1、第三章 泊松过程,3.1 泊松过程的定义,定义3.1随机过程N(t)，t 0 是计数过程，如果 N(t) 表示到时刻 t为止已发生的事件A的总数，且N(t)满足条件 (1) N(t) 0 ; (2) N(t)取整数; (3)若s t ，则N(s) N(t); (4)当s t时，N(t) - N(s)等于区间(s, t中发生事件A的次数。,独立增量计数过程对于t10)，事件A发生的次数 N(t+s) -N(t)仅与时间间隔s有关，而与初始时刻t无关,3.1 泊松过程的定义,定义3.2：称计数过程X(t)，t 0 是泊松过程，如果X(t)满足 (1) X(0)=0; (2) X(t)是独立增量过程
2、; (3)在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数t 0(参数 0)的泊松分布，即对任意s, t 0，有,3.1 泊松过程的定义,例 在(0, t内接到服务台咨询电话的次数X(t)，在(0, t内到某火车站售票处购买车票的旅客数X(t)等。 注： 泊松过程是平稳增量过程,3.1 泊松过程的定义,定义3.3：称计数过程X(t)，t 0 是泊松过程，如果X(t)满足 (1) X(0)=0； (2) X(t)是平稳、独立增量过程； (3) X(t)满足下列两式(参数0),可以证明，泊松过程的两种定义是等价的。,3.2 泊松过程的性质,一、数字特征 设X(t), t 0是参数为的泊松过程， 对
3、任意t, s0, +)，若s t ，则有,由均值函数知，单位时间内事件A发生的平均数为。称为过程的速率或强度。,3.2 泊松过程的性质,3.2 泊松过程的性质,3.2 泊松过程的性质,二、泊松过程的时间间隔与等待时间的分布设X(t), t0是参数为的泊松过程，X(t)表示到t时刻为止事件A发生的次数， Wn表示第n次事件A发生的时间(n 1)， 也称为第n次事件A的等待时间, 或到达时间, Tn表示第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔。,3.2 泊松过程的性质,等待时间Wn与时间间隔Tn均为随机变量时间间隔Tn的分布定理3.2设X(t), t0是参数为的泊松过程， Tn,n1是相应
4、第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔序列，则随机变量Tn,n=1,2独立服从均值为1/的指数分布,Tn,T3,T2,T1,t,W3,W2,W1,0,Wn-1,Wn,3.2 泊松过程的性质,时间间隔Tn的分布为概率密度为,3.2 泊松过程的性质,证 (1)n=1事件T1 t发生当且仅当在0, t内没有事件发生T1服从均值为1/的指数分布,T1,t,W1,0,3.2 泊松过程的性质,(2)n=2PT2t| T1=s = P在(s, s+t内没有事件发生| T1=s =PX(s+t) -X(s)=0 | X(s) -X(0) =1 = PX(s+t) -X(s)=0 T2服从均值为1/的
5、指数分布,t,T2,T1=s,W2,W1,0,s+t,s,3.2 泊松过程的性质,(3)n 1,Tn,Tn-1 =sn-1,T2=s2,T1=s1,t,Wn-2,W2,W1,0,Wn-1,Wn,3.2 泊松过程的性质,等待时间Wn的分布定理3.3设X(t), t 0是参数为的泊松过程，Wn, n 1是相应等待时间序列，则Wn服从参数为n与的分布，概率密度为,3.2 泊松过程的性质,证 ，Ti为时间间隔,Tn,T2,T1,t,W2,W1,0,Wn-1,Wn,即是n个相互独立且同服从指数分布的随机变量之和的分布。（参数为n与的分布又称爱尔兰分布）,3.2 泊松过程的性质,例 设X1(t), t0和
