1、实验五 牛顿迭代法,【实验目的】 1.了解牛顿迭代法的基本概念. 2.了解牛顿迭代法的收敛性和收敛速度。 3.学习、掌握MATLAB软件有关的命令。 【实验内容】 用牛顿迭代法求解方程 的近似根，误 差不超过10-3。,【实验准备】 1.牛顿迭代法原理设已知方程 的近似根 ，则在 附近 可用一阶泰勒多项式 近似代替。因此，方程 可近似表示为 。用 近似表示 根差异不大。设 ，由于 满足 ，解得重复这以过程，得到迭代格式 这就是著名得牛顿迭代公式，它相应的不动点方程为,3.牛顿迭代法的收敛性计算可得 ，设 是 的单根，有 ， 则 故在 附近，有 。根据不动点原理知牛顿迭 代法收敛。 4.牛顿迭代
2、法的收敛速度 定理（牛顿法收敛定理）设 在区间 上有二 阶连续导数，且满足 ， 在 上不变号， 在a,b上不等于0，令,有 ，则对任意 ，牛顿迭代格式收敛于 在 中的唯一实根 ，且， 牛顿迭代法为二阶收敛。对不动点方程 ，它导出的迭代过程有可能发散，也可能收敛得非常缓慢。这时，我们有没有办法改进不动点方程，让迭代过程收敛得快一些呢？,迭代过程的加速,（1）一个简单办法 注意到 和 都是不动点方程，它们的加权平均也是不动点方程，而且 和 有完全相同的不动点。适当选取 的值，可以使发散的迭代过程变得收敛，使收敛慢的迭代过程变得收敛迅速。 （2）加速的原因 在下面的实验中我们可以看到， 在不动点 附
3、近的导数值在很大程度上决定了迭代过程的收敛性。 的绝对值越小，收敛性越好。因此，选择 使得 。计算得到理想的 值为 ，相应可计算出,（1）一个简单办法 注意到 和 都是不动点方程，它们的加权平均也是不动点方程，而且 和 有完全相同的不动点。适当选取 的值，可以使发散的迭代过程变得收敛，使收敛慢的迭代过程变得收敛迅速。 （2）加速的原因 在下面的实验中我们可以看到， 在不动点 附近的导数值在很大程度上决定了迭代过程的收敛性。 的绝对值越小，收敛性越好。因此，选择 使得 。计算得到理想的 值为 ，相应可计算出,（3） 的选取 由于理想的 值为 ，当变化不大时，可以取 近似计算 。 （4）回到牛顿迭
4、代法的讨论 为求解方程 ，可以使用不动点方程 ，相应的迭代函数为 对 进行加速所以，牛顿迭代法是对基本迭代格式进行加速的结果。 5.迭代的MATLAB命令MATLAB中主要用for,while等控制流命令实现迭代。,练习 1 用牛顿迭代法求方程 在附近的近似根，误差不超过10-3 。,牛顿迭代法的迭代函数为：,练习2 用牛顿迭代法求方程 的近似正实根，由此建立一种求平方根的计算方法。 由计算可知，迭代格式为 ，在实验12的练习4中已经进行了讨论。 练习3 用牛顿迭代法求方程 的正根。 牛顿迭代法的迭代函数为如果取初值为 ，相应的MATLAB代码为(运行),clear x=0; for i=1:
5、6x=x-(x*exp(x)-1)/(x+1)*exp(x) end可得迭代数列前6项为1.0000 ，0.6839， 0.5775 0.5672， 0.5671，0.5671，说明迭代实收敛的。 如果取初值为10，相应的MATLAB代码为 clear; x=10.0; for i=1:20x=x-(x*exp(x)-1)/(x+1)*exp(x)y(i)=x; End（运行）,可算得迭代数列的前20项为9.0909 ，8.1900 7.2989 ， 6.4194 ， 5.5544 ， 4.7076，3.8844 ， 3.0933 ， 2.3487 1.6759 ， 1.1195 ， 0.74
6、53，0.5902 0.5676 ， 0.5671 ，0.5671 ， 0.5671 ， 0.5671， 0.5671 ， 0.5671,说明迭代是收敛的。如果取初值 或 ，可算得迭代数列是发散 的，根据函数图形分析原因。 练习4 求方程 在 附近的根，精确到10-5先直接使用 的迭代格式，相应的MATLAB代码为 n=0;esp=1.05e-5;x=0.5; while abs(x-exp(-x)espx=exp(-x);n=n+1; end x,n（运行） 结果为x=0.5671,n=17,说明迭代17次后达到精度要求。,可算得迭代数列的前20项为9.0909 ，8.1900 7.2989
7、 ， 6.4194 ， 5.5544 ， 4.7076，3.8844 ， 3.0933 ， 2.3487 1.6759 ， 1.1195 ， 0.7453，0.5902 0.5676 ， 0.5671 ，0.5671 ， 0.5671 ， 0.5671， 0.5671 ， 0.5671,说明迭代是收敛的。如果取初值 或 ，可算得迭代数列是发散 的，根据函数图形分析原因。 练习4 求方程 在 附近的根，精确到10-5先直接使用 的迭代格式，相应的MATLAB代码为 n=0;esp=1.05e-5;x=0.5; while abs(x-exp(-x)espx=exp(-x);n=n+1; end
8、x,n（运行） 结果为x=0.5671,n=17,说明迭代17次后达到精度要求。,为加快收敛速度，用 构造迭代格式，由实验的预备知识中可知，取 相应的MATLAB代码为 n=0;eps=1.0e-5; x=0.5; while abs(x-0.625*exp(-x)-0.375*x)epsx=0.625*exp(-x)+0.375*x;n=n+1; end x,n 结果为0.5671，n=3,说明迭代三次后达到精度要求。 练习5 对练习中方程 ，用加快后的迭代格式求x=0.5附近的根，精确到10-5,计算 可得 ，相应的MATLAB代码为 n=0;eps=1.0e-5;x=0.5; while abs(x-(x+1)*exp(-x)/(1+exp(-x)epsx=(x+1)*exp(-x)/(1+exp(-x);n=n+1; end x,n 结果为x=0.5671,n=2,说明迭代2次后达到精度要求。,【实验作业】 1.用牛顿迭代法求方程 的近似根。 2.为求出方程 的根，在区间1,2内使用迭代函数进行迭代，记录迭代数据，问迭代是否收敛？对迭代进行加速，对比加速前的数据，比较加速效果。 3.使用在不动点 的泰勒公式，证明牛顿迭代法收敛定理。,
