1、高中数学专题复习数列的综合应用一、考点、热点回顾如何解数列应用题 (1)解数列应用题一般要经历：设列解答四个环节(2)建立数列模型时，应明确是什么模型，还要确定要求是什么(3)建立数学模型的一般方法步骤： 认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中的主要已知事项；明确所求的结论是什么.抓住数学关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数学关系用数学式子表达 将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意引出满足题意的数学关系式(如函数、方程、不等式、数列等)二：典型例题题型一：等差、等比数列的综合应用例 1：
2、已知数列a n的前 n 项和 21()nSkN,且 Sn的最大值为 8.（1）确定常数 k，求 an；（2）求数列 92的前 n 项和 Tn。解: （1）当 N时， 21Sk取最大值，即 2218k，故4k，从而 19()nnaS，又 172aS，所以 9na（1） 因为 2b， 22213nnnTb 所以 121144nnT题型二：数列与函数的综合应用例 2：函数 2()3fx。定义数列 nx如下： 11,nx是过两点(4,5,nnPQ的直线 nPQ与 轴交点的横坐标。（1）证明： 1x；（2）求数列 n的通项公式。解：（1）为 2(4)835f，故点 (4,)P在函数 ()fx的图像上，故
3、由所给出的两点 (,5,nnPQx，可知，直线 nQ斜率一定存在。故有直线 nPQ的直线方程为 ()54)nfxy，令 0y，可求得2835(4)22n nnx xx所以 132n下面用数学归纳法证明 3nx当 1n时， x，满足 1假设 k时， 23k成立，则当 nk时， 14352kkkxx，由 5412kkk kxxx即123k也成立综上可知 nx对任意正整数恒成立。下面证明 1由2214343(1)42nnnnnxxxx 由 2210()3nnn，故有 10nx即 1nx综上可知 3x恒成立。（2）由 142n得到该数列的一个特征方程 42x即 30x，解得3x或 13nnnxx 15
4、()12nnnxxx 两式相除可得 1351nnxx,而 23故数列 3n是以 为首项以 为公比的等比数列13()5nnx,故 1195435nnx。【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用。先从函数入手，表示直线方程，从而得到交点坐标，再运用数学归纳法进行证明，根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通基。【点评】以函数为背景，引出点的坐标，并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式。既考查了直线方程，又考查了函数解析式，以及不等式的证明，试题比较综合，有一定的难度。做这类试题那就是根据已知条件，一步一步的翻译为代数式，化简得到要找的关系式即可。题型三：数列与不
5、等式的综合应用例 3：设数列 na的前 项和为 nS，满足 1*2()nnaN，且 123,5a成等差数列。（1）求 1的值；（2）求数列 n的通项公式。（3）证明：对一切正整数 ，有 123naa【解析】 （1） 12, 1nnnSaS 相减得： 123nna12323,462,5成等差数列 11(5)a（2） 1得 1nn对 *N均成立nna得： 12213()3()3(2)32n n naa（3）当 时， 1当 2n时， 2 1() 2nnnna231213nnaa 由上式得：对一切正整数 ，有 12na题型四：数列与几何的综合应用例 4：函数 y=x2(x0)的图像在点(a k,ak2
6、)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数，a1=16，则 a1+a3+a5=_解析考查函数的切线方程、数列的通项。在点(a k,ak2)处的切线方程为： 2(),kkyaxa当 0y时，解得 2kax，所以 1135,641a。例 5:已知数列 an的首项 a11，且点 An(an， an1 )在函数 y 的图象上xx 1(1)求数列 an的通项公式；(2)求证：弦 AnAn1 的斜率随 n 的增大而增大解析： (1) an1 且 a11， 1 ，anan 1 1an 1 1an 1， 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，1an 1 1an 1an 1( n1)1 n，
7、an .1an 1n(2)证明： an ， an1 ， an2 ，1n 1n 1 1n 2弦 AnAn1 的斜率 kn ，an 2 an 1an 1 an1n 2 1n 11n 1 1n nn 2 kn1 kn n 1n 3 nn 2 n 1 n 2 n n 3 n 3 n 2 0.2 n 2 n 3弦 AnAn1 的斜率随 n 的增大而增大题型五：数列与三角的综合应用例 6：数列 na的通项公式 12cosan，前 n项和为 nS，则 201 _。 【3018】考点：数列和三角函数的周期性。难度：中。分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和。解答：
8、 102cos)14(2)14(cos)14(1 nnna ，)24(2 n，3cs)()3(cs)3(34n ，142cos)4(12)4(cos)4(4 nnnna ，所以 123na64。即 086420S。题型六：数列与概率的综合应用例 7：现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项， 3为公比的等 比 数 列 ， 若 从 这 10 个 数中 随 机 抽 取 一 个 数 ， 则 它 小 于 8 的概率是 【答案】 35。【考点】等 比 数 列 ， 概率。【解析】 以 1 为首项， 3为公比的等 比 数 列 的 10 个 数 为 1， 3， 9， -27， 其 中 有 5 个负 数