6、X2(t), t0是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为1和2。记 为过程X1(t)的第k次事件到达时间,记 为过程X2(t)的第1次事件到达时间，求即第一个泊松过程第k次事件发生比第二个泊松过程第1次事件发生早的概率。,自学,3.2 泊松过程的性质,解 设 的取值为x， 的取值为y，,3.2 泊松过程的性质,则f(x, y)为 与 的联合概率密度 由于X1(t)与X2(t)独立，故,y,x,y=x,D,3.2 泊松过程的性质,3.2 泊松过程的性质,三、到达时间Wn的条件分布假设在0, t内事件A已经发生1次，确定这一事件到达时间W1的条件分布密度,解：先求,对s0
7、，显然有,=0,对0st，有,3.2 泊松过程的性质,3.2 泊松过程的性质,对st，有,3.2 泊松过程的性质,从而W1的条件分布函数为条件分布密度函数为,3.2 泊松过程的性质,定理3.4（自学） 设X(t), t0是泊松过程，已知在0, t内事件A发生n次，则这n次事件的到达时间W1 W2 Wn的条件概率密度为,3.2 泊松过程的性质,例 设在0, t内事件A已经发生n次，且0st，对于0kn，求PX(s)=k| X(t)=n. 解 k n0 s t,3.2 泊松过程的性质,（二项分布）,例 设在0, t内事件A已经发生n次，求第k次(kn) 事件A发生的时间Wk的条件概率密度函数. 解
8、,t,Wk,0,s,Wn,s+h,先求条件分布，,再对s求导，即可得,3.2 泊松过程的性质,3.2 泊松过程的性质,令h0，则有,3.2 泊松过程的性质,（Bata分布）,3.3 非齐次泊松过程,定义3.4 称计数过程X(t), t 0为具有跳跃强度函数(t)的非齐次泊松过程，如果满足 (1)X(0)=0; (2) X(t)是独立增量过程; (3)可以证明 并称非齐次泊松过程的均值函数。,3.1 泊松过程的定义,定义3.3：称计数过程X(t)，t 0 是泊松过程，如果X(t)满足 (1) X(0)=0； (2) X(t)是平稳、独立增量过程； (3) X(t)满足下列两式(参数0),对比知，
9、非齐次不要求平稳，在t时刻的到达速率是t的函数。,3.3 非齐次泊松过程,设X(t), t 0为具有均值函数 的非齐次泊松过程，则有或,(证明略）,定理3.5,3.3 非齐次泊松过程,例 设X(t), t 0是具有跳跃强度的非齐次泊松过程(0)，求EX(t)和DX(t)。 解,3.3 非齐次泊松过程,例 某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/小时计算；5时至8时乘客平均到达率线性增加，8时到达率为1400人/小时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时到达率线性下降，到21时为200人/小时，假定乘客数在不重叠的区间内是相互独立的，求12时至
10、14时有2000人乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。,解 设t=0为早晨5时，t=16为晚上9时，则,3.3 非齐次泊松过程,解 12时至14时为t7,9 在0,t内到达的乘车人数X(t)服从参数为(t)的非齐次泊松过程 12时至14时乘车人数的数学期望为12时至14时有2000人来站乘车的概率为,3.4 复合泊松过程,定义3.5设N(t), t0是强度的泊松过程，Yk,k=1,2,是一列独立同分布随机变量，且与N(t), t0独立，令则称为复合泊松过程。例 设N(t)是在0, t内来到某商店的顾客数， Yk是第k个顾客的花费，则 是 0, t内的营业额。,3.4 复合泊松过程,设 是复合泊松过程，则 (1)X(t), t0是独立增量过程； (2)X(t)的特征函数 是事件的到达率，gY(u)是随机变量Y1的特征函数； (3)若 ，则,定理3.6：,泊松过程的特征函数为,3.4 复合泊松过程,证(1)令0t0t1tm，则可以验证X(t)具有独立增量性 (2),3.4 复合泊松过程,3.4 复合泊松过程,(3),3.4 复合泊松过程,3.4 复合泊松过程,3.3 非齐次泊松过程,设X(t), t 0为具有强度函数(t)的非齐次泊松过程，则EX(t)=DX(t)=mX(t) 证,3.3 非齐次泊松过程,3.3 非齐次泊松过程,
