零阶修正贝塞尔函数。当x0时，I0(x)是单调上升函数，且有I0(0)=1。因此由上式可见， f(z/)与无关，故正弦波加窄带高斯过程包络的概率密度函数为 ,式
32、(3-63)这个概率密度函数称为广义瑞利(Rayleigh)分布，也称莱斯（Ricean）密度函数。 上式存在两种极限情况：,(3-63),（1）当信号很小，A0，即信号功率与噪声功率之比 时，x值很小，有I0(x)=1，这时合成波r(t)中只存在窄带高斯噪声，式（3-63）近似为式（3-57），即由莱斯分布退化为瑞利分布。 （2）当信噪比r很大(A 3n)时，有 ，这时在zA附近， f(z)近似于高斯分布，即,由此可见，信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关。 小信噪比时，它接近于瑞利分布；大信噪比时，它接近于高斯分布；在一般情况下它是莱斯分布。图 3 - 7（a）给出了不同的r值时f(z)
33、的曲线。 关于信号加噪声的合成波相位分布f()，由于比较复杂， 这里就不再演算了。不难推想，f()也与信噪比有关。小信噪比时， f()接近于均匀分布，它反映这时窄带高斯噪声为主的情况；大信噪比时，f()主要集中在有用信号相位附近。 图 3 - 7（b）给出了不同的r值时f()的曲线。,图 3 7 正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布,Ricean分布的用途：非相干接收ASK信号时，传“1“信号时，抽样判决器前噪声与信号的合成包络服从Ricean分布，传“0“信号时，服从瑞利分布，由此可计算误码率。,3.7 随机过程通过线性系统,通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。通信系统中的信
34、号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络）后，输出过程将是什么样的过程？1.确知信号经过线性系统我们知道，线性系统的响应fo(t)等于输入信号fi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即,图 3 8 确知信号经过线性系统,式(3-64)中f0(t)F0()，fi(t) Fi()，h(t) H()。若输入为能量信号则为能量谱密度之间的关系；若输入为功率信号则为功率谱密度之间的关系。,(3-64),2. 输入是平稳随机过程,图3-9 随机过程经过线性系统,这里只能理解成对随机过程的一个样本函数积分，而不是对随机过程积分。,(3-65),在此，
35、需要解决两个问题： a、输入平稳.输出平稳否? b、输入、输出功率谱密度之间的关系。,1、求数学期望Eo(t) 2、确定自相关函数 3、功率谱密度 4、互相关函数,(1)求数学期望Eo(t),其中，由于广义平稳，有i(t-)i() 可见，线性网络的输出o(t)的数学期望也是一个与t无关的常数。,(3-66),(2)确定自相关函数,可见，自相关函数只和时间间隔有关,和t无关。所以o(t)为广义平稳随机过程。,(3-67),(3)结论和推论,平稳随机过程经线性系统传输后,输出仍然为平稳随机过程。 输入是各态历经的随机过程, 输出也是各态历经的随机过程。 输入是高斯过程,输出也是高斯过程,只是均值和
36、方差发生了变化。,(4)功率谱密度,由维纳欣辛关系可知， 平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度是一对付氏变换。则,显然，和确知信号的结论相同。,(3-68),可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度Pi()与系统功率传输函数|H()|2的乘积。这是十分有用的一个重要公式。 当我们想得到输出过程的自相关函数Ro()时，比较简单的方法是先计算出功率谱密度Po()，然后求其付氏反变换，这比直接计算Ro()要简便得多。 (5) o(t) 的分布高斯过程经过线性系统后的过程仍为高斯的，但其数字特征已发生改变。,(6)互相关函数,互相关函数指系统输入输出之间的相关函数。由互相关函数的定义可知，输入输出的互