9、， 1 个 正 数 1 计 6 个 数 小 于 8， 从 这 10 个 数 中 随 机 抽 取 一 个 数 ， 它 小 于 8 的概率是 6=105。题型七：数列的实际应用例 8：用分期付款方式购买家用电器一件，价格为 1 150 元，购买当天先付 150 元，以后每月这一天都交 50 元，并加付欠款利息，月利率为 1%，若付 150 元之后的第一个月算分期付款的第一个月，问分期付款的第 10 个月该交付多少钱？全部付清后，实际共花了多少钱？解析： 购买当天付了 150 元，余欠款 1 000 元，按题意分 20 次还清设每次付款依次构成数列 an，则 a1501 0000.0160 元， a
10、250(1 00050)0.0159.5 元， a350(1 000502)0.0159 元an60( n1)0.5， an是以 60 为首项，0.5 为公差的等差数列 a106090.555.5 元20 期共还款 S202060 0.51 105，20192故共花了 1 1051501 255 元三、课后练习1、有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、 2为公比的等比数列，体积分别记为 ， nV21，则 )(lim21nnV .【答案】 78 【解析】由正方体的棱长组成以 为首项， 2为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以 1 为首项， 8为公比的等比数列，因此， 781)(lim21
11、 nnV .【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通 项公式、等比数列的定 义.考查知识较综合.2、数列 nx满足： 2*110,()nnxxcN（I）证明：数列 是单调递减数列的充分必要条件是 0c（II）求 c的取值范围，使数列 nx是单调递增数列。【解析】 （I）必要条件当 0时， 21nnnc数列 nx是单调递减数列充分条件数列 nx是单调递减数列 221110xc得：数列 是单调递减数列的充分必要条件是（II）由（I）得： 0C当 c时， 1na，不合题意当 0时， 2232, 01xcxc10nnnnxxc22 111()()()()n nx 当 4c时， 2nnx
12、cxx与 1nx同号，由 212100nlimli()limnnnxxcxc当 4c时，存在 N，使 1212NNx与 Nx异号与数列 nx是单调递减数列矛盾得：当 104c时，数列 nx是单调递增数列3、 2lim5n 25 。【解析】22115/2lilimlinnn4、数列 a满足 1()1na，则 a的前 60项和为 【解析】 的前 60项和为 83可证明： 14244342416nnnnnnb ab1231510680aS5、已知 n是等差数列，其前 项和为 n， b是等比数列,且 1= ，4+=27ab， 4.()求数列 n与 的通项公式；()记 1231nnTab ；证明： +1
13、2=0nnTab+()N.【参考答案】（1）设数列 na的公差为 d，数列 n的公比为 q；则 34127327024610bdSa 得： 3,nna（2） 1 21231211()n nnnnn aTbbaaa 1125nac3 1()()()()n nc c050220nnnbaTba【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则.6、已知数列 na的前 项和为 nS，且 2nnaS对一切正整数 n都成立。（）求 1， 2的值；（）设 0，数列
14、1lgn的前 项和为 nT，当 为何值时， nT最大？并求出 nT的最大值。解析取 n=1,得 ,2a121as 取 n=2,得 , 又-，得 212)( （1）若 a2=0, 由知 a1=0, (2)若 a2 02， 易 知 , 由得： ;,1 ;2,12a5 分（2）当 a10 时,由（I）知， ;,21当 nnsan）时 ， 有 （ , (2+ )an-1=S2+Sn-1所以，a n= )2(1所以 1)(n令 11 20lglg,0lgnnnnbb则所以，数列b n是以 2l为公差，且单调递减的等差数列 .则 b1b2b3b7= 01g8当 n8 时，b nb8= 2ll所以，n=7
15、时，T n 取得最大值，且 Tn 的最大值为T7= lg1721）（ 12 分7、设函数 ()cosfxx， na是公差为 8的等差数列，125()faf，则 2313()fa（ D ）A、 0 B、 216 C、 2 D、 2136解析数列a n是公差为 8的等差数列，且 125()()ffa 5)coscs(o221521 aaa ）（ ,0)cos( 5 即 52321 a）（ 得 43,2513 313()fa 163)cos( 225123 aa点评本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用，需考生加强知识系统、网络化学习. 另外， ,0)coscs(o521 a 隐蔽性较强，需要考生具备一定的观察能力.8、有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2个，现在有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要几秒钟？解：依题意 12 12 22 n1 100， 100，2 n101， n7，则所求为 7 秒钟1 2n1 2
