1、1,第三节 基本初等函数与初等函数,一、 基本初等函数,常量函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,幂函数、,1常量函数：,（c为任意常数）,2,2.幂函数,1、图形都通过点（1，1）。,2、,时，图形过原点，,且在,内单调增加。,3、,时，图形在,内单调减少。,图像特点：,3,例1：求函数,的定义域。,解：,4,3、指数函数,它的定义域是整个实数集,性质：,（1）图形在 x 轴的上方,（2）图形均过点,（3）,曲线从左到右逐渐上升。,曲线从左到右逐渐下降。,但与 x 轴不相交.,5,以无理数,为底的指数函数,是常用的实数函数.,指数函数的运算性质:,6,例2: 比较下列数值的
2、大小,解:,解:,7,4. 对数函数,的反函数记为,称为对数函数,性质:,（2）图形在 y 轴的右方,（1）图形均过点,不与 y 轴相交.,曲线从左到右逐渐上升。,曲线从左到右逐渐下降。,(3),8,对数函数的运算性质：,以 e 为底的对数,是常用的对数函数，,称为自然对数，记为,9,5、三角函数,（1）正弦函数,1、,是有界函数,性质：,是奇函数,4、周期,3、,是单增函数。,10,（2）余弦函数,1、,是有界函数,是偶函数,4、周期,3、,是单减函数。,性质:,值域W: -1, 1,11,（3）正切函数,性质:,（1）在定义域中是无界函数。,（2）是奇函数,（3）在,内是单调增函数。,（4
3、）周期为,12,（4）余切函数,性质:,（1）在定义域中是无界函数。,（2）是奇函数,（3）在,内是单调减函数。,（4）周期为,13,（5）正割函数,是余弦函数的倒数，无界函数，周期为,（6）余割函数,是正弦函数的倒数，无界函数，周期为,14,常用的三角函数的公式,15,6.反三角函数,反余弦函数,反正切函数,反余切函数,反正弦函数,16,性质,（1）在 -1, 1 上有界函数。,（2）是奇函数。,（3）在,上是单调增函数。,17,反三角函数值的确定,求arcsin x的方法是：,18,反余弦函数,性质,（1）在 -1, 1 是有界函数。,（2）是非奇非偶函数,（3）在,上是单调减函数。,19
4、,求arccos x的方法是：,在0, p内确定一点a，,则arccos x=a。,使cos a=x，,反三角函数值的确定,20,反正切函数,性质,（1）在,（2）是奇函数,（3）在,上是单调增函数。,内是有界函数,21,性质,（1）在,（2）是非奇非偶函数,（3）在,上是单调减函数。,内是有界函数.,反余切函数,22,由基本初等函数经过有限次四则运算得出的函数,称为简单函数。,如：,都是简单函数。,都不是简单函数。,二、 复合函数,1、简单函数,是由基本初等函数,与简单函数,所构成。,23,函数 g 在E上的值域 g(E) 必须含在 f 的定义域内，即g (E)D. 否则，不能构成复合函数.
5、,设函数 y = f (u)的定义域为D，函数u=g (x)在E上有定义，且 g(E) D，则由下式确定的函数,y = f g (x)，xE,函数g与函数 f 能构成复合函数的条件是:,称为由函数 y = f (u)和函数u = g (x)构成的复合函数，它的定义域为E，变量u称为中间变量.,两个及多个函数能够构成复合函数的过程叫函数的复,合运算.,定义（复合函数）,24,复合函数 y = arcsin(x2-1) 的定义域为,例4 函数 y = arcsin(x2 1)可以看成是函数,y = f (u) = arcsinu 和 u=g (x)= x2 1,y = f (u)的定义域D=u |
6、 |u|1, u = g (x) 的定义域E=x | x + ，,复合而成的函数.,25,最后一个中间变量与,的形式，之前中间变量都应该是基本初等函数的形,分解复合函数的原则是：,自变量的关系是简单函数,式。,26,例4 分析下列函数是由几重基本初等函数所构成， 并写出其中间变量.,（2）,（3）,解 （1）,（2）,（3）,（1）,27,例7 设,解,28,有一类既不能称为幂函数也不能称为指数函数的函数，,其底数部分和指数部分都是自变量 x 的表达式，像,形式的函数称为幂指函数.,三、 幂指函数,29,四、 初等函数,由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算得到的可用一个式子表示
7、的函数称为初等函数.,例如，,30,非初等函数举例:,符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,取整函数,当,31,作 业,P19 4 (1)、(4)、(5)、(6),32,（1）正弦函数,在直角坐标系中取单位圆,在圆周上任意一点,从现在开始角度用弧度x 表示,圆的半径,1、,是有界函数,图形,性质：,是奇函数,4、周期,3、,是单增函数。,33,5、三角函数,在直角三角形中：,正弦,余弦,正切,余切,正割,余割,34,任意三角形：,角可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而成的。,当射线绕着它的端点旋转一周,以上，就形成大于3600 的角。,习惯上规定：,逆时针方向旋转而成的角是正角。,
8、顺时针方向旋转而成的角是负角。,角的度量单位用弧度（实数）：,1 弧度,弧度,35,二、 复合函数,定义,设函数 y = f (u)的定义域为D，函数u=g (x)在E上有定义，且 g(E) D，则由下式确定的函数,y = f g (x)，xE,称为由函数 y = f (u)和函数u = g (x)构成的复合函数，它的定义域为E，变量u称为中间变量.,是由基本初等函数,与函数,复合而成。,例如,两个及多个函数构成复合函数的过程叫函数的复合运算.,36,函数 g 在E上的值域 g(E) 必须含在 f 的定义域内，即g (E)D. 否则，不能构成复合函数.,函数g与函数 f 能构成复合函数的条件是:,复合函数 y = arcsin(x2-1) 的定义域为,例3 函数 y = arcsin(x2 1)可以看成是函数,y = f (u) = arcsinu 和 u=g (x)= x2 1,y = f (u)的定义域D=u | |u|1, u = g (x) 的定义域 E=x | x + ，,复合而成的函数.,37,例3. 函数,（其中,解:,当,时,解得,）的反函数为？,（赛.1991.苏）,当,时,解得,所以所求反函数为,即,