37、相关函数,结论：输入输出的互相关函数等于输入的自相关函数与系统冲激响应的卷积。,(3-69),例 3-3 带限白噪声：试求功率谱密度为n0/2的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为,H()=,K0e-jwt 0 其他,解 由上式得|H()|2= ，|H。输出功率谱密度为 Po()=|H()|2Pi()= ， |H可见， 输出噪声的功率谱密度在|H内是均匀分布的，在此范围外则为零，如图 2-10所示，通常把这样的噪声称为带限白噪声。其自相关函数为 ,图3-10 带限白噪声的功率谱和自相关函数,例 3-4 随机过程(t)的功率谱密度如下图所示
38、，求： （1） (t)的自相关函数R()； （2） (t)中包含的直流功率等于多少？ （3） (t)中包含的交流功率等于多少？,解：,3.8 平稳随机过程通过乘法器,平稳随机过程经过乘法器如图2-11所示。图中，,图3-11 随机过程通过乘法器,(3-70),a、输入是平稳随机过程，输出平稳否？ b、输入输出功率谱密度之间的关系。,从广义平稳判定条件可知，若要判定o(t)是否平稳, 要看其均值是否为常数、自相关函数是否只和有关。,1.均值,所以 0(t)不平稳。 实际上仅通过Eo(t)常数，就可以判定0(t)不平稳，不用在求解R0(t,t+)。,(3-71),2.o(t)的自相关函数,可见，o
39、(t)的自相关函数也与t有关。由此也可以证明平稳随机过程经乘法器传输后，输出不再是平稳随机过程。,(3-72),3.o(t)的自相关函数的时间平均值,(3-73),4.功率谱密度,要得到平稳随机过程通过乘法器输出的功率谱密度，应找出Pi()与Po()的关系。注意：此时输出已不再是平稳随机过程。,(3-74),可见，经乘法器后，功率谱密度的幅度为原来的1/4，位置分别移到载波角频率c处。如图3-12所示。,图3-12 随机过程通过乘法器的功率谱,例3-5 将一白噪声加到下图所示系统的输入端，确定其输出的功率谱密度和功率。,解: 因为输入为高斯白噪声, 所以,仿真实验举例 1. SystemVie
40、w仿真举例 SystemView中产生加性高斯白噪声的函数为AWGN，产生窄带高斯白噪声的函数为NBGN。另外，在SystemView的Source库中，有仿真白噪声的模块Band-Limited White Noise(带限白噪声信号)。它的功能是产生适合连续或混合系统的正态分布随机信号。 高斯白噪声加窄带高斯白噪声的原理框图如图3-13所示。,图3-13 高斯白噪声加窄带高斯白噪声的原理框图,图3-14所示为高斯窄带SystemView仿真图。图3-15所示为高斯窄带SystemView仿真波形。由图3-15可以看出，高斯白噪声是理想的宽带过程，经窄带滤波器后变成窄带过程。,图3-14 高
41、斯窄带SystemView仿真图,图3-15 高斯窄带SystemView仿真波形,2. MATLAB-Simulink仿真举例 图3-16所示为窄带高斯过程系统仿真框图。其中，主要参数设置如图3-17图3-19所示。 运行后高斯白噪声和窄带高斯白噪声的时域波形如图3-20所示。图3-20中，上面的波形为高斯白噪声的时域波形，下面的波形为窄带高斯白噪声的时域波形。从图3-20中可以看出，高斯白噪声为一个随机过程。频域波形如图3-21和图3-22所示。,图3-16 窄带高斯过程系统仿真框图,图3-17 高斯噪声发生器的参数设置,图3-18 滤波器参数的设置,图3-19 频谱仪参数的设置,图3-20 运行结果图,图3-21 高斯白噪声频谱图,图3-22 窄带高斯白噪声频谱图,过滤后噪声的自相关函数的源程序如下： 过滤后噪声的自相关函数波形如图3-23所示。,图3-23 过滤后噪声的自相关函数波形,例3-6,第3章习题课,例3-7,例3-8,例3-9,例3-10,例3-11,（4）X(t)的平均功率为,
