1、牛顿迭代法实验,实验预备知识 实验问题与实验原理 实验程序和实验结果 实验结论, ,设 x*是方程 f(x)=0 的根, x0是x*的近似值.在 x0 附近,对函数做局部线性化,(n = 0, 1, 2, ),牛顿迭代格式:,X,Y=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2); Z=X.*exp(-X.2-Y.2); pcolor(Z); shading interp,pcolor：用于绘制伪彩色图,Shading inter 使图形更精细,给定初值 z0 , 产生牛顿迭代数列,z0, z1, z2, zn, ,Newton 迭代法实验 方程 z3 1 = 0 在复平面上有三个根,(n
2、 = 0, 1, ),令,考虑正方形区域,牛顿迭代法具有局部收敛性，如果 z0 使迭代收敛。问迭代数列将收敛于何处？,取定初值,实验将确定 初值 z0 产生的牛顿迭代数列收敛于三个根中哪一个。,选择区域中规则网格点 (x, y) 确定迭代初始值 z = x + i y 进行实验.将导致收敛的初值 z 分为三类,分别标以不同颜色(例如红、黄、蓝)。绘出牛顿迭代法对该方程的收敛域彩色图。,收敛到 z1 初值点集合,收敛到 z2 初值点集合,收敛到 z3 初值点集合,图1 牛顿迭代法收敛区域,在复平面内,使牛顿迭代不收敛的初值点集构成了茹利亚集(为纪念法国数学家Julia).,图2 牛顿迭代法不收敛
3、区域,不收敛初值点集合,function p=newton0(z) if z=0,p=0;return;end for n=1:10p=z-(z3-1)/(3*z2);if abs(p-z)0.00001,break;endz=p; end,牛顿迭代法子程序,function A0=Newtonlab(n) if nargin=0,n=101;end t=linspace(-2,2,n); x,y=meshgrid(t); X=roots(1,0,0,-1); A0,A1,A2,A3=Nlab(x,y,X); A=A0+2*A1+3*A2+4*A3; figure(1),pcolor(x,y,
4、A),shading interp figure(2),pcolor(x,y,A0), shading interp,实验绘图主程序,function A0,A1,A2,A3=Nlab(x,y,X); r1=X(1);r2=X(2);r3=X(3);Z=x+y*i;M,N=size(Z); A0=zeros(M,N);A1=A0;A2=A0;A3=A0; for k1=1:Mfor k2=1:Nz=Z(k1,k2);p=newton0(z); %取初值调用牛顿迭代if abs(p-r1)0.01, A1(k1,k2)=1; elseif abs(p-r2)0.01, A2(k1,k2)=1;
5、elseif abs(p-r3)0.01, A3(k1,k2)=1; elseA0(k1,k2)=1; %确定不收敛的初始点endend end,调用牛顿迭代程序创建矩阵(照片),m,n=size(A0); N=m*n; II=find(A0=1);N0=length(II); II=find(A1=1);N1=length(II); II=find(A2=1);N2=length(II); II=find(A3=1);N3=length(II); format bank results=100*N0,N1,N2,N3/N,利用矩阵统计各区域百分比程序,function prop=Newton
6、lab2(n) if nargin=0,n=100;end P=rand(n,2); x=4*P(:,1)-2;y=4*P(:,2)-2; Z=x+i*y; A0=;A1=;A2=;A3=; X=roots(1,0,0,-1);r1=X(1);r2=X(2);r3=X(3); for k=1:nz=Z(k); p=newton0(z);if abs(p-r1)0.01,A1=A1,1; elseif abs(p-r2)0.01,A2=A2,1; elseif abs(p-r3)0.01,A3=A3,1; else _; end end N0=sum(A0);N1=sum(A1);N2=sum(
7、A2);N3=sum(A3) format bank prop=_ ;,实验结果,表1. 规则点不收敛域与收敛域百分比,分辨率 不收敛域 收敛域III 收敛域II 收敛域I 51*51 6.42 30.26 30.26 33.06 101*101 6.48 30.30 30.30 32.92 201*201 6.52 30.27 30.27 32.93,表2. 随机点不收敛域与收敛域百分比,实验结论：方程 z3 1 = 0 在复平面上有三个根,取正方形区域,实验结果表明,牛顿迭代法具有局部收敛性。 至少有6%的点导致牛顿迭代法不收敛; 导致牛顿迭代法收敛的点分布于三个区域; 三个区域中分别包含了三个根,初值点接近于根所在位置,必收敛于附近根; 在三个区域分界处取初值点,可能导致迭代法不收敛.,图3. 收敛域比例二维饼图,图4. 收敛域比例三维饼图,pie(6.11,30.84,30.06,32.99,A0,A1,A2,A3),比例数据的饼图表示方法: pie()、pie3(),
