1、武胜中学高 2009 级培优讲座- 1 -柯西不等式及应用武胜中学 周迎新柯西不等式：设 a1,a2,an,b1,b2bn 均是实数，则有（a 1b1+a2b2+anbn）2（a 12+a22+an2） （b 12+b22+bn2）等号当且仅当 ai=b i( 为常数，i=1,2.3,n)时取到。 注：二维柯西不等式： （一） 、柯西不等式的证明柯西不等式有多种证明方法，你能怎么吗？证法一：判别式法：令 f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+（a nx+bn） 2=(a12+a22+an2)x2+2(a1b1+a2b2+anbn)x+(b12+b22+bn2) f(x)0 0 即
2、（a 1b1+a2b2+anbn） 2(a 12+a22+an2)(b12b 22+bn2) 等号仅当 a i=b i时取到。证法二：（二） 、柯西不等式的应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。1 证明不等式武胜中学高 2009 级培优讲座- 2 -利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，（1）巧拆常数：例 1：
3、设 、 、 为正数且各不相等。求证： abc cbacba922分析 、 、 均为正为证结论正确只需证： 1)(而 又)()()(2cbd 219（2）重新安排某些项的次序：例 2： 、 为非负数， + =1， 求证：ababRx21, 212121)(xabxa分析：不等号左边为两个二项式积， ，每个两项式可以使柯西21,不等式，直接做得不到预想结论，当把节二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。（3）改变结构：例 3、若 求证：abccaba41分析：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了 )(0结论改为 41cbac武胜中学高 2009 级培优讲座- 3 -（
4、4）添项：例 4： 求证：Rcba, 23baccba分析：左端变形 11只需证此式 即可)(acb 92 求最值利用柯西不等式，可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题。例 5 已知 a、b、c R +且 a+b+c=1，求 的最大值。1414cba例 6 求 的最小值 。)cos1)(sin1(ay)20(a3、 在几何上的应用例 7、三角形三边 a、b、c 对应的高为 ha、 、h b、h c、r 为此三角形内切圆半径。若ha、 +hb+hc=9r，试判断此三角形的形状。武胜中学高 2009 级培优讲座- 4 -例 8、 ABC 的三边长为 a、b、c，其外接圆半径为 R，求证：222
5、22 36)sin1isin1)( CBAcba证明：由三角形中的正弦定理得，所以 ，同理 ，RAsin224siaR224sib224sin1cRC于是左边=。22222 36)()( caRcbcba 故原不等式获证。以上几例以看出，柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便地解决一些中学数学中的有关问题。练习：1.已知 a1,a2,a3,an，b 1,b2,bn为正数，求证：2 设 求证： ,21Rxn nnxxx 212321（1984 年全国高中数学联赛题）3.已知实数 满足 ， 试求 的最值,abcdab
6、cd22365abcda4.设 a、b、c0 且 acos2+bsin2c，求证 。c22sino5.设 是 内的一点， 是 到三边 的距离， 是 外接圆的半径，pABC,xyzp,abcRABC武胜中学高 2009 级培优讲座- 5 -柯西不等式 一.公式基本结构设 ai、biR ， （i1，2，3 ，n）（a1b1+a2b2+a3b3+anbn）2（a12+ a22+a32 +an2）(b12 +b22+b32+bn2)当且仅当 bikai（i1，2，n）时，k 为常数 时等号成立二阶形式（a1b1+a2b2 ）2（a12+ a22 ）(b12 +b22) 三阶形式（a1b1+a2b2+a3b3）2（a12+ a22+a32 ）(b12 +b22+b32)二证明先证明较简单的情况（以三阶形式为例，用构造法证明）构造 f(x) =（a12+ a22+a32 ）x2+2 （a1b1+a2b2+a3b3）x+(b12 +b22+b32)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(a3x+b3)20=4（a1b1+a2b2+a3b3）2-4（a12+ a22+a32）(b12 +b22+b32)对于任意的 xR 等式恒成立 , 0，当且仅当 时，取“=”
